1、现代控制理论Modern Control Theory(10)俞 立浙江工业大学 信息工程学院4.2 李雅普诺夫稳定性定理通过分析系统能量的变化来确定系统运动的稳定性！系统的运动方程是一个能量函数（应该是正定的）：沿状态轨线，系统能量的变化率：如果它是负定的，则沿状态轨线，系统能量是减少的。抽象总结成以下的一般结论定理 4.2.1 对非线性系统 ，原点是系统的平衡状态，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数1。 是正定的；2。沿系统的任意轨线，关于时间的导数 负定则系统在原点这个平衡状态处是渐近稳定的。进而，当 ，若 ，则系统是大范围渐近稳定的。满足条件（ 1）和（ 2）的函数 V(x, t) 称
2、为是系统的 李雅普诺夫函数 。定理的说明给出的判据是充分的，即若能找到一个李雅普诺夫函数，则可断定系统渐近稳定；若找不到，则没有结论；如何寻找李雅普诺夫函数呢？仍未解决，只有试凑；对于线性系统，渐近稳定 大范围渐近稳定；若 半负定，表明系统的能量不会增加，故系统是稳定的；定理适合于线性、非线性、时变、定常系统。例 分析以下系统在原点处的稳定性解 原点是系统的惟一平衡状态。选取（最简单的二次型函数）它是正定的。沿系统的任意轨线，上式是负定的。因此 V(x) 是系统的李雅普诺夫函数，且 V(x) 是径向无界的。故系统渐近稳定。对系统能量函数沿系统轨线 的负定性表明系统状态运动时，能量是减少的，给出
3、的是以原点为中心的一族同心圆，随时间推移，C不断减小，从而状态不断趋向于零。条件 负定性的降低。定理 4.2.2 对非线性系统 ，原点是系统的平衡状态，若存在具有连续一阶偏导数的标量函数1。 是正定的；2。沿系统任意轨线，关于时间导数 半负定3。在系统任意轨线上， 不恒等于零4。当 ，则系统在原点这个平衡状态处是大范围渐近稳定的。能量函数的值不能老停留在一处，要不断下降。好处 ：可以简化稳定性分析。例 分析系统的稳定性解 系统的平衡状态为 ，选取（ 1） 是正定的；（ 2）沿系统的任意轨线，是半负定的。系统模型李雅普诺夫函数李雅普诺夫函数的时间导数检验定理的条件（ 3）：若 即 由第 2个状态方程得 ，是系统的零状态 由第 2个状态方程得 但 不满足第 1个方程，故不是系统的轨线。故在系统的任意非零轨线上， 不可能恒等于零。根据定理 4.2.2，系统是渐近稳定的。针对以上例子，对可以验证故该函数是系统的一个李雅普诺夫函数。表明 ：针对一个平衡状态，可以有多个李雅普诺夫函数。
