1、第三章动态系统的稳定性及李雅普诺夫分析方法1 稳定性基本概念一、外部稳定性与内部稳定性1外部稳定性考虑一个线性因果系统 ,在零初始条件下 ,如果对应于任意有界输入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。 系统的外部稳定性也称有界输入有界输出（ BIBO）稳定性。 对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数的全部极点具有负实部。 如果由非零初始状 态 引起的系统自由运动 有界，即： 2内部稳定性考虑输入量为零时的线性系统 并满足渐近属性，即 ，则称该系统是内部稳定的。 它表达了在外界扰动消失后，系统由初始偏差状态恢复到原平衡状态的能力。它更深刻地揭示出系统稳定性的本质属性。 二种描述
2、都反映了稳定性的系统结构属性，在一定的条件下它们是完全等价的。 内部稳定性理论主要由李雅普诺夫（ A.M.Lyapunov）建立，提出了分析系统稳定性的李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法， 二、李亚普诺夫稳定性基本概念（一） 系统运动及平衡状态1自治系统自治系统是指不受任何外界影响即没有输入作用的动态系统。 线性系统： 2受扰运动将 自治 系 统 在初始状 态 条件下的解称为受扰运动。就是系统的零输入响应。通常表示为 。 对非线性系统，一般有多个平衡状态。3. 平衡状态如果存在 ，对所有的 t有 成立，称状态 为上述系统的平衡状态。 若 A非奇异， 唯一的平衡状态 若 A奇异， 平衡状态 ,非
3、唯一通常情况下，一个自治系统的平衡状态不是唯一的。而对于线性定常连续系统的平衡状态有：如果平衡状态在状态空间中是彼此孤立的，则为孤立平衡状态。 任何一个孤立的平衡状态都可以通过坐标系移动转换成零平衡状态， 所以 讨论 零平衡状 态 的稳定性具有普遍意义。 可以将下式看成为状态空间中以 为球心，以 为半径的一个超球体，球域记为 ；把上式视为以 为球心，以 为半径的一个超球体，球域记为 。球域 依赖于给定的实数 和初始时间 。 （二）稳定性定义1. 稳定设 为系统的一个平衡状态，如果对任意给定的一个实数 ，都对应地存在另一实数 ，使得由满足式子 的任一初始状 态 出发的受扰运动都满足 则 称平衡状
4、 态 是稳定的。 从球域 内任一点出发的运动 对所有的都不超越球域 。如果 与 无关，称为是一致稳定，定常系统是一致稳定的。平衡状 态 是稳定的几何解释： 一个二维状态空间中零平衡状态 是稳定的几何解释如右图 。 上述稳定保证了系统受扰运动的有界性，通常将它称为李雅普诺夫意义下的稳定，以区别于工程意义的稳定。不仅具有 Lyapunov意义下的稳定，并且则称平衡状态 为渐近稳定。从球域 内任一点出发的运动 对所有的 不仅不超越球域 ，而且当 时，最终收敛于平衡状态 。 2. 渐近稳定渐近性几何解释：二维状态空间中零平衡状态为渐近稳定的几何解释如右图。 满 足 渐 近 稳 定的球域 只是状态空间中
5、的有限部分，这时称平衡状态 为局部渐近稳定，并且称 为渐近稳定吸引区，表示只有从该区域出发的受扰运动才能被 “吸引 ”至平衡状态 。线性系统若是渐近稳定（且 A非奇异），必为全局渐近稳定。非线性系统一般只能是小范围渐近稳定。若 与 无关，则为一致渐近稳定。 定常系统是一致渐近稳定的。若 ，则为全局渐近稳定。 不管初始值偏离平衡点多大，（状态空间中任意点）都具有渐近稳定特性。状态空间中只能有一个平衡点。满足上面两点的为全局一致渐近稳定。渐近稳定 等同于工程上稳定的概念。 有界性，渐近性 3. 不稳定无论 取得多么小，也无论 取得多么大，在球域 内 总存在非零点 ，使得由 出发的运动轨迹 越出球域 ， 则称平衡状态 为不稳定。二维状态空间中零平衡状态为不稳定的几何解释如右图。 对于非线性系统，也有可能趋于以外的某个平衡点或某个极限环。
