1、第二章第二章 控制系统的传递函数控制系统的传递函数本章重点： 1 掌握控制系统建立数学模型的方法2 应用拉普拉斯变换求解微分方程2.0 概述主要解决的问题：1 什么是数学模型2 为什么要建立系统的数学模型3 对系统数学模型的基本要求第二章第二章 控制系统的传递函数控制系统的传递函数2.0 概述一、数学模型的定义1、 控制系统的数学模型是描述系统或环节内部、外部各物理量（或变量）之间动、静态关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。 亦：描述系统性能的数学表达式（或数字、图像表达式）。控制系统的数学模型按系统运动特性分为： 静态模型 动态模型静态模型 ：在 稳态 时（系统达到平衡状态）描述系统各
2、变量间关系的数学模型。动态模型 ：在 动态过程 中描述系统各变量间关系的数学模型。控制系统的数学模型可以有多种形式，建立系统数学模型的方法可以不同，不同的模型形式适用于不同的分析方法。关系：静态模型是 t时系统的动态模型。第二章第二章 控制系统的传递函数控制系统的传递函数2、为什么要建立控制系统的数学模型控制系统的数学模型是由具体的物理问题、工程问题从 定性的认识 上升到 定量的精确认识 的关键！（这一点非常重要，数学的意义就在于此）一方面 ， 数学自身的理论是严密精确和较完善的 ，在工程问题的分析和设计中总是希望借助于这些成熟的理论。事实上凡是与数学关系密切的学科发展也是快的，因为它有严谨和
3、完整的理论支持； 另一方面 ， 数学本身也只有给它提供实际应用的场合，它才具有生命力 。 “1”本身是没有意义的，只有给它赋予了单位（物理单位）才有意义。建立系统数学模型的方法很多，主要有两类：机理建模 （ 白箱 -系统的各元件及参数已知，结构已知）；实验建模 （数据建模， 系统辨识 ） （ 黑箱 -结构全不知道或 灰箱 -知道一部分）。第二章第二章 控制系统的传递函数控制系统的传递函数二、建立数学模型的依据通过系统本身的物理特性来建立。如力学三大定律、流体力学定律、电学定律、欧姆定律、克希霍夫定律等三、数学模型的特点1、实物 （抽象）数学表达式2、不同的控制系统可以具有相同的数学模型即可用同
4、一个数学模型去描述不同的系统，如， 单摆在平衡位置附近的 自由运动 电阻、电容、电感电路中电容的 放电过程 都是 衰减振荡。相似系统：控制系统中具有相同的数学模型的系统。说明 ：一般由于机械系统比较复杂，参数调整不方便，在很多情况下，采用电模拟的方法，对系统分析，特别是在现在，电气、电子技术的发展，为电模拟提供了良好的条件。在专用模拟机或通用模拟机上，采用数学模型相似的 电网络 代替要研究的系统来进行计算和研究，方便，易行。应用： 模拟：两相似系统，通过分析一个系统而达到对另外系统分析研究，称为模拟，这种方法称为功能模拟法。第二章第二章 控制系统的传递函数控制系统的传递函数3、同一控制系统可以
5、有不同的数学模型同一控制系统具有各种物质运动形式（机械传动、电磁量运动、热变形等），而不同的物质运动形式又分别受不同的物理规律约束，因而建立的数学模型可能不同。 因此，建立数学模型时，一定要搞清输入量、输出量。四、数学模型的分类1、 微分方程 时间域 t 单输入 单输出2、 传递函数 复数域 s=+i - - -3、 频率特性 频率域 - - -4、 状态方程 时间域 t 多输入 多输出 用一组微分方程描述系统的状态特性第二章第二章 控制系统的传递函数控制系统的传递函数2 1 微分方程模型（时间域模型） 一、控制系统微分方程的分类 线性系统 ：可由线性微分方程描述的系统。线性微分方程是指微分方
6、程是定常和线性的。线性系统可应用 叠加原理 ，将多输入及多输出的系统转化为单输入和单输出的系统进行处理分析，最后进行叠加。另外线性系统还有一个重要的性质，就是 齐次性 ，即当输入量的数值成比例增加时，输出量的数值也成比例增加，而且输出量的变化规律只与系统的结构、参数及输入量的变化规律有关，与输入量数值的大小是无关的。非线性系统 ：研究非线性系统的运动规律和分析方法的一个分支学科。非线性系统最重要的问题之一就是确定模型的结构，如果对系统的运动有足够的知识，则可以按照系统运动规律给出它的数据模型。一般来说，这样的模型是由 非线性微分方程和非线性差分方程 给出的，对这类模型的辨别可以采用线性化，展开
7、成特殊函数等方法。非线性系统理论的研究对象是非线性现象，它反映出非线性系统运动本质的一类现象，不能采用线性系统的理论来解释， 主要原因是非线性现象有频率对振幅的依赖性 、 多值响应 和 跳跃谐振 、 分谐波振荡 、 自激振荡、频率插足、异步抑制、 分岔和混沌 等 。第二章第二章 控制系统的传递函数控制系统的传递函数借助表达系统输入、输出之间动态关系的微分方程：i=0,1n j=0,1,m可对系统进行描述。1、线性定常系统 ai,bj 都不是 xo(t)和 xi(t)及它们导数的函数，也不是时间的函数；2、线性时变系统 ai,bj 是时间的函数；3、非线性系统 ai,bj 有一个依赖 xo(t)
8、和 xi(t)或它们导数，或者在微分方程中出现时间的其他函数形式。线性系统满足叠加原理，而非线性系统不满足叠加原理。第二章第二章 控制系统的传递函数控制系统的传递函数二、 微分方程模型的建立根据系统 物理机理 建立系统微分方程模型的 基本步骤 ： （ 1）确定系统中各元件的输入、输出物理量； （ 2）根据物理定律或化学定律（机理），列出元件的原始方程，在条件允许的情况下忽略次要因素，适当简化； （ 3）列出原始方程中中间变量与其他因素的关系； （ 4）消去中间变量，按模型要求整理出最后形式。 例 1：单自由度机械位移系统（如插床、刨床）如图，建立 间的微分方程关系式。分析： 输入： 力 输出： m的位移 第二章第二章 控制系统的传递函数控制系统的传递函数质量 -弹簧 -阻尼器系统 m的受力分析 第二章第二章 控制系统的传递函数控制系统的传递函数注意： 习惯上将系统（元件）的输出及输出的各阶导数放在等式的左边，输入及输入的各阶导数放在等式的右边； 由于系统总是存在着储能元件，一般地，等式左边的阶次高于右边的阶次； 上式中左边输出的最高阶次为二，称该系统为二阶系统。
