1、第 9 章 多元函数微积分知识点 概念 偏导数 全微分 复合函数与隐函数的微分法 二重积分难点 复合函数 隐函数微分发 要求 熟练掌握复合函数隐函数的微分法二重积分的求法 理解二元函数概念 二元函数的偏导数全微分的概念 9.1 多元函数的微分9.1.1 多元函数的概念1.多元函数的定义设 D为 平面上的一个区域，如果对开 D上每一点 M（ x， y） 变量 Z依照某一规律总有唯一确定的数值与之对应，则称 Z为 x， y的函数，记作：其中 D称为函数的定义域。我们把二元及二元以上的函数统称为多元函数。2. 二元函数的几何意义3. 二元函数的定义域定义 1 平面上使函数 有定义的但的全体，称做二元
2、函数的定义域，记作 D或二元函数的定义域 D是 平面的某以区域。其定义域的求法与一元函数定义域的求法相似，只是二元函数的定义域一般为一个平面区域。9.1.2 偏导数于全微分1.偏导数的定义定义 2设函数 在点 的某个邻域内有定义，当自变量 x在 x0处取得的变量 且在内 保持不变时，得到函数改变量 。若当 时，极限 存在 ,则称此极限值为函数 在点 处对于 x的偏导数。记作：， ， 或 。同理可以定义 对 y的偏导数，即如果极限 存在，则称此值为函数 在点 处对于 Y的偏导数，记作 ， 或 。2.偏导数的求法 3.全微分概念定义 3 如果函数 在点（ x， y） 处的全改变量 可表示为其中 A
3、,B与 无关，仅与x， y有关 , 表示关于 的高阶无穷小量。则称函数 在点（ x， y） 可微，并称 为 在点（ x， y） 全微分 。记为 或 即 。定理 1 如果函数 在点（ x， y） 的某一邻域内存在连续的一阶偏导数 则函数 在点 （ x， y） 处可微，且。4.全微分的求法9.1.3 复合函数的偏导数9.1.4 隐函数的导数和偏导数1.隐函数的导数对于方程 所确定的隐函数可以由下列公式求出 y对 x的导数其中， 分别是 对 x， y所求的偏导数。2.隐含数的偏导数对于方程 所确定的隐函数可用下列公式来求偏导数：其中 , 分别是对 x， y， z所求的偏导数。例 已知二元函数 解 设所以 例设二元函数 ，求 。解 例 设 ，求 。解 因为所以例证明由方程 （ f为任意可微分函数）所确定的函数 ，满足关系式。
