1、离 散 数 学 第十七章群1离 散 数 学 目录 群是由 非空集合与一个定义在该集合上的二元运算所组成的代数系统。本章介绍： 17.1 群的概念 17.2 子群 17 3 置换群 17.4 陪集与 Lagrange定理 17.5 同态与同构2离 散 数 学 17.1 群的概念3离 散 数 学 群的 定义 定义 17.1.1：设 G是一个非空集合，在该集合上有一个二元运算 “”。如果该运算满足： 对任意 a, b G，有 ab G； 对任意 a, b,c G ，有 (ab)c = a(bc) 存在 e G， 使对任意 a G ， 有ea = ae = a； 对任意 a G， 存在 a1 G， 使
2、得aa1 = a1a = e； 则称 G为一个群，其中 e称为 G的单位元， a1称为 a的逆元。封闭性结合律有单位元有逆元以后就把群的代数运算称为乘法。P10 4离 散 数 学 群的例子n例 1： G=a， 乘法为 aa = a。n aa = a G， 满足封闭性；n (aa)a= aa = a(aa)， 满足结合律；n 由 aa = a可知 a是单位元，即 e = a；n 由 aa = a可知 a的逆元就是 a，即 a1=a；n G是 一个群。称为单位元群。n 例 2：设 G是全体整数的集合，于是 G对普通加法构成群。n 对 m, n G，有 m + n G， 满足封闭性；n (m + n
3、) + l = m + (n + l)， 满足结合律；n 存在单位元 0，因为 0 + m = m + 0 = m；n 对 m G，有 m G， m+(m)=m+m=0； n G是 一个群。n 例 3：设 G是全体整数的集合，于是 G对普通乘法不构成群。n 若 G是群，则 G的单位元必定是 1，但是对于m G，当 | m | 1时， m的逆元不存在； n G不是一个群。n 例 4：设 G是全体实数的集合 (0除外 )，于是，不难验证 G对普通乘法构成群。5离 散 数 学 群的 大小 群 G的大小是指集合 G的大小。对于一个群G， (1)若 G是无限集，则称 G为无限群； (2)若 G是有限集，
4、则称 G为有限群。对于有限群，又进一步地称 (3)G为 n阶群，若 | G | = n。6离 散 数 学 幂运算 由于群对乘法满足结合律，因此多个元素的连乘是有意义的，并可采用任意的计算顺序。 n个相同元素 a连乘所得的结果称为 a的 n次方幂，记为 an。 规定： a0 = e， an = ( an )1。 容易验证am an = am+n (第一指数律 )；(am) n = am n (第二指数律 )。7离 散 数 学 交换群 群的 乘法满足结合律，是构成群的必要条件，但是并不要求满足交换律。 若群 G的乘法还同时满足交换律，即对任意 a, b G， ab = ba， 则称 G为 Abel
5、 (阿贝尔 ) 群或交换群。 对于交换群，我们有(a b) m = am bm (第三指数律 )。因为，(a b) m =ababab=aaabbb= a m bm m个 m个 m个8离 散 数 学 单位元和逆元的唯一性 定理 17.1.1：任何群的单位元是唯一的；群中每个元素的逆元也是唯一的。 证明：设群 G的单位元为 e， 于是对 aG， 有ae = ea = a (17.1)若另有 e满足 对 aG， 有ae = ea = a (17.2)。则由 a 的任意性，在 (17.1)中令 a = e,得ee=ee=e;在 (17.2)中令 a = e，得 ee=ee=e,于是 e = ee =
6、 e。故 e = e。 对 aG，设 b满足 ab=ba=e(满足逆元的条件 )，则 b=be=b(aa1)=(ba)a1= a1。 故 b = a1。9离 散 数 学 左单位元和左逆元 定理 17.1.2：群定义中的条件 和 可减弱为： (3)G中有左单位元 e， 即对 aG， ea = a； (4)对 aG，有 左逆元，即 a1G， a1a = e。 证明：先证左逆元 a1即右逆元，即 a a1 = e。 a1 G， 存在 b G，使 ba1 = e。 于是aa1 = eaa1 = (ba1)(aa1) = b(a1a)a1 = bea1=ba1=e。 再证 左单位元 e也是右单位元。对 aG， 有ae = a(a1a) = (aa1)a = ea = a。 所以左单位元即右单位元，左逆元即右逆元。10
