1、 1 固体物理学习题参考 第一章 1.1 有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小 .设体积的变化可以忽略，并以 Rf和 Rb 代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问 Rf/Rb 等于多少？ 答：由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为 a： 对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为： Rf= 22 a 对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为： Rb= 32 a 那么， RfRb = 23aa= 63 1.2 晶面指数为（ 123）的晶面 ABC 是离原点 O 最近的晶面， OA、 OB
2、和 OC 分别与基失 a1，a2 和 a3 重合，除 O 点外， OA， OB 和 OC 上是否有格点？若 ABC 面的指数为（ 234），情况又如何？ 答：根据题意，由于 OA、 OB 和 OC 分别与基失 a1， a2 和 a3 重合，那么 1.3 二维布拉维点阵 只有 5 种，试列举并画图表示之。 答：二维布拉维点阵只有五种类型：正方、矩形、六角、有心矩形和斜方。分别如图所示： 1.4 在六方晶系中，晶面常用 4 个指数（ hkil）来表示，如图所示，前 3 个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 120 的共平面轴 a1， a2， a3 上的截距 a1/h， a2/k， a3/i，第
3、四个指数表示该晶面的六重轴 c 上的截距 c/l.证明： i=-（ h+k） 并将下列用（ hkl）表示的晶面改用（ hkil）表示：（ 001） (133) (10) (323) （ 100）（ 010） (213) 答：证明 设晶面族（ hkil）的晶面间距为 d，晶面法线方向的单位矢量为 n 。因为晶面族（ hkil）中最靠近原点的晶面 ABC 在 a1、 a2、 a3 轴上的截距分别为 a1/h， a2/k， a3/i，因此 123oooa n hda n kda n id (1) 正方 a=b ab=90 六方 a=b ab=120 矩形 a b ab=90 带心矩形 a=b ab=
4、90 平行四边形 a b ab 90 2 由于 a3= （ a1+ a2） 3 1 3()ooa n a a n 把（ 1）式的关系代入，即得 ()id hd kd ()i h k 根据上面的证明，可以转换晶面族为 （ 001） （ 0001）， (13) (1323) ， (10) (100) ， (323) (3213) ，（ 100） (1010) ，（ 010） (010) ， (213) (2133) 1.5 如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为（ 1）简立方： 6 （ 2）体心立方： 38 （ 3）面心立方： 26 （ 4）六方密堆积： 26 （ 5
5、）金刚石：316 。 答：令 Z 表示一个立方晶胞中的硬球数， Ni 是位于晶胞内的球数， Nf 是在晶胞面上的球数，Ne 是在晶胞棱上的球数， Nc 是在晶胞角隅上的球数。于是有： 1 1 12 4 8i f e cZ N N N N 边长为 a 的立方晶胞中堆积比率为 334* 3 rFZ a假设硬球的半径都为 r，占据的最大面积与总体积之比为 ，依据题意 （ 1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为 2r，那么： = 334/3(2)rr= 6 （ 2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为 4r，则其边长为 43r，那么： = 332 (4/3 )(4/ 3 )rr
6、= 38 （ 3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为 4r，则其边长为 22r，那么： = 334 (4/3 )(2 2 )rr= 26 3 （ 4）对于六方密堆积 一个晶胞有两个原子，其坐标为（ 000）（ 1/3， 2/3， 1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为 a=2r，因此 =3242 ( )332rac = 26（ 5）对于金刚石结构 Z=8 38ar 那么 3 334 4 3* 8 ( )3 3 8rFZ a = 316 . 1.6 有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以 nm 为单位） a=3i， b=3j， c=1.5（ i+
7、j+k），此处 i， j， k 为笛卡儿坐标系中 x， y， z 方向的单位失量 .问： （ 1）这种晶格属于哪种布拉维格子？ （ 2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？ 答：（ 1）因为 a=3i， b=3j，而 c=1.5（ i+j+k） =1/2（ 3i+3j+3k） =1/2（ a+b+c ）式中 c =3c。显然， a、 b、 c构成一个边长为 3*10-10m 的 立方晶胞，基矢 c 正处于此晶胞的体心上。因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。 （ 2）晶胞的体积 = c (a b) = 3k (3i 3j) =27*10-30(m3) 原胞的体积 =c(a b) = 1 (3 3
8、 3 ) (3 3 )2 i j k i j =13.5*10-30(m3) 1.7 六方晶胞的基失为： 322aa ai j， 322ab ai j ， c ck 求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区 . 答：根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得： 正格子的体积 =a（ b*c） = 232ac 那么，倒格子的基矢为1 2 ( )bcb 223 ijaa，2 2 ( )cab 223 ijaa ，3 2 ( )abb 2 kc其第一布里渊区如图所示： 1.8 若基失 a， b， c 构成正交晶系，求证：晶面族（ hkl）的面间距为 2 2 21( ) ( ) ( )h k ld h k
9、labc答：根据晶面指数的定义，平面族（ hkl）中距原点最近平面在三个晶轴 a1， a2， a3 上的截距4 分别为 1ah ， 2ak ， 3al 。该平面（ ABC）法线方向的单位矢量是 1 2 3d h d k d ln x y za a a 这里 d 是原点到平面 ABC 的垂直距离，即面间距。 由 |n|=1 得到 2 2 21 2 3( ) ( ) ( ) 1d h d k d la a a 故 12 2 2 21 2 3 ( ) ( ) ( ) h k ld a a a 1.9 用波长为 0.15405nm 的 X 射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的 布拉格角 如下
10、序号 1 2 3 4 5 /（） 19.611 28.136 35.156 41.156 47.769 已知钽为体心立方结构，试求： （ 1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数； （ 2）上述各晶面族的面间距； （ 3）利用上两项结果计算晶格常数 . 答：对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定： 2 2 2 2| 1 c o s ( ) s in ( )h k lI F f n h k l f n h k l 考虑一级衍射， n=1。显然，当衍射面指数之和（ h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。只有当（ h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。因此，题 给的谱线应依次对应于晶面（ 110）
11、、（ 200）、（ 211）、（ 220）和（ 310）的散射。由布喇格公式 2 sin ( 1)h kldn 得 10110 1 1 . 5 4 0 5 2 . 2 9 5 1 0 ( )2 si n 2 si n 1 9 . 6 1 1 odm 同法得 102002 1 .6 3 3 4 1 0 ( )2 sindm 102113 1 .3 3 7 7 1 0 ( )2 sin 102203 1 .1 6 0 9 1 0 ( )2 sindm 103104 1 .0 4 0 3 1 0 ( )2 sin 5 应用立方晶系面间距公式 2 2 2hk lad h k l 可得晶格常数 2 2
12、2hk la d h k l 把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得 a 的数值 *10-10m 为 3.2456， 3.2668， 3.2767， 3.2835， 3.2897 取其平均值则得 103 .2 7 2 5 1 0 ( )am 1.10 平面正三角形，相邻原子的间距为 a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢； 画出第一和第二布里渊区 . 答：参看下图，晶体点阵初基矢量为 1a ai 2 1322a ai aj用正交关系式 022,iji j ij i jba 求出倒易点阵初基矢量 b1， b2。设 1 1 1xyb b i b j 2 2 2xyb b i b j 由 1
13、12ba 120ba 210ba 222ba 得到下面四个方程式 11( ) 2xyai b i b j （ 1） 1113( ) ( ) 022 xya i a j b i b j （ 2） 22( ) 0xyai b i b j （ 3） 2213( ) ( ) 222 xya i a j b i b j （ 4） 由（ 1）式可得：1 2xb a由（ 2）式可得 ：1 23yb a6 由（ 3）式可得： 2 0xb 由（ 4）式可得：2 43yb a于是得出倒易点阵基矢 1 223b i ja a2 43bja7 第三章 习题答案 3.1 试求由 5 个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率
14、，设原子质量 m 8.35 10 27kg，恢复力常数 15N m 1 解：一维 单原子链的解为 )( qnatin AeX 据周期边界条件 11 NXX ，此处 N=5,代入上式即得 1)5( qaie 所以 aq5 2 （ 为整数） 由于格波波矢取值范围： aqa 。 则 2525 故 可取 2， 1， 0， 1， 2 这五个值 相应波矢： a54 , a52 ,0, a52 , a54 由于2sin4 qam，代入 ， m 及 q 值 则得到五个频率依次为（以 rad/sec 为单位） 8.06 1013， 4.99 1013， 0， 4.99 1013， 8.06 1013 3.2 求
15、证由 N 个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为 2122 )(2 mN式中 mm 4是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N 解：对一维单原子链， dqqqdqddN 2)( 所以 dqdq 2 （ 1） 由色散关系2sin4 qam求得 2/12 )2s in1(2422c o s4 qaamaqamdqd 2/12 )4(2 ma（ 2） 而 22 NaLq ， 则由（ 1）式可得 2/1222/12 )(24222 mNmaNa由于mm 4，则总的振动模数为 dNdNmww mm 2/12200 )(2 8 令 sinm，则积分限为 0 到 2/ ， 故 NNd
16、N 201202c o sc o s2 3.3 设晶体由 N 个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为 239 mN解：由书上（ 3 69）式可得 3222 3 vvg （ 1） 由（ 3 71）可得 vnmD 3/126 由此可得 nv m 32 332 ，代入（ 1）式得 239 mN 3.4 对一堆双原子链，已知原子的质量 m 8.35 10 27kg，另一种原子的质量 M 4m，力常数 15N m 1，试求 （ 1） 光学波的最高频率和最低频率 max 和 min ； （ 2） 声学波的最高频率 Amax ； （ 3） 相应的声子能量（以 eV 为单位）； （ 4） 在 300
17、K 可以激发频率为 max ， min 和 Amax 的声子的数目； （ 5） 如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。 解：（ 1） mmMMm 54 Hzr a d 1313m ax 1007.1s e c/1070.62 Hzr a dm 1313m i n 1095.0s e c/1099.52 Hzr a dMA 1313m ax 1048.0s e c/1000.32 （ 2） eV2max 1041.4 eV2min 1095.3 eVA 2max 1097.1 （ 3） 11/ kTwen 9 221.0max n ， 276.0min n ， 873.0max An
18、 （ 4） 光速 vc ， mmcvc 28108.22 5m a x 3.5 设有一维晶体，其原子的质量均为 m，而最近邻原子间的力常数交替地等于 和 10 ， 且最近邻的距离为 2/a ，试画出色散关系曲线，并给出 0q 和 aq / 处的 q 。 解：设标 为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图， 原子的运动方程应是 nnnnnnnnnn xxxxxm xxxxxm2121222121222122 10 即 nnnn xxxxm 212122 1110 1222212 1110 nnnn xxxxm 求格波解， 令 tqanin Aex 222 ， tqanin Bex 2
19、1212 代入运动方程，可导出线性方程组为： 011100101122/2/2/2/2BmAeemBeemAmiq aiq aiq aiq a令 20m，从 A， B 有非零解的系数行列式等于零的条件可得 0)10)(10(11 2/2/2/2/402220 iq aiq aiq aiq a eeee 可解出 1 0 1c o s2011202 qa 色散关系见下图 0q 时， 1cos qa ， 022 ， 0 10 10 m 2a x2n-1 x2n x2n+1 x2n+2 10 aq 时， 1cos qa ， 020 ， 02 3.6在一维双原子链中，如 1mM ，求证 qaM sin2
20、1 )c os21(2 22 qaMmm 证 由书中（ 3.22）式知，双一维原子链声学支 s in)( 411 2/12221 qaMm mMMmMm mM ， 14 mMmM 由近似式 nxx n 11 ， ）当 1( x 得 s in)( 42111 2/12221 qaMm mMmM Mm qaMqaMm 22 s in2s in2 ， qaM sin21 对 22 ，由于 mM ， MmM s in)( 411)( 2/1222 qamM mMmM Mm c o s44)(1 2/12222 qamM MmmM MmmM mMm c o s4)(1 2/122 qaMmmM mMm
