1、第三章 集合与关系3-6 关系的性质授课人：李朔Email:1一、自反性nP110 定义 3-6.1 设 R是 A上的二元关系 ,如果对于每个 xX ， 有 xRx,则称二元关系 R是 自反的 。R在 X上自反 (x)(xX xRx)例如 : 实数集上的 “,=都是传递的，人集合上的祖先关系n 例如 A=1,2,3,4,R5= 4,1 , 4,3 , 4,2 , 3,2 , 3,1 , 2,1 是传递的 .其关系图和关系矩阵如下图。4练习n例：如 A=a， b， c， R=， ， 是 A上的一个二元关系，问关系 R具有哪些性质？为什么？答： R是对称且传递的，但 R不是自反的，因为对于 cA，
2、 没有 R。5练习n有人说：集合 A上的关系 R， 如果是对称且传递的，则它也是自反的。其理由是，从aRb， 由对称性得 bRa， 再由传递性得 aRa，你说对吗？为什么？答： 不对！因为不是每一个 a， aRa成立。6n自反性是说对于 每一个 xX， 有 R。n对称性是说每当 R， 就有 R， 没有要求对于每一个 xX。n传递性是说每当 R， R时就有 R ， 也没有要求对于每一个 xX。n因此不能从一个关系是对称且传递的推出它是是自反的。7四、反自反性nP111 定义 3-6.4 设 R是 A上的二元关系 ,如果对于每个 xX ， 有 R,则称二元关系 R是 反自反的 。 R在 X上反自反
3、 (x)(xX R)n 数的大于关系，日常生活中的父子关系都是反自反的。n 设 R是 X上的反自反关系，可知， R的关系矩阵 MR的主对角线全为 0；在 R的关系图中 每一个结点上都没有自回路 。n 例如 设 X=1,2,3， X上的 二元关系 R=1,2,2,3,3,1， R是 反 自反的 ,它的关系图 ， 关系矩阵如下：MR=8四、反自反性n 例题 3,R= 1,1 , 1,2 , 3,2 , 2,3 , 3,3 既不是自反的 ,又不是反自反的。其关系图和关系矩阵如下图所示。注意：一个不是自反的关系不一定就是反自反一个关系可能既不是自反的，也不是反自反的9五、反对称性n 定义 3-6.5
4、设 R是 A上的二元关系 ,如果对于每个 x,yX ，每当有 xRy和 yRx必有 x=y， 则称二元关系 R是 反对称的 。R在 X上反对称 (x)(y)(xX yX xRy yRx R x y) n 设 R是 X上的反对称关系，可知，在 R的关系矩阵 MR中以主对角线为轴的对称位置上不能同时为 1(主对角线除外 )。在 R的关系图中每两个不同的结点间不能有方向相反的两条边 。可以存在自回路 主对角线上可以为 1。 所以存在既是对称的又是反对称的关系 。n P112 例 n 例如 设 X=1,2,3， X上的 二元关系 R=1,2,2,3,3,3， R是 反对称 的。它的关系图，关系矩阵如下：MR=10
