与圆有关的阴影面积的计算.doc

1、属于我们自己的中考九年级数学习题 第 1 页辅导材料:与圆有关的阴影面积的计算准备阶段:1.圆的面积公式: .其中 为圆的半径.S2r2.半圆的面积公式: .1半 圆3.扇形的面积公式: .其中 为扇形的半径, 为扇形的半径.3602rnS扇 形 n4.扇形的面积公式（另）: .其中 为扇形的半径, 为扇形的弧长.lr21扇 形 l证明: ,3602rnS扇 形 18l .lr202扇 形5.关于旋转:（1）复习旋转的性质.（2）会画出一个图形旋转后的图形.（3）旋转的作用: 通过旋转,有时候我们可以把分散的几何条件集中起来,使题目呈现出整体上的特点.该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算.6

2、.重点介绍: 转化思想在解决数学问题时,把复杂问题简单化,把一般问题特殊化,把抽象问题具体化等的思想方法,叫做转化思想.7.怎样求与圆有关的阴影的面积?（1）利用圆、半圆以及扇形的面积计算公式.（2）利用整体与部分之间的关系.（3）采用整体思想 求不规则图形的面积,一般将其转化为规则图形的和差来解决,具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化.属于我们自己的中考九年级数学习题 第 2 页实战阶段:1.（2015.河南）如图（1）所示,在扇形 AOB 中,AOB=90, 点 C 为 OA的中点,CEOA 交弧 AB 于点 E.以点 O 为圆心,OC 的长为半径作弧 CD交 OB 于点 D.若 O

3、A=2,则阴影部分的面积为_.图1图EDBCA O图1图EDBCA O解析: 图（1）中阴影所在图形为不规则图形,可以利用整体与部分之间的关系的方法求解,即采用整体和差的方法.解:连结 OE.OA=OB=OECEOACOE 为直角三角形点 C 为 OA 的中点 121OEAC在 RtCOE 中, CEO=30EOC=60AOB=90BOE=30在 RtCOE 中,由勾股定理得: 3122OCEOCDBESS扇 形扇 形阴 影 12336019360222.（2015.贵州遵义）如图（2）所示,在圆心角为 90的扇形 OAB 中,半径 OA=2 cm,C 为弧 AB 的中点 ,D、E分别是 OA

4、、OB 的中点,则图中阴影部分的面积是_.图2图CADEO B属于我们自己的中考九年级数学习题 第 3 页MCADEO B解:连结 OC,并作 CMOA 于点 M.点 C 为弧 AB 的中点, AOB=90AOC=BOC= AOB=4521COM 为等腰直角三角形OM=CMOC=2cmCM=OC cm245sinD、E 分别是 OA、OB 的中点OD=OE=1 cmDM=OM OD= cm)12(DOECMOBCSSS扇 形阴 影212cm2.)(注意: 若题目对结果无特殊要求,则结果保留 ,不取具体值.3.(2015.开封二模) 如图（3）所示,在ABC 中,CA=CB, ACB=90,AB

5、=2.点 D 为 AB 的中点,以点 D 为圆心作圆心角为 90的扇形 DEF,点 C 恰好在弧 EF 上,则图中阴影部分的面积为_.解析: 本题问题的解决要用到三角形全等的知识,请复习:（1）三角形全等的判定定理有哪些?（2）全等三角形具有怎样的性质?对于第二个问题,全等三角形的面积相等,我们可以借助该性质将三角形的面积等量转化.图3图EDBA CF解:连结 CD.设 DE 与 AC 交于点M,DF 与 BC 交于点 N.21MNEDBA CF属于我们自己的中考九年级数学习题 第 4 页ACB=90CDE1=90CA=CB,点 D 为 AB 的中点CDAB（等腰三角形“三线合一”）CDE2=

6、901=2DCN= ACB=451DAM=DCNACB=90 121ADBCDE=CD=1在ADM 和 CDN 中 12CDANMADM CDN(ASA)S ADM =SCDNS 四边形 DMCN=SCDM +SDCNSACD =SCDM +SADMS 四边形 DMCN= SACD DMCNDEF四 边 形扇 形阴 影 214136092扇 形 ACDEFS21MNEDBA CF在求扇形的面积时确定圆心角的度数很重要大多数扇形的圆心角题目会直接给出,但有时却需要我们自己求解.见第5 题.4.（2015.洛阳一模）如图（4）所示,在扇形 OAB 中,AOB=90, 半径OA=6.将扇形 AOB

7、沿过点 B 的直线折叠.点 O 恰好落在弧 AB 上点 D 处,折痕交 OA 于点 C,则图中阴影部分的面积为_.O图4图CDAB解析: 本题, ,BOCASS2扇 形阴 影属于我们自己的中考九年级数学习题 第 5 页题目所给条件不难求出扇形 OAB 的面积,但BOC 的面积不易求得.如果连结 OD,那么 OB=OD,再根据对折,得 OB=BD,从而 OB=OD=BD,即BOD 为等边三角形.至此,问题便很容易解决.解: 连结 OD.OCDABOB=ODBOC BDC（由翻折可得）OB=BD,OBC=DBCOB=OD=BDBOD 为等边三角形OBD=60OBC =DBC=30在 Rt BOC

8、中,OBC=30 OBCB30tanta 6OCOC= 32 BOCASS扇 形阴 影31292366025.（2015.焦作一模）如图（5）所示,在矩形 ABCD 中,AB= ,AD=1,把该矩形绕点 A 顺时针旋转 得到矩形ABCD,点 C落在 AB 的延长线上,则图中阴影部分的面积是_.图5图 BD CCA B解: 在 RtABC 中,由勾股定理得: 21)3(22CAAC=2BCBAC=30由旋转的性质得: =BAB=30 ABCABSS扇 形阴 影 42360)3(12扇 形6.（2014.河南）如图,在菱形 ABCD中,AB=1,DAB=60.把菱形 ABCD绕点 A 顺时针旋转

9、30得到菱形属于我们自己的中考九年级数学习题 第 6 页ABCD,其中点 C 的运动路径为弧CC,则图中阴影部分的面积为_.图6图CDB CDA B解: 由题意可知:A、D、 C 三点共线,A、B、C三点共线,如图所示,设 BC与 CD相交于点 E. ECDB CDA B容易得知:BED=CEE=90.设 DE= ,则 BE= ,CD= （为xx2什么?）CE= 1在 Rt DCE 中,由勾股定理得: 222)(1(xxCDE解之得:（舍去）23,231DE CE=,213234 CEDS由菱形的性质并结合勾股定理不难求得:AC= 3 CEDACSS2扇 形阴 影43360)(3247.（20

10、15.新乡一模）如图（7）所示,在 RtAOB 中,AOB=30,A=90,AB=1,将 RtAOB 绕点 O 顺时针旋转 90得到 RtCOD,则在旋转过程中线段 AB 扫过的面积为_.解析: 本题中阴影部分是由相关图形的旋转形成的,阴影部分的面积与两个扇形的面积之间的关系为: OACBDSS扇 形扇 形阴 影 图7图DCBA O属于我们自己的中考九年级数学习题 第 7 页解: 在 RtAOB 中,AOB=30OB=2AB=2由勾股定理得: 3122ABO OACDSS扇 形扇 形阴 影360)(936092248.（2014.许昌一模）如图（8）所示,在平面直角坐标系中,已知D 经过原点

11、O,与 轴、 轴分别交于xyA、B 两点,B 点的坐标为 ,OC)32,0(与D 相交于点 C,OCA=30, 则图中阴影部分的面积为_.解析: 本题将圆的知识点与平面直角坐标系相结合,使得问题的解决更加灵活.实际上,平面直角坐标系是研究几何或解析几何的有力工具. xy图8图DAOB C解: 连结 AB.xyDAOB CAOB=90AB 是D 的直径OCA=30OBA=30B )32,0(OB=设 OA= ,则 AB=x在 Rt AOB 中,由勾股定理得: 222)(3(xxABO解之得: （舍去）,1OA=2, AB=4 32AOBS AOBS半 圆阴 影322在求扇形的面积时确定扇形的半径

12、很重要9.如图（9）所示,在扇形 OAB 中,属于我们自己的中考九年级数学习题 第 8 页AOB=60,扇形半径为 4,点 C 在弧AB 上,CDOA,垂足为点 D,当OCD 的面积最大时,图中阴影部分的面积为_.图9图DBO AC解析: 本题涉及到三角形面积最大的问题.当直角COD 满足什么条件时,其面积最大,弄清楚这个问题是解决本题问题的关键.解: 在 RtCOD 中,由勾股定理得: 1622OCD 0)( 22O 82CD显然,当 OD=CD 时,取= 号,此时COD 是等腰直角三角形,其面积最大,最大值为 421CDOSCD COD=45 CODA扇 形阴 影423605210.（20

13、15.郑州外国语中学）如图（10）所示,在正方形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,AOB 绕点B 逆时针旋转 60得到BOB,AB 与弧 OO相交于点 E,若 AD=2,则图中阴影部分的面积是_.图10图EBOOCDA B解: 由题意可知:ABB=60, EBO=15在 Rt ABD 中,由勾股定理得: 222ABD由正方形的性质得:OB= 121BOS BOBEAS扇 形扇 形阴 影1360)2(153602属于我们自己的中考九年级数学习题 第 9 页BA B127311.（2013.湖北潜江模拟）如图（11）,在 RtAB C 中,C=90,A=30,AC=6 cm, CD

14、AB 于 D,以 C 为圆心,CD 为半径画弧,交 BC 于 E,则图中阴影部分的面积为 【 】（A） cm2432（B） cm28（C） cm243（D） cm28图1图EDAB C12.(2013.洛阳模拟) 如图所示,AB 是O 的切线,OA=1,AOB=60, 则图中阴影部分的面积是 【 】 BCOA（A） （B）61331（C） （D）23113.（2015.新乡二模）如图所示,在菱形 ABCD 中,B=60,AB=2,扇形AEF 的半径为 2,圆心角为 60,则图中阴影部分的面积是_. FED CA B14.（2013.郑州二模）如图所示,直径 AB 为 6 的半圆,将其绕 A 点

15、旋转60,此时点 B 到了点 B处,则图中阴影部分的面 积是属于我们自己的中考九年级数学习题 第 10 页_.15.（2013.许昌一模）如图所示,在正方形 ABCD 中,AB=4,O 为对角线BD 的中点,分别以 OB、OD 为直径作O 1、O 2,则图中阴影部分的面积为_（结果保留 ）.O2O1 DAB C16.（2015.自贡）如图,AB 是O 的直径,CDAB,CDB=30,CD= ,32则阴影部分的面积为_.DCOA B17.(2015.省实验中学) 如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AD=2, AB=4, A=30,以点 A 为圆心,AD 的长为半径画弧交 AB 于点 E,连结 CE,则阴影部分的面积是_.（结果保留 ）CDEA B18.如图,在ABC 中,AB=BC=2, 若ABC=90,则图中阴影部分的面积是_.BA C19.如图所示,ABC 中,OA=OB=4,A=30,AB 与O 相切于点 C,则图中阴影部分的面积是_. OCA B20.如图所示是两个半圆,点 O 为大半圆的圆心,AB 是大半圆的弦且与小半圆相切,且 AB=24,则图中阴影部分的面积为_.