1、2007 断裂力学考试试题 B 卷答案 一、简答题 （本大题共 5 小题，每小题 6 分，总计 30 分） 1、 （ 1）数学分析法 :复变函数法、积分变换；（ 2）近似计算法：边界配置法、有限元法；（ 3）实验应力分析法：光弹性法 . （ 4）实验标定法：柔度标定法； 2、 假定：（ 1） 裂纹初始扩展沿着周向正应力 为最大的方向；（ 2）当这个方向上的周向正应力的最大值 max() 达到临界时 ,裂纹开始扩展 . 3、 应变能密度 : rSW ，其中 S 为应变能密度因子， 表示裂纹尖端附近应力场密度切的强弱程度 。 4、 当应力强度因子幅值小于某值时，裂纹不扩展，该值称为门槛值。 5、
2、表观启裂韧度，条件启裂韧度，启裂韧度。 二、推导题 （ 本大 题 10 分） D-B 模型为弹性化模型，带状塑性区为广大弹性区所包围，满足积分守恒的诸条件。 积分路径：塑性区边界。 AB 上：平行于 1x ，有 sTdxdsdx 212 ,0 BD 上：平行于 1x ，有 sTdxdsdx 212 ,0 5 分 sDAsDBsBAsBDABiivvvvdxxuTdxxuTdsxuTW d xJ )()( 1122112212 5 分 三、 计算题 （ 本大 题共 3 小题，每小题 20 分，总计 60 分 ） 1、 利用叠加原理 :微段 集中力 qdx 222()qad K d xax 220
3、2()a qaK d xax 10 分 1x 2x B D A 令 22c o s c o sx a a x a , cosdx a d 1 1 1s i n ( ) 10c o s2 2 s i n ( )c o sa a a aa a aK q d qa 当整个表面受均布载荷时 , 1aa . 12 s in ( )a aaK q q a 10 分 2、 边界条件是周期的 : a. , yxz . b.在所有裂纹内部应力为零 . 0 , , 2 2y a x a a b x a b 在 区间内0, 0y xy c.所有裂纹前端 y 单个裂纹时 22zZ za 又 Z 应为 2b 的周期函数
4、 22si n 2( si n ) ( si n )22zbZzabb 10 分 采用新坐标 : za 22s in ( )2()( s in ) ( s in )22abZ aabb 当 0 时 ,s in , c o s 12 2 2b b b s i n ( ) s i n c o s c o s s i n2 2 2 2 2a a ab b b b b c o s s in2 2 2aab b b 2 2 2 2 s i n ( ) ( ) c o s 2 c o s s i n ( s i n )2 2 2 2 2 2 2a a a a ab b b b b b b 22 s i n
5、 ( ) ( s i n ) 2 c o s s i n2 2 2 2 2a a a ab b b b b 0s in 22 c o s s in2 2 2abZaab b b 0s in 2l im 2 2 ta n 21c o s s in2 2 2aabK Z bbaab b b 2 tan2baa ab 10 分 3、 当复杂应力状态下的形状改变能密度等于单向拉伸屈服时的形状改变 能 密度 ,材料屈服 ,即 : 2 2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) ( ) 2 s 对于型裂纹的应力公式 : 1 22()22x y x y xy 12c os 1 si n 222K r 1
6、0 分 3 0 (平面应力 ,薄板或厚板表面 ) 2 222 c o s 1 3 sin 2 2 2sKr 10 分 -平面应力下 ,型裂纹前端屈服区域的边界方程 . 当 0 时 , 20 1 ()2 sKr 第 3 页 共 3 页 一、 简答题（ 80 分） 1. 断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几 种类型？请画出这些类型裂纹的受力示意图。（ 15 分） 2 请分别针对完全脆性材料和有一定塑性的材料，简述裂纹扩展的能量平衡理论？（ 15 分） 3. 请简述应力强度因子的含义，并简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点？（ 15） 4. 简述脆性断裂的 K 准则及其含义？（ 15） 5
7、. 请简述疲劳破坏过程的四个阶段？（ 10） 6. 求出平面应变状态下裂纹尖端塑性区边界曲线方程，并解释 为什么裂纹尖端塑性区尺寸在平面应变状态比平面应力状态小？ （ 5 分） 7. 对于两种材料，材料 1 的屈服极限 s 和强度极限 b 都比较高，材料 2 的 s 和b 相对较低，那么材料 1 的断裂韧度是否一定比材料 2 的高？试简要说明断裂力学与材料力学设计思想的差别？ （ 5 分） 二、 推导题（ 10 分） 请叙述最大应力准则的基本思想，并推导出 I-II 型混合型裂纹问题中开裂角的表达式？ 三、 证明题（ 10 分） 定义 J 积分如下，( / )J w d y T u x d s
8、 ，围绕 裂纹尖端的回路 ，始于裂纹下表面，终于裂纹上表面，按逆时针方向转动，其中 w 是板的应变能密度，T 为作用在路程边界上的力， u 是路程边界上的位移矢量， ds 是路程曲线的弧元素。证明 J 积分值与选择的积分路程无关 ，并说明 J 积分的 特点 。 四、 简答题（ 80 分） 1. 断裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？请画出这些类型裂纹的受力示意图 。（ 15 分） 答： 按裂纹受力情况把裂纹（或断裂）模式分成三类：张开型（ I 型）、滑开型（ II型）和撕开型（ III 型），如图所示 y x o y x o y x o I 型张开型 II 型滑开型 三型撕开型 2
9、 请分别针对完全脆性材料和有一定塑性的材料，简述裂纹扩展的能量平衡理论？（ 15 分） 答：对完全脆性材 料，应变能释放率等于形成新表面所需要吸收的能量率。 对于金属等有一定塑性的材料，裂纹扩展中，裂尖附近发生塑性变形，裂纹扩展释放出来的应变能 ，不仅用于形成新表面所吸收的表面能，更主要的是克服裂纹扩展所吸收的塑性变形能，即塑性功。对金属材料，能量平衡理论这时需要更广泛的概念。这时， 抵抗裂纹扩展能力 =表面能 +塑性变形能，对金属材料这是常数 。 3. 请简述应力强度因子的含义，并简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点？（ 15） 答： 各种类型裂尖应力和位移场可表示为 )(2 )I()I
10、( ijij frK 3,2,1, ji )()I()I( ii grKu 3,2,1i 若角标 II, III，代表 II 型或 III 型裂纹。可见应力场有如下三个特点： 1） 0r 处，应力趋于无穷大，即在裂尖出现奇异点； 2）应力强度因子在裂尖为有限量； 3）裂尖附近的应力分布是 r 和 的函数，与无限远处应力和裂纹长无关。 由上述裂尖应力场的特点可知，用应力为参量建立如传统 的强度条件失去意义，但应力强度因子是有限量，它不代表某一点的应力，而代表应力场强度的物理量，用其作为参量建立破坏条件是合适的。 应力强度因子一般写为： aYK 4. 简述脆性断裂的 K 准则及其含义？（ 15）
11、答： CKK 11 z 为应力强度因子准则。其中， 1K 为裂纹尖端的应力强度因子，是表示裂纹尖端应力场强度的一个参量，由 载荷及裂纹体形状和尺寸决定，可以用弹性理论的方法进行计算； CK1 称为材料的平面应变断裂韧度，是材料具有的一种机械性能，表示材料抵抗脆性断裂的能力，由试验测定。该式称为脆性断裂的 K 准则，表示裂尖的应力强度因子 1K 达到 CK1 时，裂纹失稳扩展。 当 CKK 11 时，裂纹稳定；当 CKK 11 时，裂纹失稳扩展。 5. 请简述疲劳 破坏过程的四个阶段？（ 10） 答： 1）裂纹成核阶段 2）微裂纹扩展阶段 3）宏观裂纹扩展阶段 4）断裂阶段 6. 求出平面应变状
12、态下裂纹尖端塑性区边界曲线方程，并解释为什么裂纹尖端塑性区尺寸在平面应变状态比平面应力状态小？（ 5 分） 解：裂纹尖端的主应力为 应用 Von-Mises 屈服条件 2 2 2 21 2 2 3 3 1( ) ( ) ( ) 2 x 代入可得 在平面应变状态下，沿厚度方向约束所产生的是拉应力 Z ，在三向拉伸应力作用下 材料不易屈服而变脆 123 1 2c o s (1 s in )222c o s (1 s in )222( ) 2 c o s22IIIKrKrKr 2 2 2 21 ( ) c o s (1 2 ) 3 sin 2 2 2ISK v 7. 对于两种材料 ，材料 1 的屈服
13、极限 s 和强度极限 b 都比较高，材料 2 的 s 和b 相对较低，那么材料 1 的断裂韧度是否一定比材料 2 的高？试简要说明断裂力学与材料力学设计思想的差别？ （ 5 分） 答： 一） 材料 1 的断裂韧度不一定比材料 2 的断裂韧度高。 二） 下面简述 断 裂力学与材料力学设计思想的差别： 断裂力学和材料力学的研究对象不同，材料力学研究完整的材料，而断 裂力学则研究带裂纹的材料。虽然断裂力学是材料力学的发展和补充，但是断裂力学与材料力学的设计思想不同，其差别可从一下几方面来看： 1）静载荷情况 传统的强度条件要求最大计算应力小于材料强度指标，即： ssn max （屈服）， s 为屈服
14、应力 bbn max （破坏）， b 为强度极限 而断裂力学的裂纹失稳准则是： nKK ICI IK 裂纹尖端的应力强度因子 2）循环载荷情况 传统的疲劳设计，是用光滑试件作 S N 曲线，求出下界限应力 1 疲劳极限。如果最大工作应力满足下式 11max n 1n 为循环载荷下的安全系数，并认为凡是有缺陷的构件都不能应用。 断裂力学认为：含裂纹构件，只有裂纹未达到临界长度仍可使用；在循环载荷作用下，裂纹先缓慢扩展，直至达到临界长度，构件才失稳破坏。并选用指标dNda 作用载荷每循环一周裂纹的扩展量，代表材料抵抗裂纹扩展的能力。 3）腐蚀介质下的情况 综上所述，断裂力学出现后，对宏观断裂有了进
15、一步认识，对传统设计思想进行了改善与补充。 五、 推导题（ 10 分） 请叙述最大应力准则的基本思想，并推导出 I-II 型混合型裂纹问题中开裂角的表达式？ 答： 最大应力准则的基本假定： 1）裂纹沿最大周向应力方向开裂； 2）在该方向上周应力达到临界值时，裂纹开始扩展。 根据该假定有， 0 ， 022 把 si n3)c o s1(22 2c o s III KKr 带入上面两式 并利用 1cossin 22 ，可求得开裂角的表达式 2222420 9 83a r c c o s KK KKKK对于纯 I 型， 0K ， 00 ，故根号前必须取正，则 2222420 9 83a r c c
16、o s KK KKKK六、 证明题（ 10 分） 1）证明 J 积分值与选择的积分路程无关； 2）说明 J 积分的局限性。 答： 1） 由弹性力学 公式 ijii nT ， 2,1, ji in 弧元素法线的方向余弦。 利用 2dxdy ， 1dxdx ，带入 )( dsxuTw d yJ 可以得到 12 )( dsxunw d xJ iiji iu 位移分量。 由 图（ 1）可知， dsdxn /21 ， dsdxn /12 所以有， dsndsndx jj 112 . 则， dsnxuwJ jiijj 11 )( 作一封闭曲线 * ，分四段 1 、 2 、 3 、 4 ，如图（ 2），故
17、* 内无奇异点。 由格林公式： As dxdxxQxQQ d xP d x )()( 212121令 0Q ，同时 dsndx .21 ， dsndx .12 ，则格林公式可改写成 A js j dAxPdsPn 则线积分 dAxuxxwdAxuwxdsnxuwAiijjiijjA jjiijj )()(1111 11* （ a） 利用：ijijw ， )(21 ijjiij xuxu 及 jjiij 可以推出 11111)()(21 xuxxuxxuxuxxwxw ijijiijjijjiijijij 利用平衡方程 0, jij ，可得 )( 11 xuxxw iijj 将上式带入 (a)式
18、，有 0)(* 11 dsnxuw jiijj 即 0)(* dsxuTw d yJ 注意到， 04321* J又因为在路径 2 、 4 上， 0dy ，且由于 2 、 4 是自由表面， 0T 则有， 331 所以积分路径与选择的路线无关。 2） J 积分的局限性主要有： a）积分中使用了全量理论，ijijw ，因此不允许卸载； b）用到了 )(21 ijjiij xuxu ，因此必须是小变形； c）用到了 0, jij ，指系统处于静平衡状态。 七、 简答题（ 70 分） 1. 请简述线弹性断裂力学中裂纹尖端应力场的特点？（ 15） 2. 简述裂纹扩展的能量平衡理论？（ 15 分） 3. 断
19、裂力学中，按裂纹受力情况，裂纹可以分为几种类型？（ 10 分） 4. 请简述疲劳破坏过程的几个阶段？（ 5） 5.试简要说明断裂力学与材料力学设计思想的差别？ （ 10 分） 八、 推导题（ 20 分） 在 I-II 复合型裂纹问题中，裂纹尖端附近周向应力场由下式给出 c o s ( / 2 ) ( 1 c o s ) 3 s i n / ( 2 2 )I I IK K r 请简述最大应力准则的基本假定，并根据基本假定推导出开裂角的表达式？ 九、 证明题（ 25 分） 定义 J 积分如下，( / )J w d y T u x d s ，围绕 裂纹尖端的回路 ，始于裂纹下表面，终于裂纹上表面，按逆时针方向转动，其中 w 是板的应变能密度， T 为作用在路程边界上的力， u 是路程边界上的位移矢量， ds 是路程曲线的弧元素。证明 J 积分值与选择的积分路程无关 ，并说明 J 积分的 特点 。
