1、答案 12.1 解：分别对节点 和右边回路列 KCL 与 KVL 方程： Cquu iiqi CL LRCC / 将各元件方程代入上式得非线性状态方程： Cq Cqffq / )/()( 21 方程中不明显含有时间变量 t，因此是自治的。 答案 12.2 解：分别对节点 、列 KCL 方程： 节点 ： 1i 321S1 /)( Ruuiq 节点 ： 2i 423212 /)( RuRuuq 将 )(),( 222111 qfuqfu 代入上述方程，整理得状态方程： )/()(/)( /)(/)(4343223112S3223111 RRRRqfRqfq iRqfRqfq 答案 12.3 解：分
2、别对节点 列 KCL 方程和图示回路列 KVL 方程得： (2 ) (1 ) /323321 uu RuiqS 3u 为非状态变量，须消去。由节点 的 KCL 方程得： 04 13332432 R uuRuiiii 解得 )/()()()/()( 433224114332413 RRRfRqfRRRiRuu 将 )( 111 qfu 、 )( 222 fi 及 3u 代入式 (1)、 (2)整理得： SuRRRRfRRRqfRRRfRRqfq )/()()/()( )/()()/()(4343224331124332243111 答案 12.4 解：由 KVL 列出电路的微分方程： Lu )(
3、s in)(dd 3 tRuRit S 前向欧拉法迭代公式： )(s in)( 31 kkkk tRh 后向欧拉法迭代公式： )(s in)( 13 11 kkkk tRh 梯形法迭代公式： )(s i n)()(s i n)(5.0 13 131 kkkkkk tRtRh 答案 12.5 解：由图 (a)得： tuCuUtCtuCi RRCR dd)(dddd S (1) 由式 (1)可知 ，当 0Ri 时， 0dd tuR ， Ru 单调减小；当 0Ri 时， 0dd tuR ， Ru 单调增加。由此画出动态路径如图 (b)所示。 24 222A/RiV/Ru0PAB3 4o(b) V3)
4、0()0( S CR uUu 响应的初始点对应 P 。根据动态轨迹，分段计算如下。 (1) AB 段直线方程为： 4 RR iu 。由此得 AB 段线性等效电路，如图 (c)。 SUV41C Ru(c) SU1C Ru(d) 由一阶电路的三要素公式得： V4p Ru ， s1 V)e4(e)(0)(0 /pp ttRRRR uuuu 0( 1tt 设 1tt 时，动态点运动到 A 点，即 2e4 1 t ，求得 s693.02ln1 t 。 (2) OA 段 1tt 时， Ru 将位于 OA 段，对应直线方程 RR iu 。线性等效电路如图 (d)。由图 (d)求得： )( 1e2 ttRu
5、V )( 1tt 答案 12.6 解： 0t 时，由图 (a)得 RR iCtu 1dd ， 0Ri Ru 只能下降。画出动态路径如图 (b)所示。响应的起始位置可以是 A 或 B 点。 (1) 设起始位置是 A 点，响应的动态轨迹可以是 A-O 或 A-C-D-O，其中 C-D 过程对应电流跳变。 (1.1) 设动态轨迹为 A-O。非线性电阻在此段等效成 2 的线性电阻，响应 电压为： tC tu 0.5e2)( V )0( t (1) (1.2) 设动态路径为 A-C-D-O。 C 11VCuC 1-V3Cu(c ) AC 段等效电路 (d ) BC 段等效电路AC 段的等效电路如图 (c
6、)所示。由图 (c)求得： V2)0( Cu ， V3)(p tuC ， s1 由三要素公式得： )e3( tCu V )0( tt (2) 设 1t 时刻到达 C 点，即 1e3 1t 解得 693.0t s。 tt 时，动态轨迹位于 DO 段，非线性电阻变成线性 2 电阻，响应为 )0.5( 1e)( ttC tu V )( tt (3) (2) 设起始位置为 B 点，则 设动态路径为 B-C-D-O。 位于 BC 段时，线性等效电路如图 (d)所示。由图 (d)求得 V1)(p tuC ， s1 tC tu e31)( V )1(0 tt (4) 设 1t 时刻到达 C 点，即 1e31
7、 1t 解得 405.05.1ln1 t s。 CD 段对应电流跳变，瞬间完成。 1tt 后动态轨迹进入 DO 段，非线性电阻变成 2 线性电阻。响应为 )0.5( 1)( ttC tu e V )( tt (5) 上述式 (1)、 (2)与 (3)、 (4)与 (5)是本题的三组解答。 答案 12.7 解： 0 tt 时，工作于 OA 段，对应线性电感：iL 。 初始值 0)0( ，特解 RELtp 1)(，时间常数 RL1 由三要素法，电路的零状态响应为： )e1(e)0()0()()( 11 1pp tLRtLR LREtt (1) 设 1t 时刻到达 A 点，即 )e1( 1111 t
8、LRLRE ，解得 111111111 ln/ /ln iL iLRLREL RELRLt(2) 当 tt 时， iL ，其中电感 iiL 。 对应 上式的时间常数与强制分量分别是 RL， )()(tp 故当 tt 时的响应为 2 1e)( 1 ttt ( 答案 12.8 解：由图 (a)电路得： V3V5.463 6)0( u 当 0t 时，将除非线性电容以外的电路用戴维南电路等效，如图 (c)所示。其中 等效电阻 12/)6/3(iR 开路电压 V5.1OC U 。 (1) 10 tt 时，电路工作在 AB 段内， 1112 qCqu，对应的线性等效电路如图 (d)所示。 u(c) (d)
9、1 1 1V5.1 V5.1 V5.1uF5.0V1F1 u(e) 图 12.8 V3)0()0( uu ， s1RC ， V5.1)(p tu 电路响应 )V1 . 5 e1 . 5(e)0()0()()( /pp ttuututu )( 10 tt 随着时间的延续，电压 u 单调 减小，设 1t 时刻电压 u 下降至 A 点，即 21.5e1.5 1 t 解得 s10.11t 。 (2) tt 时，工作在 AO 段， uq 5.0 ，此时电容等效为 F5.0 的线性电容，如图 (e)所示。由图（ e）得时间常数及强制分量分别为： s5.0 RC ， V5.1)()(p OCUutu 电路响
10、应： Ve5.05.1e)()()()( )(2)/(1p1p 11 tttttutututu 答案 12.9 解：应用小信号分析法。 V10S u 单独作用时，电路的直流解为： A01.0S0 RuI 。 (1) 动态电感 H06.06dd 00d IIiiL 。 小信号线性等效电路如图 (b)所示。 0)0( i ， A10)( 3i ， s106/ 5d RL 根据三要素法求得： )()e1(10)e1)( 510613 tii ttLRd A (2) 式 (1)与式（ 2）相加得本题解答： A)()e1(1001.0)()( 5106130 ttiIti t 答案 12.10 解：用小
11、信号分析法求解。 （） 直流工作点 V4V122120 RR RU（） 动态电容 F104|dd 6d 0 UuuqC （）小信号电路如图（ a）所示，利用三要素公式求 u 。 0)0( u , V3/1p u s0 1 6.010410612 612 63d RC V)()e1(31e)0()0( 5.62/pp tuuuu tt 电路完全解答为 )()e1(314 5.620 tuUu t V 答案 12.11 解：用小信号分析法求解。 (1) 计算直流工作点。直流电流源单独作用时，电容视为开路，如图 (b)所示。 SI100U0I(b)SII 005.0 U列 KVL 方程得： 05.0
12、)(10 000 UUII S (1) 其中 2030 10 UI ，代入式 (1)得： 01 0 0 0150 020 UU 解得： )(V39.1 5 66 .3 9 V0 舍去U(2) 动态电导 S10278.139.6102|dd 23d 0 UuuiG (2) 用复频域分析法计算阶跃响应。复频域电路模型如图 (c)所示。 10)( sUs/1.0sC1)(5.0 sU(c)dG对图 (c)列节点电压方程得： 10/)(5.0/1.0)()101( sUssUGsC d 解得 4214 1063.1)1063.1( 1 0 0 0)( s AsAsssU其中 0614.021 AA V
13、)()e1(0 6 1 4.0)( 41063.1 ttu t (3) 式 (2)与 (3)相加得： V)()e1(0 6 1 4.039.6 41063.1 tu t 答案 12.12 解：用小信号分析法求解。 (1) 计算直流工作点。在 Si 的直流分量作用时，电感视为短路，电容视为开路，如图 (b)。 A210LI 0RI0RU0CU1 2)( sU Cs1.01dsLdsC1 dR图题1 2 . 1 2(b) (c)0)2(1 RL UI 将 2RR IU 代入上式得 02 LL II 20 解得： )舍去(A2A10LI(1) A1 LR II , V1 RC UU (2) 小信号等
14、效电路为二阶动态电路，可用复频域分析法计算阶跃响应。复频域电路模型如图 (c)所示。 图中动态参数分别为 2dd0d RRRR IiiuR , H1.0dd0dLLL IiiL ， F125.0dd0dCCC UuuqC 对图 (c)列节点电压方程得： 0)()210 . 1 2 50 . 11()(0 . 110 . 1)(0 . 11)()0 . 11(1n2n1n2n1sUsssUsssUssUs 解得： sss sssU 12014 84.01.0)( 23 2n1 , ssssU 1 2 014 8)( 23n2 , *2*22212n2n1d )12014(4)()(1)(psAp
15、s AsAsss ssUsUsLsIL 其中 4 2 6.8j7j2 p , 0333.030/1 A , 88.24904845.022 AA 反变换得： )()c o s (e2)( 21 ttAAti tL A( t )88.2 4 92 4 6.8(c o se0 9 6 9.00 3 3 3.0 7 tt (2) 式 (1)与 (2)相加得： A( t )88.2 4 92 4 6.8(c o se0 9 6 9.00 3 3 3.0A1)( 7 tti tL 答案 12.13 解 : 电路状态变量为 CL u、 。分别列写 KCL 和 KVL 方程，经简单整 理便得状态方程： CL
16、LLCutCiCtudd)(1dd 3(1) 画状态轨迹方法一 将式 (1)等号两端分别相除得 CLLC Cuau 3dd 利用分离变量法求解上述方程，主要步骤如下。 LLCC uCu dd 3 )()( )0(41)0(21 4422 LLCC uuC )0()0(22 4242 LCLC CuCu 基于上式即可画出电路的状态轨迹，如图 (b)所示。根据CL ut dd可知，当0Cu ， L 增大；当 0Cu ， L 减小。即在上半平面，动态轨迹向右运动；在下半平面，动态轨迹向左运动。动态轨迹方向如图 (b)所示。 (b)LCu答案 12.14 解 : 在直流工作点处，电容处于开路。所以，电
17、路的工作点是非线性电阻的特性曲线与直线 A5i 的 3 个交点，即 A、 B、 C。 方法一： 根据工作点附近动态轨迹的方向。 由 KCL 方程 iItuCS dd知 当 A5 SIi 时， 0dd tu ,u 随时间 t 增加而增加；当 A5 SIi 时， 0dd tu ,u 随时间 t 增加而减小。电路的动态轨迹如图 (b)所示。其中 A、 C 点附近的动态轨迹方向分别指向工作点，因此是稳定的；而 B 点附近的动态轨迹方向是离开 B 点，因此是不稳定的。 方法二：根据工作点处小信号等效电路的极点位置。 由图 (b)可见，在 A、 C两个工作点处，动态电阻为正值，即 0d/d iuRd ，对
18、应的小信号等效电路不存在位于复平面右半平面的极点，因此，工作点是稳定的。而工作点 B 处的动态电阻为负值，对应的小信号等效电路存在位于复平面右半平面的极点，因此是不稳定的。 答案 12.15 解 方法一： 根据工作点附近动态轨迹的方向来判断。 由 KCL 方程 iR uUtuC S dd 知，当 RuUi S 时，即动态点位于斜线下方，0dd tu ,u 随时间 t 增加而增加；当 R uUi S 时 ，即动态点位于斜线上方， 0dd tu ,u随时间 t 增加而减小。电路的动态轨迹如图 (b)所示。其中 P1、 P3 点附近的动态轨迹方向分别指向工作点，因此是稳定的；而 P2 点附近的动态轨
19、迹方向是离开 P2 点，因此是不稳定的。 方法二：根据工作点处小信号等效电路的极点位置来判断。由图 (b)可见 在 P1、 P3 两个工作点处，动态电阻为正值，即 0dd iuRd / ，对应的小信号等效电路不存在位于复平面右半平面的极点，因此，工作点是稳定的。而工作点 P2 处的动态电阻 dR 为负值，由工作点处的斜率可知 RRd ，从电容两端看的等效电阻 0 ddi RRRRR，对应的小信号等效电路存在位于复平面右半平面的极点，因而是不稳定的。 答案 12.16 解：由 dtduCi 得，当 0i ， 0dtdu ，电压 u 只能下降，即在上半平面，动态点向左运动，当 0i 时， 0dd tu ， 电压 u 只能上升，即在下半平面，动态点向右运动。动态轨迹如图 (b)所示。 当动态点由初始位置 0P 到达 1P 时，由于动态轨迹方向均指向该点，不可能按41 PP 运动，所以跳变到 2P 点。从 2P 点，沿路径 32 PP 运动到达 3P 点。在 3P 点，动态轨迹 方向也是均指向该点，不可能按 13 PP 运动，所以跳变到 4P 点，由 4P 再到 1P 点如此循环，循环振荡路径为 4321 PPPP 。
