1、1第 5 讲 空间直角坐标系知识梳理1.右手直角坐标系右手直角坐标系的建立规则： 轴、 轴、 轴互相垂直，分别指向右手的拇指、食指、xyz中指；已知点的坐标 作点的方法与步骤（路径法）：),(zyxP沿 轴正方向（ 时）或负方向（ 时）移动 个单位，再沿 轴正方向（x00x|xy时）或负方向（ 时）移动 个单位，最后沿 轴正方向（ 时）或负方0yy|y0z向（ 时）移动 个单位，即可作出点z|z已知点的位置求坐标的方法：过 作三个平面分别与 轴、 轴、 轴垂直于 ，点 在 轴、 轴、 轴PxyzCBA,xyz的坐标分别是 ，则 就是点 的坐标cba,),(P2、在 轴上的点分别可以表示为 ，x
2、 ),0(,0,cba在坐标平面 ， ， 内的点分别可以表示为 ;Oyxz ),0(,cba3、点 关于 轴的对称点的坐标为),(cbaP),(c点 关于 轴的对称点的坐标为 ；yba点 关于 轴的对称点的坐标为 ；),(cz),(c点 关于坐标平面 的对称点为 ；baPxOy点 关于坐标平面 的对称点为 ；),(cz),(cba点 关于坐标平面 的对称点为 ；y点 关于原点的对称点 。),(cbaP),(c4. 已知空间两点 ，则线段 的中点坐标为),(21zyxQzPQ2,2(11yx25空间两点间的距离公式已知空间两点 ，),(),(21zyxQzP则两点的距离为 ，2121)(| z特
3、殊地,点 到原点 的距离为 ;),(zyxAO|yxA5以 为球心, 为半径的球面方程为0Cr 202020)()()( rz特殊地,以原点为球心, 为半径的球面方程为 2rzyx重难点突破重点:了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系表示点的位置，会推导和使用空间两点间的距离公式难点:借助空间想象和通过与平面直角坐标系的类比，认识空间点的对称及坐标间的关系重难点: 在空间直角坐标系中，点的位置关系及空间两点间的距离公式的使用1借助空间几何模型进行想象，理解空间点的位置关系及坐标关系问题 1：点 到 轴的距离为 ),(cbaPy解析借助长方体来思考，以点 为长方体对角线的两个顶点，点 到 轴的P
4、O, ),(cbaPy距离为长方体一条面对角线的长度，其值为 2ca2将平面直角坐标系类比到空间直角坐标系问题 2：对于任意实数 ，求 的最小,xyz22222(1)()(1)xyzxyz值解析在空间直角坐标系中， 表示空间点22222()()()zz到点 的距离与到点 的距离之和，它的最小值就是点 与点(,)xyz(0,)(1,)0,之间的线段长，所以 的最小值为1,222222(1)()(1)xyzxyz。63利用空间两点间的距离公式，可以解决的几类问题(1)判断两条相交直线是否垂直(2)判断空间三点是否共线3(3)得到一些简单的空间轨迹方程热点考点题型探析考点 1: 空间直角坐标系题型
5、1: 认识空间直角坐标系例 1 （1）在空间直角坐标系中， 表示 （ ） yaA 轴上的点 B过 轴的平面 yC垂直于 轴的平面 D平行于 轴的直线（2）在空间直角坐标系中，方程 表示xyA在坐标平面 中，1，3 象限的平分线 B平行于 轴的一条直线 xOy zC经过 轴的一个平面 D平行于 轴的一个平面z【解题思路】认识空间直角坐标系,可以类比平面直角坐标系,如在平面直角坐标系坐标系中, 方程 表示所有横坐标为 1 的点的集合1x解析（1） 表示所有在 轴上的投影是点 的点的集合，所以 表示yay)0,(aya经过点 且垂直于 轴的平面 )0,(（2）方程 表示在任何一个垂直于 轴的一个平面
6、内， 1，3 象限的平分线组成的集xyz合【名师指引】(1)类比平面直角坐标系,可以帮助我们认识空间直角坐标系(2)要从满足某些特殊条件的点的坐标特征去思考问题。如：经过点 且垂直于 轴的平面上的点都可表示为)0,(ax),(zya题型 2: 空间中点坐标公式与点的对称问题例 2 点 关于 轴的对称点为 ，点 关于平面 的对称点为 ，则 的),(cbPz1PxO2P坐标为 【解题思路】类比平面直角坐标系中的对称关系，得到空间直角坐标系中的对称关系解析因点 和 关于 轴对称 , 所以点 和 的竖坐标相同,且在平面 的射影关1z1 xy于原点对称,故点 的坐标为 ,P)(cba又因点 和 关于平面
7、 对称, 所以点 坐标为 12xOy2P),(cba4【名师指引】解决空间点的对称问题,一要借助空间想象,二要从它们在坐标平面的射影找关系,如借助空间想象,在例 2 中可以直接得出点 为点 关于原点的对称点,故坐2P)(cba标为 ),(cba【新题导练】1已知正四棱柱 的顶点坐标分别为 ，1ABCD(0,)(2,0)(,)ABD，则 的坐标为 。(0,5)A1解析正四棱柱 过点 A 的三条棱恰好是坐标轴，1的坐标为（ 2，2，5）1C2平行四边形 的两个顶点的的坐标为 ，对角线的交点为ABD)3,2(),1(B，则顶点 C 的坐标为 , 顶点 D 的坐标为 )4,0(M解析由已知得线段 的中
8、点为 ,线段 的中点也是 ,由中点坐标公式易得MM，)5,13(C)1,2(3已知 ，记 到 轴的距离为 ， 到 轴的距离为 ， 到 轴的距离4xaybz为 ，则（ ）cA B C Dabcbcca解析借助长方体来思考, 、 、 分别是三条面对角线的长度。a，选 C5,17,0考点 2：空间两点间的距离公式题型：利用空间两点间的距离公式解决有关问题例 3 如图：已知点 ，对于 轴正半轴上任意一点 ，在 轴上是否存在一(1,0)AOzPOy点 ，使得 恒成立？若存在，求出 点的坐标；若不存在，说明理由。BPBB【解题思路】转化为距离问题，即证明 22AP解析设 ，),0(c),(b对于 轴正半轴
9、上任意一点 ，假设在 轴上存在一点 ，使得 恒成立，Oz OyBPAB则 22PBAXAYBOZP5222222222 )0()0()()0()1()0()()10()( cbbc即 ，解得：3b所以存在这样的点 ，当点 为 时， 恒成立B(,2)PAB【名师指引】在空间直角坐标系中，利用距离可以证明垂直问题。此外，用距离还可以解决空间三点共线问题和求简单的点的轨迹。【新题导练】4已知 ，当 两点间距离取得最小值时， 的值(,521),(2,)AxBx,ABx为 （ ） A19 B C D8787194解析 75)8(124)3()23()1(| 22 xxxx当 时， 取得最小值x87|5已
10、知球面 ，与点 ，则球面上的点与点 距222(1)()(3)9yz(3,25)AA离的最大值与最小值分别是 。解析球心 ，球面上的点与点 距离的最大值与最小值分别是 9 和 36),3(AC6已知三点 ，是否存在实数 ，使 A、B、C 共线？若存12(,1)(,03)Baa在，求出 的值；若不存在，说明理由。a解析 ，222()()()14A，103Ca，2222()()(1)()0Ba因为 ，所以，若 三点共线，有 或 ，A,BCBACBCA若 ，整理得： ，此方程无解；C2589a若 ，整理得： ，此方程也无解。B10所以不存在实数 ，使 A、B 、C 共线。a6抢分频道基础巩固训练1将空
11、间直角坐标系(右手系)画在纸上时，我们通常将 轴与 轴， 轴与 轴所成的xyxz角画成（ ）A B C D09013504075解析：选 B2. 点 在 平面上的投影点 的坐标是 （ ）(,4)Pyoz1PA B C D 30(0,45)(3,05)(3,40)解析：两点的纵坐标、竖坐标不变，选 B3. 三棱锥 中， 此三棱锥的体积为（ ）CO ),(),1,2(),(AA1 B2 C3 D 6解析 两两垂直，, 3ABOV4 （2007 山东济宁模拟）设点 B 是点 A(2,-3,5)关于平面 的对称点，则|AB|等于( )xOyA10 B C D38 108解析 A点 A(2,-3,5)关
12、于平面 的对称点为 ,xOy)53,2(B105)3()2(2B5 （2007 年湛江模拟）点 关于 轴的对称点为 ， 关于平面 的对称点为,1Py1PxOz，则 = 2P|21解析 ， ，)3,(),2(56|216正方体不在同一表面上的两顶点 P（-1，2，-1） ，Q（3，-2，3） ，则正方体的体积是解析 不共面， 为正方体的一条对角线， ，正方体的棱长为QP,4P74，体积为 64 综合提高训练7空间直角坐标系中，到坐标平面 ， ， 的距离分别为 2，2，3 的点有xOyzA.1 个 B.2 个 C.4 个 D.8 个解析：8 个。分别为（3，2，2） 、 （3，2，-2） 、 （3
13、，-2，2） 、 （3，-2，-2） 、 （-3，2，2） 、（-3，2，-2） 、 （-3，-2，2） 、 （-3，-2，-2）8 （2007 山东昌乐模拟）三角形 的三个顶点的坐标为ABC，则 的形状为（ ）)4,16(),34(),1,(BAA正三角形 B锐角三角形 C直角三角形 D钝角三角形解析 C 89)31()2()41(| 227546|A)()()(| 222BC2B9(2008 年佛冈一中模拟)已知空间直角坐标系 中有一点 ，点 是平xyzO)2,1(AB面 内的直线 上的动点，则 两点的最短距离是（ ）xOy1yxBA,A B C3 D 6234 217解析因为点 B 在
14、平面内的直线 上，故可设点 B 为 ，xoy1xy(,0)x所以 ，21792)20()()1(22 所以当 时， AB 取得最小值 ，此时点 B 为 。34)0,1(10如图，以棱长为 的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标系 ，点a Oxyz在正方体的对角线 上，点 在正方体的棱 上。PABQCD（1）当点 为对角线 的中点，点 在棱 上运动时，BXAC YDZOQP8探究 的最小值；PQ（2）当点 在对角线 上运动，点 为棱 的中点时，ABQCD探究 的最小值；解析由已知 ，(,0)(,)(0,)(,)aCaB（1）当点 为对角线 的中点时，点 坐标为 ，PABP,2a设 ，则 ，(0,)Qaz2()az当 时， 取到最小值为 ，此时 为 的中点。2P2QCD（2）当点 为棱 的中点时，点 的坐标为 ，设 ，则CD(0,)2a:APBk，(1)Pxak， ，所以 点的坐标为 ，yPza(1),(,)akak所以 ，当 ，即 为 的中点时， 取到最小值2213()QkkPABPQ。2a
