1、在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做 虚位移原理 。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。2131 约束及其分类132 自由度 广义坐标133 虚位移和虚功134 理想约束135 虚位移原理 第十六章 虚位移原理313-1 约束及其分类一、约束及约束方程限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。将约束的限制条件以数学方程来表示
2、，则称为约束方程。 平面单摆例如 ：曲柄连杆机构4根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通常按如下分类：二、约束的分类1、几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为 几何约束。 如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几何约束。当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为 运动约束 。例如： 车轮沿直线轨道作纯滚动时。5几何约束：运动约束：当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为 非定常约束 。约束条件不随时间改变的约束为 定常约束 。前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。2、定常约束和非定常约束例如 ：重物 M由一条穿过固定圆
3、环的细绳系住。初始时摆长 l0 , 匀速 v拉动绳子。x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t 6如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束）而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为 非完整约束 。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达。 3、完整约束和非完整约束如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为 完整约束 。7在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为 双面约束
4、 。只能限制质点或质点系单一方向运动的约束称为 单面约束 。例如： 车轮沿直线轨道作纯滚动， 是微分方程，但经过积分可得到 （常数），该约束仍为完整约束。 4、单面约束和双面约束几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。刚杆x2+y2=l2绳x2+y2 l28双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等式。我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，其约束方程的一般形式为（ s为质点系所受的约束数目， n为质点系的质点个数）913-2 广义坐标与自由度定义 ：能决定系统几何位置的、彼此独立的一组时间变量称为该系统的广义坐标，或称独立坐标。定义 ：广义坐标对时间的导数称为广义速度一个自由质点在空间的位置：（ x, y, z ) 3个一个自由质点系在空间的位置： ( xi , yi , zi ) (i=1,2 n) 3n个对一个非自由质点系，受 s个完整约束，（ 3n-s )个独立坐标。其自由度为 k=3n-s 。确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称为该质点系的 自由度的数目 ，简称为 自由度 。例如 , 前述 曲柄连杆机构 例子中 , 确定曲柄连杆机构位置的四个坐标 xA、 yA、 xB、 yB须满足三个约束方程 ,因此有 一个自由度 。10
