1、同济大学 汽车学院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系统的数学模型系统的数学模型就是描述所研究物理控制系统的动力学表达式。建立控制系统数学模型的目的是要依据该数学描述对系统进行分析与综合。2.1 控制系统微分方程及其线性化以绪论中介绍的电子节气门系统为例介绍如何建立一个自动控制系统的微分方程。所谓系统的微分方程就是在时域描述系统输出量（被控制量）与系统 参考输入量 （ 给定量 ）间的动力学关系的微分方程式。具体的方法是：先求出系统单个元件输入输出间的数学表达式，然后再跟据系统的结构或信号传递关系综合求出整个系统的数学表达式。同济大学 汽
2、车学院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系统的数学模型n 建立电子节气门角位移控制系统的微分方程l 系统输出量是节气门活瓣的角位移（节气门开度） 。l 系统的给定量是与油门踏板位置成比例的节气门开度给定信号建立该系统的数学模型即建立该系统节气门开度 与所希望的节气门开度给定信号 间的关系式 同济大学 汽车学院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系统的数学模型n 反馈元件n 比较元件n 放大元件 转换系数（ 伏 /弧度） 活瓣最大角位移 控制电源电压 放大器增益同济大学 汽车学院Co
3、llege of Automotive, Tongji University第二章控制及系统的数学模型n 控制对象（两级减速器 +节气门活瓣）先讨论一个有两级机械减速的动力传动系统，减速传动的输入转矩为 Tm , 输出是阻转矩为 TL的惯性机械负载。图 1 两级机械减速的动力传动系统同济大学 汽车学院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系统的数学模型图中所示的 Zi为各齿轮齿数， J1， J2， J3和 1 ， 2 ， 3分别为各轴及相应齿轮的转动惯量和转角。（其中 中包含负载的转动惯量）假设各轴均为绝对刚性，可得如下动力学方程组 :式中
4、 齿轮传动中各轴及齿轮的粘性阻尼系数（其中 包含 负载的粘性摩擦） ；T1-齿轮 Z1对 Tm的反转矩；T2-Z2对 T1的反转矩；T3-Z3对 T2的反转矩； T4-Z4对 T3的反转矩；TL-负载对 T4的反转矩，即负载转矩。(1)(2)(3)同济大学 汽车学院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系统的数学模型由齿轮传动的基本关系可知于是由式 (1)、（ 2）和（ 3）式，并代入以上的基本关系，可得：（ 4）同济大学 汽车学院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系统的数学模型令：
5、称为等效转动惯量 ;令：称为等效阻尼系数令：称为等效负载转矩同济大学 汽车学院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系统的数学模型因此（ 4）式可改写改为 则图 1所示的传动系统可简化为图 2所示的等效齿轮转动图 2 从减速器输入轴看进去的等效齿轮传动同济大学 汽车学院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系统的数学模型根据以上讨论，本例中的控制对象（两级减速器 +节气门活瓣）在数学处理上可以看作一个：l 输入轴上转动惯量为 ，粘性阻尼系数为 ，阻转矩 为零（在活瓣上无外力作用时），l 负载输出轴无转动惯量、无粘性阻尼的假想变速传动装置。该变速传动装置的变比为：同济大学 汽车学院College of Automotive, Tongji University第二章控制及系统的数学模型n 执行元件（电动机）其中 为电动机电枢输入电压； 为电动机输出转角；Ra 为电枢绕组的电阻； La 为电枢绕组的电感； 为流过电枢绕组的电流 为电动机感应电动势；T(t)为电动机转矩； J为电动机及负载折合到电动机轴上的动惯量之和 ；f 为电动机及负载折合到电动机轴上的粘性阻尼系数之和 。
