1、15 流变学基本方程高聚物材料的性能测定和加工过程，是流变学的主要研究范围和对象。为了定量地分析研究高聚物材料的流动和变形过程，必须建立起描述这个过程的数学方程，即连续性方程、动量方程、能量方程。5.1 张量初步5.2 连续性方程 5.3 动量方程5.4 能量方程5.5 本构方程25 1 张量初步张量分析是高聚物流变学研究中必不可少的工具，需用矢量代数、线性代数、张量运算等数学知识。5.1.1 标量、矢量和张量(1)标量没有任何方向性的纯数值的量称为标量。如 ：质量 m、体积 V、密度 、温度 T、能量 E等。标量的特征是其值不因坐标系变换而变化。35 1 张量初步(2)矢量矢量与向量是数学上
2、矢量（向量）分析的一种方法或概念，两者是同一概念，只是叫法不同，简单的定义是指既具有大小又具有方向的量。如 : 位移、速度、温度梯度等。矢量用粗体代号或一个脚码代号表达 ,在直角坐标系中， 矢量表示为：a = a1 = axi + ayj + azki 、 j 、 k是分别平行于 x、 y、 z轴的单位矢量。式中的三个分量 ax 、 ay、 az都是数量，由此可见矢量是由三个数量所确定的 .45.1.1 标量、矢量和张量(3) 张量在客观世界中，还有一系列的物理量或物体的某些属性需要大于三个的数量（或数量函数）才能确定，这便导致了人们提出张量的概念。张量有一阶张量、二阶张量、三阶张量、直到 n
3、阶张量等等。张量 在笛卡尔（ Descartes)坐标系上是 一组有序矢量 的集合。实际是三维空间的 n次幂，如 零阶张量是 30，即为标量；一阶张量是 31，即为矢量；二阶张量是 32，共有九个分量。不管是一阶，还是二阶，或 n阶，它们都是某种物理量或属性的表示方法。张量的分量都是具有一定的空间分布，张量具有可 分解性和可加性。 55.1.1 标量、矢量和张量流变学中的参量，如应力 sij 、 应变 eij 、剪切 应力 ssij 、剪切速率等都是张量 。s = s = sij65.1.1 标量、矢量和张量(4)几个特殊张量单位张量： d = sij= sji对称张量：二阶张量的下标 i 与
4、 j 互换后，所代表的分量不变，称为二阶 对称张量。即 :sij = sji二阶 对称张量的矩阵表示形式中各元素对于对角线对称。只有六个独立元素。75.1.2 哈密尔顿算子和 梯度、散度、旋度(1) 哈密尔顿算子哈密尔顿算子（ Hamilton operator）是一个具有微分和矢量双重运算的算子。 在直角坐标系中表达为：算子具有矢量和微分双重性质的符号，又叫 向量微分算子、 Nabla算子（形似希腊 nabla竖琴而得名）、倒三角算子。一方面它是矢量，在运算时服从 矢 量代数和矢量分析中所有法则；另一方面它又是个微分算子，可按微分法则进行运算。流动和变形的材料在空间的每个点，都对应着物理量的
5、一个确定值。对于这些标量和矢量确定的空间，即为标量场和矢量场。85.1.2 哈密尔顿算子和 梯度、散度、旋度(2) 标量场的 梯度梯度 (Gradient)是个 矢量 。标量 j 的梯度 : 方向 为 j变化率最大的方向，大小 为 这个最大变化率的数值。梯度 是温度、浓度和密度等这些标量场不均匀的量度，记为 gradj。在直角坐标系中：95.1.2 哈密尔顿算子和 梯度、散度、旋度梯度的基本运算法则有 ：（ C为常数）105.1.2 哈密尔顿算子和 梯度、散度、旋度(3) 矢量场的 散度散度 (Divergence)为矢量场中任一点通过所包围界面的通量 ,并除以此微元体积。 记为 div n,它是一 标量 。在直角坐标系中 ,若矢量v= v1i + v2j + v3k流变学中最常见的是速度矢量场的散度。对于速度场散度 div vi 可写成： vi而速度梯度又可表达为 : vi两个矢量的 点乘 为一个标量： u .v = v.u = ui vi则其散度为 div v= v
