1、 第二章误差与测量不确定度 2.1 名词解释：真值、实际值、示值、误差、修正值。 答：真值是指 表征某量在所处的条件下完善地确定的量值；实际值是指用高一级或高出数级的标准仪器或计量器具所测得的数值，也称为约定真值； 示值是指 仪器测得的指示值，即测量值； 误差是指 测量值（或称测得值、测值）与真值之差；修正值是指与绝对误差大小相等，符号相反的量值。 2.2 测量误差有哪些表示方法？测量误差有哪些来源？ 答：测量误差的表示方法有：绝对误差和相对误差两种；测量误差的来源主要有： （ 1） 仪器误差（ 2） 方法误差 （ 3） 理论误差（ 4） 影响误差（ 5） 人身误差。 2.3 误差按性质分为哪
2、几种？各有何特点？ 答：误差按性质可分为 系统误差、随机误差和粗大误差三类。各自的特点为： 系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化； 随机误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差： 在一定条件下，测量值显著偏离其实际值。 2.4 何谓标准差、平均值标准差、标准差的估计值？ 答：标准差是指对 剩余误差平方后求和平均，然后再开方即 nii xxn121 )( ； 平均值标准差是 任意一组 n 次测量样本标准差的 n 分之一，即nxsxs )()( ； 标准差的估计值即 ni i xxnxs 12)(
3、11)( 。 2.5 归纳比较粗大误差的检验方法。 答：粗大误差的检验方法主要有 莱特检验法，肖维纳检验法以及格拉布斯检验法。 莱特检验法：若 一系列等精度测量结果中，第 i 项测量值 xi 所对应的残差 i 的绝对值 i 3s（ x）则该误差为粗差，所对应的测量值 xi 为异常值，应剔除不用。 本检验方法简单，使用方便，也称 3s 准则。当测量次数 n 较大时，是比较好的方法。本方法是以正态分布为依据的，测值数据最好 n200，若 n10 则容易产生误判。 肖维纳检验法： 假设多次重复测量所得 n 个测量值中，当 )(xki 时，则认为是粗差。 本检验方法是建立在频率趋近于概率的前提下，一般
4、也要在 n 10 时使用。一般在工程中应用，判则不严，且不对应确定的概率。 格拉布斯检验法： 对一系列重复测量中的最大或最小数据，用格 氏检验法检验，若残差 max Gs。 本检验法理论严密，概率意义明确，实验证明较好。 2.6 绝对误差和相对误差的传递公式有何用处？ 答：绝对误差传递公式：jmj j xxfy 1在进行系统误差的合成时，如果表达式中各变量之间的关系主要为和差关系时，利用绝对误差传递公式更方便求解总系统误差的绝对误差； 相对误差传递公式：jmj jy xxf 1ln 在进行系统误差的合成时，如果表达式中各变量之间的关系主要为乘、除，开方以及平方关系时 ，利用相对误差传递公式更方
5、便求解总系统误差的相对误差。 2.7 测量误差和不确定度有何不同？ 答：测量误差是指 测量值（或称测得值、测值）与真值之差，它以真值或约定真值为中心，误差是一个理想的概念，一般不能准确知道，难以定量； 不确定度是指与测量结果相联系的一种参数，用于表征被测量之值可能的分散性程度，即一个完整的测量结果应包含被测量值的估计与分散性参数两部分，而测量不确定度是以被测量的估计值为中心。测量不确定度是反映人们对测量认识不足的程度，是可以定量评定的。 对比项目 误差 不确定度 含义 反映测量结果偏离真值的程度 反映测量结果的分散程度 符号 非正即负 恒为正值 分类 随机误差、系统误差、粗大误差 A 类评定和
6、 B 类评定 表示符号 符号较多、且无法规定 规定用 u、 uc、 U、 Up表示 合成方式 代数和或均方根 均方根 主客观性 客观存在，不以人的认识程度改变 与人们对被测量及测量过程的认识有关 与真值的关系 有关 无关 2.8 归纳不确定度的分类和确定方法？ 答：不确定度分为 A 类标准不确定度和 B 类标准不确定度。 由一系列观测数据的统计分析来评定的分量称为 A 类标准 不确定度；不是用一系列观测数据的统计分析法，而是基于经验或其他信息所认定的概率分布来评定的分量称为 B 类标准不确定度。 确定方法： （ 1） A 类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度 u 的求法等同于由系列观测值获
7、得的标准差，即 A 类标准不确定度就等于标准差，即 uA x ； （ 2） B 类评定不用统计分析法，而是基于其他方法估计概率分布或分布假设来评定标准差并得到标准不确定度。 2.9 归纳测量数据处理的方法。 答： 测量 数据处理的方法 主要有效数字、算术平均值加不确定度、表格或曲线等 。 有效数字是指在测量数值中，从最左边一位非零数字起到含有误差的那位存疑数为止的所有各位数字。 数据修约规则：四舍五入，等于五取偶数。 最末一位有效数字（存疑数）应与测量精度是同一量级的。 测量数据可绘制成曲线或归纳成经验公式，以便得出正确、直观的结果。 2.10 用图 2.22 中（ a）、（ b）两种电路测电
8、阻 Rx，若电压表的内阻为 RV，电流表的内阻为RI，求测量值受电表影响产生的绝对误差和相对误差，并讨论所得结果。 I V I V Rx Rx （ a） （ b） 图 2.22 题 2.10 图 解： (a)vXvxvxx RR RRI IRRIVR )/( R=VXXxx RR RRR 2 Rr = 100111001000000 XVVXXX RRRRRRR 在 Rv一定时被测电阻 RX 越小，其相对误差越小 ,故当 RX相对 Rv很小时 ,选此方法测量。 (b)IxIxx RRI RRIIVR )(Ixx RRRR Rr0000 100100 XIX RRR R在 RI一定时，被测电阻
9、RX 越大 .其相对误差越小 ,故当 RX相对 RI 很大时 ,选此方法测量。 2.11 用一内阻为 RI 的万用表测量下图所示电路 A、 B 两点间电压，设 E 12V， R1 5k ，R2 20k，求： （ 1）如 E、 R1、 R2 都是标准的，不接万用表时 A、 B 两点间的电压实际值 UA 为多大 ? （ 2）如果万用表内阻 RI 20k，则电压 UA 的示值相对误差和实际相对 误差各为多大？ （ 3）如果万用表内阻 RI lM，则电压 UA 的示值相对误差和实际相对误差各为多大？ 解：（ 1） A、 B 两点间的电压实际值 V6.9k20k20k5 12E 221 RRRU A（
10、2） UA 测量值为： k20/k20k20/k20k5 12/E 221 IIA RRRRRUV0.8k10k10k5 12 所以 UA 的示值相对误差 %200.8 6.90.8 UxUxV RI R2 R1 5K 20K A B E 12V UA 的实际相对误差为 %176.9 6.90.8 UAUA（ 3） UA 测量值为： M1/k20M1/k20k5 12/E 221 IIA RRRRRUV56.9k6.19k6.19k5 12 所以 UA 的示值相对误差 %42.056.9 6.956.9 UxUxUA 的实际相对误差为 %42.06.9 6.956.9 UAUA由此可见，当电压
11、表内阻越大，测量结果越准确。 2.12 CD 13 型万用电桥测电感的部分技术指标如下： 5H 1.1mH 挡： 2 (读数值 ) 5H； 10mH 110mH 挡： 2 (读数值 ) 0.4 (满度值 )。试求被测 电感示值分别为 10H，800H， 20mH， 100mH 时该仪器测量电感的绝对误差和相对误差。并以所得绝对误差为例，讨论仪器误差的绝对部分和相对部分对总测量误差的影响。 解：根据误差公式计算各电感误差如下： （ 1） 10H H2.5H5H2.0H5H10%2 L %52H10 H2.5 LLL （ 2） 800H H21H5H16H5H800%2 L %6.2H8 0 0
12、H21 LLL （ 3） 20mH mH94.0mH55.0mH4.0mH110%5.0mH20%2 L %7.4mH20 mH94.0 LLL （ 4） 100mH mH55.2mH55.0mH2mH110%5.0mH100%2 L %6.2mH1 0 0 mH55.2 LLL 由以上计算过程中的绝对误差，可知当被测电感较小时仪器误差的绝对部分对总误差影响大，而被测电感较大时仪器误差的相对部分对总误差影响大。这里对每个量程都有一个临界值： 5H 1.1mH 档：临界值 L1， H5%2 1 L ， H2501 L 即当被测电感 L 小于 250H时：仪器误差的绝对 部分对总误差影响大。 即当
13、被测电感 L 大于 250H时：仪器误差的相对部分对总误差影响大。 10mH 110mH 档：临界值 L2， mH1 1 0%5.0%2 2 L ， mH5.272 L 即当被测电感 L 小于 27.5mH 时：仪器误差的绝对部分对总误差影响大。 即当被测电感 L 大于 27.5m H 时：仪器误差的相对部分对总误差影响大。 2.13 检定一只 2.5 级电流表 3mA 量程的满度相对误差。现有下列几只标准电流表，问选用哪只最适合，为什么？ （ 1） 0.5 级 10mA 量程； （ 2） 0.2 级 10mA 量程； （ 3） 0.2 级 15mA 量程； （ 4） 0.1 级 100mA
14、量程。 解： 2.5 级电流表 3mA 量程的绝对误差为 2.5 3mA 0.075mA （ 1） 0.5 级 10mA 量程的绝对误差为 0.5 10mA 0.05mA （ 2） 0.2 级 10mA 量程的绝对误差为 0.2 10mA 0.02mA （ 3） 0.2 级 15mA 量程的绝对误差为 0.2 15mA 0.03mA （ 4） 0.1 级 100mA 量程的绝对误差为 0.1 100mA 0.1mA 由以上结果可知（ 1），（ 2），（ 3）都可 以用来作为标准表，而（ 4）的绝对误差太大， 其中（ 1），（ 2）量程相同，而（ 3）的量程比（ 1），（ 2）大，在绝对误差满足
15、要求的情况下，应尽量选择量程接近被检定表量程，但（ 2），（ 3）准确度级别高，较贵，所以最适合用作标准表的是 0.2 级 10mA 量程的。 2.14 检定某一信号源的功率输出，信号源刻度盘读数为 90W，其允许误差为 30，检定时用标准功率计去测量信号源的输出功率，正好为 75W。问此信号源是否合格 ? 解：信号源频率的测量绝对误差为 75W 90W 15W 相对误差为 %30%7.169015 ，所以此信号源合格。 2.15 对某直流稳压电源的输出电压 Ux进行了 10 次测量，测量结果如下： 次 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 电压 /V 5.003 5.011 5.00
16、6 4.998 5.015 4.996 5.009 5.010 4.999 5.007 求输出电压 Ux的算术平均值 U 及其 标准偏差估值 )(Us 。 解： Ux的算术平均值 0 0 5.50 0 5 4.5)7110941526113(1010 0 1.00 0 0.5 10 1 iU 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 电压 /V 5.003 5.011 5.006 4.998 5.015 4.996 5.009 5.010 4.999 5.007 残差 (10 3V) -2.4 5.6 0.6 -7.4 9.6 -9.4 3.6 4.6 -6.4 1.6 标准偏差估值 1
17、012)(91)(i UUiUs 10 1 232222222222 )10(6.1)4.6(6.46.3)4.9(6.9)4.7(6.06.5)4.2(91 i 10 1 23 )10(56.296.4016.2196.1236.8816.9276.5736.036.3176.591 iV0 0 6.00 0 6 2.0104.3 5 391 6 2.16 对某恒流源的输出电流进行了 8 次测量，数据如下： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 I/mA 10.082 10.079 10.085 10.084 10.078 10.091 10.076 10.082 求恒流源的输出电流的算术平
18、均值 I ， 标准偏差估值 )(Is 及平均值 标准偏差估值 )(Is 。 解：恒流源的输出电流的算术平均值 082.100821.10)8276917884857982(81001.0000.10 8 1 iI 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 I/mA 10.082 10.079 10.085 10.084 10.078 10.091 10.076 10.082 残差（ 10 3mA） -0.1 -3.1 2.9 1.9 -4.1 8.9 -6.1 -0.1 标准偏差估值 812)(71)(i IIiIs 8 1 2322222222 )10()1.0()1.6(9.8)1.4(9.1
19、9.2)1.3()1.0(71 i 8 1 23 )10(01.021.3721.7981.1661.341.861.901.071 i mA0 0 5.00 0 4 7.01088.1 5 471 6 平均值 标准偏 差估值 mA0 0 2.00 0 1 7.080 0 4 7.08 )()( IsIs2.17 两种不同的方法测量频率，若测量中系统误差已修正，所测得的频率的单位为 kHz。 方法 1 100.36 100.41 100.28 100.30 100.32 100.31 100.37 100.29 方法 2 100.33 100.35 100.28 100.29 100.30 1
20、00.29 （ 1）若分别用以上两组数据的平均值作为该频率的两个估计值，问哪一个估计值更可靠？ （ 2）用两种不同方法的全部数据，问该频率的估计值（即加权平均值）为多 少？ 解：（ 1）方法 1： k H zf i 330.100)2937313230284136(8101.000.100 8 11 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 f/kHz 100.36 100.41 100.28 100.30 100.32 100.31 100.37 100.29 残差（ 10 2kHz） 3 8 -5 -3 -1 -2 4 -4 标准偏差估值 81211 )(71)(i ffifs 8 1 222
21、2222222 )10()4(4)2()1()3()5(8371 i 8 1 22 )10(16164192564971 i 0 4 5.0101 4 471 4 kHz 同理可求出方法 2 的标准偏差估值， 3 0 7.1 0 0)293029283533(6101.000.1 0 0 6 12 if kHz 次数 1 2 3 4 5 6 f/kHz 100.33 100.35 100.28 100.29 100.30 100.29 残差（ 10 2kHz） 2.3 4.3 -2.7 -1.7 1.3 -1.7 标准偏差估值 61222 )(51)(i ffifs 6 1 22222222
22、)10()7.1(3.1)7.1()7.2(3.43.251 i 6 1 22 )10(89.269.189.229.749.1829.551 i 027.01054.3851 4 kHz 由此可见方法 2 测得的数据更为可靠。 （ 2）由mi imi iissxx12121 得 31.1 0 00 2 7.010 4 5.010 2 7.03 0 7.1 0 00 4 5.03 3 0.1 0 02222 f kHz 该频率的估计值为 100.31kHz。 2.18 设对某参数进行测量，测量数据为 1464.3， 1461.7， 1462.9， 1463.4， 1464.6， 1462.7，
23、试求置信概率为 95%的情况下，该参量的置信区间。 解：因为测量次数小于 20，所以测量值服从 t 分布， 第一步：求算术平均值及 标准偏差估值 3.1463)7.26.44.39.27.13.4(611460 6 1 ix 次数 1 2 3 4 5 6 x 1464.3 1461.7 1462.9 1463.4 1464.6 1462.7 残差 1.0 -1.6 -0.4 0.1 1.3 -0.6 标准偏差估值 612)(51)(i xxixs 6 1 222222 )6.0(3.11.0)4.0()6.1(0.151 i 07.1 算术平均值 标准偏差估值 4.0607.16 )()( x
24、sxs第二步： 查附录 B： t 分布表，由 n 1=5 及 P=0.95，查得 t=2.571 第三步： 估计该参量的置信区间 )(),( xtsxxtsx ，其中 0.14.0571.2)( xts 则在 95%的置信概率下，电感 L 的置信区间为 1462.3， 1464.3。 2.19 具有均匀分布的测量数据，当置信概率为 100时若它的置信区间为 E(X) k (X)，E(X) k (X)，问这里 k 应取多大？ 解： 依题意得 %100)()()( )()( XkXE XkXE dxXP 由均匀分布可得 abXP 1)( ， 21)()( badxabxdxXxPXE ba ， 1
25、2 )(12)()()( 2222 abdxabbaxdxXpXExx ba ， 3212)( ababx 代入 %1003322)(2)()()()()( XkXE XkXE kababkabXkdxXP，解得 3k 2.20 对某电阻进行了 10 次测量，测得数据如下： 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R/k 46.98 46.97 46.96 46.96 46.81 46.95 46.92 46.94 46.93 46.91 问以上数据中是否含有粗差数据？若有粗差数据，请剔除，设以上数据不存在系统误差，在要 求置信概率为 99%的情况下，估计该被测电阻的真值应在什么范围内
26、？ 解：先求得被测电阻的平均值 10 1 )91.093.094.092.095.081.096.096.097.098.0(10146 iR 46.933 k 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 R/k 46.98 46.97 46.96 46.96 46.81 46.95 46.92 46.94 46.93 46.91 残差 10 3 k 47 37 27 27 -123 12 -13 7 -3 -23 标准偏差估值 1012)(91)(i RRiRs 10 1 232222222222 )10()23()3(7)13(12)1 2 3(2727374791 i049.0 K
27、按格拉布斯检验法，在置信概率为 99%的情况下， n 10 查表得 G 2.41 123.0118.0049.041.2 5 Gs ，剔除 R8 后重新计算判别，得 n 9， Pc 99%时，G 2.32 9 1 )91.093.094.092.095.096.096.097.098.0(9146 iR 46.947 k 9 1 23222222222 )10()23()3(7)13(122727374781)( iRs 023.0 K 0 .0 5 30 2 3.032.2 sG 可见余下数据中无异常值。 2.21 设两个电阻 Rl (150 0.6)， R2 62 0.4%，试求此两电阻分
28、别在串联和并联时的总电阻值及其相对误差，并分析串并联时对各电阻的误差对总电阻的相对误差的影响 ? 解：（ 1）串联时，总电阻值 2 1 2621 5 021 RRR 串 21212211 )()()( RRRRRRRRR 串 748.0248.05.0%4.0625.0 0 . 3 5 %2 1 27 4 8.0 串串串 RRR （ 2）并联时，总电阻值 9.4362150 6215021 21 RR RRR 并因式中含有两个变量的乘积项且含有分母，所以用相对误差传递公式较方便，得2211 lnln RR RRRRR 并并并)ln (lnlnln 2121 RRRRR 并 22121211 1
29、111 RRRRRRRRr R 并%)4.0(62150 150150 5.062150 622 221 11 121 2 R RRR RR RRR R %38.0212 6.0212 2046.0212 %4.0150212 0033.062 由以上计算结果可知，串联时大电阻 R1 对总电阻误差影响大，并联时小电阻 R2 对总电阻误差影响大。 2.22 对某信号源的输出频率 fx 进行了 10 次等精度测量，结 果为 110.050， 110.090， 110.090，110.070， 110.060， 110.050， 110.040， 110.030， 110.035， 110.030（
30、 kHz） ，试用马利科夫及阿卑 -赫梅特判剧判别是否存在变值系差。 解：输出频率 fx 的平均值 fx )30353040506070909050(1010 0 1.01 1 0 fx 054.1100545.110 次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 fx/kHz 110.050 110.090 110.090 110.070 110.060 110.050 110.040 110.030 110.035 110.030 残差 10 4 kHz -45 355 355 155 55 -45 -145 -245 -195 -245 （ a）由马利科夫判据得： 2/ 1 12/ni nni iiD |10175010)24514545()5535545( 44 i M A X 故存在变值系差 （ b）由阿卑 -赫梅特判据得： 0 0 4 8 5.00 0 0 7 5.00009.00 0 1 3 5.011 1 ni ii811 1 10)245()195()195()245(355355355)45( ni ii810477754777535525247585255502512602515975- -810349975
