1、第 2 章模糊聚类分析2.1 模糊矩阵定义 1 设 R = (rij)mn， 若 0rij1， 则称 R为 模糊矩阵 . 当 rij只取 0或 1时，称 R为 布尔 (Boole)矩阵 . 当模糊方阵 R = (rij)nn的对角线上的元素 rii都为 1时，称 R为 模糊自反矩阵 .定义 2 设 A=(aij)mn,B=(bij)mn都 是模糊矩阵，相等 ： A = B aij = bij；包含 ： AB aijbij；并 ： A B = (aij bij)mn；交 ： AB = (aij bij)mn；余 ： Ac = (1- aij)mn.模糊矩阵的并、交、余运算性质幂等律： A A =
2、 A， AA = A；交换律： A B = B A， AB = BA；结合律： (A B) C = A (B C),(AB)C = A(BC)；吸收律： A (AB) = A， A(A B) = A； 分配律： (A B)C = (AC ) (BC)；(AB) C = (A C )(B C)；0-1律： A O = A， AO = O；A E = E， AE = A；还原律： (Ac)c = A；对偶律： (A B)c =AcBc, (AB)c =Ac Bc.模糊矩阵的合成运算与模糊方阵的幂设 A = (aik)ms， B = (bkj)sn， 定义模糊矩阵 A 与 B 的合成为：A B =
3、(cij)mn，其中 cij = (aik bkj) | 1ks .模糊方阵的幂定义：若 A为 n 阶方阵，定义 A2 = A A， A3 = A2 A， ， Ak = Ak-1 A.合成 ( )运算的性质：性质 1： (A B) C = A (B C)；性质 2： Ak Al = Ak + l， (Am)n = Amn；性质 3： A ( B C ) = ( A B ) ( A C )；( B C ) A = ( B A ) ( C A )；性质 4： O A = A O = O， I A=A I =A；性质 5： AB， CD A C B D.注：合成 ( )运算关于 ()的分配律不成立，
4、即( AB ) C ( A C )( B C )( AB ) C ( A C )( B C )( AB ) C ( A C )( B C )模糊矩阵的转置定义 设 A = (aij)mn, 称 AT = (aijT )nm为 A的转置矩阵，其中 aijT = aji.转置运算的性质：性质 1： ( AT )T = A；性质 2： ( A B )T = AT BT，( AB )T = ATBT；性质 3： ( A B )T = BT AT； ( An )T = ( AT )n ；性质 4： ( Ac )T = ( AT )c ；性质 5： AB AT BT .证明性质 3： ( A B )T =
5、 BT AT； ( An )T = ( AT )n .证明 ：设 A=(aij)ms, B=(bij)sn, A B=C =(cij)mn,记 ( A B )T = (cijT )nm , AT = (aijT )sm , BT = (bijT )ns ,由转置的定义知 ,cijT = cji , aijT = aji , bijT = bji .BT AT= (bikT akjT )nm= (bki ajk)nm= (ajk bki)nm = (cji)nm = (cijT )nm= ( A B )T . 模糊矩阵的 - 截矩阵定义 7 设 A = (aij)mn,对任意的 0, 1， 称A
6、= (aij()mn,为模糊矩阵 A的 - 截矩阵 , 其中当 aij 时， aij() =1；当 aij 时， aij() =0.显然， A的 - 截矩阵为布尔矩阵 . 对任意的 0, 1，有性质 1： AB A B；性质 2： (A B) = A B， (AB) = AB；性质 3： ( A B ) = A B；性质 4： ( AT ) = ( A )T.下面证明性质 1： AB A B 和性质 3.性质 1的证明： AB aijbij；当 aijbij时， aij() =bij() =1；当 aij bij时， aij() =0, bij() =1；当 aijbij 时， aij() = bij() =0；综上所述 aij()bij()时 ， 故 A B .
