1、 韦达定理的应用一、典型例题例 1：已知关于 x 的方程 2x （m1）x1m=0 的一个根为 4，求另一个根。解：设另一个根为 x1， 则 相加，得 x例 2：已知方程 x 5x8=0 的两根为 x1，x 2，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为 和 .解： 又代入得， 新方程为例 3：判断 是不是方程 9x 10x2=0 的一个实数根？解：二次实数方程实根共轭，若是，则另一根为 ， 。以 为根的一元二次方程即为 .例 4：解方程组解：设 . A=5. x-y=5 又 xy=-6. 解方程组 可解得例 5：已知 Rt ABC 中，两直角边长为方程 x （2m7）x4m（m2）=0 的两
2、根，且斜边长为 13，求 S 的值解：不妨设斜边为 C=13，两条直角边为 a，b，则 2 。 又 a，b 为方程两根。ab=4m（m-2） S 但 a，b 为实数且 m=5 或 6 当 m=6 时， m=5 S .例 6：M 为何值时，方程 8x （m1）xm7=0 的两根 均为正数 均为负数 一个正数，一个负数 一根为零 互为倒数解： m7 不存在这样的情况。m7m=7 m=15.但使不存在这种情况【模拟试题】（答题时间：30 分钟）1. 设 n 为方程 x mxn=0（n0）的一个根，则 mn 等于 2. 已知方程 x pxq=0 的一个根为2 ，可求得 p= ,q= 3. 若方程 x
3、mx4=0 的两根之差的平方为 48，则 m 的值为（ ）A8 B.8 C.8 D.44. 已知两个数的和比 a 少 5，这两个数的积比 a 多 3，则 a 为何值时，这两个数相等？5. 已知方程（a3）x 1=ax 有负数根，求 a 的取值范围。6. 已知方程组 的两组解分别为 ， ，求代数式 a1b2+a2b1的值。7. ABC 中，AB=AC， A， B， C 的对边分别为 a，b，c，已知 a=3,b 和 c 是关于 x 的方程 x mx2 m=0 的两个实数根，求 ABC 的周长。【试题答案】1. 1 2. 4，1 3. A 4. a=1 或 135. 3a2 提示：分 a=3 以及
4、 a3 讨论求解6. 13例 1 已知 pq198，求方程 x2px q0 的整数根 (94 祖冲之杯数学邀请赛试题) 解：设方程的两整数根为 x1、x2 ，不妨设 x1x2由韦达定理，得 x1x2p，x1x2q 于是 x1x2(x1x2) pq198 ， 即 x1x2x1x21 199 (x11)(x2 1)199 注意到 x11、x21 均为整数， 解得 x12，x2200；x1198 ，x20 例 2 已知关于 x 的方程 x2(12 m)xm 1 0 的两个根都是正整数，求 m的值 解：设方程的两个正整数根为 x1、x2 ，且不妨设 x1x2由韦达定理得 x1x212m，x1x2 m1
5、 于是 x1x2x1x211， 即(x11)(x2 1)12 x1、x2 为正整数， 解得 x11，x25；x1 2 ，x23 故有 m6 或 7 例 3 求实数 k，使得方程 kx2(k 1)x (k 1)0 的根都是整数 解：若 k0，得 x1 ，即 k0 符合要求 若 k0，设二次方程的两个整数根为 x1、x2，由韦达定理得 x1x2x1x22 ， (x11)(x2 1)3 因为 x11、x21 均为整数，所以 例 4 已知二次函数 y x2pxq 的图像与 x 轴交于 (，0) 、(，0)两点，且1，求证：pq1 (97 四川省初中数学竞赛试题) 证明：由题意，可知方程x2px q0
6、的两根为 、由韦达定理得 p， q 于是 pq， (1)1 (1)(1)1 1(因 1 ) 一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 大纲要求 1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围； 2.掌握韦达定理及其简单的应用； 3.会在实数范围内把二次三项式分解因式； 4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。 内容分析 1.一元二次方程的根的判别式 一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式
7、b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根当0 时，方程有两个相等的实数根， 当0 时，方程没有实数根 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根是 x1，x2，那么 x1+x2=-b/a，x1x2=c/a (2)如果方程 x2+px+q=0 的两个根是 x1，x2，那么 x1+x2=-P，x1x2=q (3)以x1，x2 为根的一元二次方程 (二次项系数为 1)是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0 3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程 ax2+bx+c=0 的两个根是 x
8、1,x2，那么 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 考查重点与常见题型 1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于 x 的方程 ax22x10 中，如果 a0，那么根的情况是（ ） （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）没有实数根 （D）不能确定 2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如： 设 x1，x2 是方程 2x26x3 0 的两根，则 x12x22 的值是（ ） （A） 15 （B）12 （C）6 （D）3 3在中考试题中常出现有关根
9、的判别式、根与系数关系的综合解答题。在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。 考查题型 1关于 x 的方程 ax22x10 中，如果 a0，那么根的情况是（ ） （A）有两个相等的实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）没有实数根 （D）不能确定 2设 x1，x2 是方程 2x26x 30 的两根，则 x12x22 的值是（ ） （A） 15 （B）12 （C）6 （D）3 3下列方程中，有两个相等的实数根的是（ ） （A） 2y2+5=6y（B ）x2+5=25 x（C）3 x22 x+2=0（D）3x226 x+1=0 4以方程 x22x30 的两
10、个根的和与积为两根的一元二次方程是（ ） （A） y2+5y6=0 （B）y2+5y6=0 （C）y2 5y6=0 （D）y25y6=0 5如果 x1，x2 是两个不相等实数，且满足 x122x11，x222x2 1 ， 那么 x1x2 等于（ ） （ A）2 （B）2 （C）1 （D ）1 6如果一元二次方程 x24xk20 有两个相等的实数根，那么 k 7如果关于 x 的方程 2x2(4k+1)x2 k21 0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是 8已知 x1，x2 是方程 2x27x 40 的两根，则 x1x2 ，x1x2 ， （x1x2）2 9若关于 x 的方程(m22)x2
11、(m2)x 10 的两个根互为倒数，则 m 二、考点训练： 1、 不解方程，判别下列方程根的情况： （1 ）x2x=5 (2)9x262 +2=0 (3)x2x+2=0 2、 当 m= 时，方程 x2+mx+4=0 有两个相等的实数根； 当 m= 时，方程mx2+4x+1=0 有两个不相等的实数根； 3、 已知关于 x 的方程 10x2(m+3)x+m7=0 ，若有一个根为 0，则 m= ，这时方程的另一个根是 ；若两根之和为3/5 ，则 m= ，这时方程的两个根为 . 4、 已知 32 是方程 x2+mx+7=0 的一个根，求另一个根及 m 的值。 5、 求证：方程 (m2+1)x22mx+
12、(m2+4)=0 没有实数根。 6、 求作一个一元二次方程使它的两根分别是 1 5 和 1+5 。 7、 设 x1,x2 是方程 2x2+4x3=0 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：(1) (x1+1)(x2+1) (2)x2/x1 + x1/x2 （3）x12+ x1x2+2 x1 解题指导 1、 如果 x22(m+1)x+m2+5 是一个完全平方式，则 m= ; 2、 方程 2x(mx4)=x2 6 没有实数根，则最小的整数 m= ; 3、 已知方程 2(x1)(x 3m)=x(m4)两根的和与两根的积相等，则 m= ; 4、 设关于 x 的方程 x2 6x+k=0 的两根是 m
13、和 n，且 3m+2n=20，则 k 值为 ; 5、 设方程 4x27x+3=0 的两根为 x1,x2，不解方程，求下列各式的值: (1) x12+x22 (2)x1x2 （3 ）x1 x2 （4 ）x1x2212 x1 6.实数 s、 t 分别满足方程 19s299s10 和且 1999t t20 求代数式(st4s 1)/t 的值。 7.已知 a 是实数，且方程 x2+2ax+1=0 有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1(1/2) (a2x2a2 1)=0 有无实根？ 8.求证：不论 k 为何实数，关于 x 的式子(x1)(x 2) k2 都可以分解成两个一次因式的积。 9实数
14、K 在什么范围取值时，方程 kx22（k1）x（K1 ）0 有实数正根？ 独立训练（一） 1、 不解方程，请判别下列方程根的情况； (1)2t2+3t4=0, ; (2)16x2+9=24x, ; (3)5(u2+1)7u=0, ; 2、 若方程 x2(2m1)x+m2+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 ; 3、 一元二次方程 x2+px+q=0 两个根分别是 2+3 和 23 ，则 p= ,q= ; 4、 已知方程 3x219x+m=0 的一个根是 1，那么它的另一个根是 ，m= ; 5、 若方程 x2+mx1=0 的两个实数根互为相反数，那么 m 的值是 ; 6、 m,n 是关于 x
15、 的方程 x2-(2m-1)x+m2+1=0 的两个实数根，则代数式 mn= 。 7、 已知关于 x 的方程 x2(k+1)x+k+2=0 的两根的平方和等于 6，求 k 的值; 8、 如果 和 是方程 2x2+3x1=0 的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于 +(1/) 和 +(1/) ; 9、 已知 a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0 有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形 10.取什么实数时，二次三项式 2x2(4k+1)x+2k21 可因式分解. 11.已知关于 X 的一元二次方程 m2x2
16、2（3 m ）x10 的两实数根为,，若 s1/ 1/ ，求 s 的取值范围。 独立训练（二） 1、 已知方程 x23x+1=0 的两个根为 ,，则 += , = ; 2、 如果关于 x 的方程 x24x+m=0 与 x2x2m=0 有一个根相同，则 m 的值为 ; 3、 已知方程 2x23x+k=0 的两根之差为 2 又 1/2 ，则 k= ; 4、 若方程 x2+(a22)x3=0 的两根是 1 和3，则 a= ; 5、 方程 4x22(a-b)xab=0 的根的判别式的值是 ; 6、 若关于 x 的方程 x2+2(m1)x+4m2=0 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么 m 的值为
17、; 7、 已知 p0,q0，则一元二次方程 x2+px+q=0 的根的情况是 ; 8、 以方程 x23x1=0 的两个根的平方为根的一元二次方程是 ; 9、 设 x1,x2 是方程 2x26x+3=0 的两个根，求下列各式的值： (1)x12x2+x1x22 (2) 1/x1 1/x2 10m 取什么值时，方程 2x2(4m+1)x+2m21=0 （1） 有两个不相等的实数根， （2 ）有两个相等的实数根， （3）没有实数根； 11设方程 x2+px+q=0 两根之比为 1:2，根的判别式 =1，求 p,q 的值。 12是否存在实数 k，使关于 x 的方程 9x2(4k7)x6k2=0 的两个实根x1,x2，满足x1/x2 3/2 ，如果存在，试求出所有满足条件的 k 的值，如果不存在，请说明理由。
