1、非线性有限元第 4章 Lagrangian网格 计算固体力学第 4章 Lagrangian网格 1 引言2 UL控制方程，弱形式3 UL有限元离散4 编制程序5 旋转公式6 TL格式，弱形式， 有限元半离散化1 引言 在 Lagrangian网格中，节点和单元随着材料移动，边界和接触面与单元边缘保持一致，处理较为简单。积分点也随着材料移动，本构方程总是在相同材料点处赋值，这对于历史相关材料是有利的。基于这些原因，在固体力学中广泛地应用 Lagrangian网格。UL格式， Eulerian（空间）坐标和 Cauchy应力 ；TL格式，名义应力， PK2应力， Green应变张量 。2 UL控制
2、方程 弱形式考虑一个物体，占有域 ，边界为 。连续体力学行为的控制方程是：1 质量（或物质）守恒，标量方程；2 线动量和角动量守恒，张量方程，包含 n个偏微分方程（ n维数）；3 能量守恒，通常称作热力学第一定律，标量方程；4 本构方程，应力应变或应变率的关系，对称张量；5 应变位移方程。2 UL控制方程 弱形式边界条件：在二维问题中，面力或速度的每个分量都必须预先指定在整个边界上；但是，面力和速度的同一个分量不能指定在边界上同一点处。其分量可以指定在不同于总体坐标系的局部坐标系上。速度边界条件等价于位移边界条件：如果给定了位移，可以通过时间微分得到速度；给定了速度，可以通过时间积分得到位移。
3、2 UL控制方程 弱形式初始条件：可以是 速度和应力 ，或者是位移和速度。第一组初始条件更适合于大多数工程问题，因为确定一个物体的初始位移通常是很困难的。初始应力通常为已知的残余应力，有时候可以测量或者通过平衡解答估算。例如，当一个钢件经过铸锭成型后确定其位移几乎是不可能的。对于在工程部件中的残余应力场，经常能够给出较准确的估计。类似地，在埋置管道中，靠近管道周围的土壤或岩石的初始位移的概念是毫无意义的，而初始应力场可以通过平衡分析估计出来。因此，以应力形式的初始条件更加实用。 虚功率原理是动量方程，面力边界条件和内部力连续性条件的弱形式。 微分方程的积分形式一般称为弱形式。强形式或广义动量平
4、衡，包括动量方程，力边界条件和力连续性条件。 微分方程一般称为强形式 。2 UL控制方程 弱形式3 UL有限元离散有限元近似 在有限元方法中，运 动 近似地表示 为当前构形中的节点坐标 小写的下标表示分量，如三维大写的下标表示节点值 默认对重复的指标求和；在小写指标的情况下，对空间的维数进行求和，而在大写指标的情况下，对节点的编号进行求和。在求和中的节点数目取决于所考虑的域：当考虑整个域时，对整个域中的所有节点求和；当考虑一个单元时，对这个单元的所有节点求和。3 UL有限元离散有限元近似 当一个 节 点具有初始位置 有 节点 J总是对应于相同的材料点 XJ ，在 L网格中，节点总是和材料点保持一致定义节点位移： 位移场： 取位移的材料时间导数得到速度： 速度是位移的材料时间导数，即当材料坐标固定，对时间求偏导数。 由于形状函数不随时间改变，因此速度是由相同形状函数给出的。 节点位移上面的点表示普通导数，因为它仅是时间的函数。3 UL有限元离散有限元近似 加速度是速度的材料时间导数 速度梯度为 变形率给出为 变分函数或变量不是时间的函数，因此将变分函数近似为 虚拟节点速度
