概率论习题及答案习题详解.doc

1、 222 习题七 ( A ) 1、 设总体 X 服从参数为 N 和 p 的二项分布， nXXX , 21 为取自X 的一个样本，试求参数 p 的矩估计量与极大似然估计量 . 解：由题意， X 的分布律为： ( ) (1 ) , 0k N kNP X k p p k Nk . 总体 X 的数学期望为 ( 1 ) ( 1 )011( 1 ) ( 1 )1NNk N k k N kkkNNE X k p p Np p pkk 1( (1 ) ) NN p p p N p 则 EXp N .用 X 替换 EX 即得未知参数 p 的矩估计量为 Xp N . 设 12,nx x x 是相应于样本 12,

2、nX X X 的样本值，则似然函数为 111211( , , ; ) ( ) ( 1 )nniiiinn x n N xniii iNL x x x p P X x p px 取对数 1 1 1l n l n l n ( ) l n( 1 )n n niii i iiNL x p nN x px ， 11ln (1 )nniiiix nN xdLdp p p . 223 令 ln 0dLdp ，解得 p 的极大似然估计值为 11nii xnpN . 从而得 p 的极大似然估计量为 11nii X XnpNN . 2,、 设 nXXX , 21 为取自总体 X 的一个样本 ,X 的概率密度为 2

3、2 ,0( ; )0,x xfx 其 它 .其中参数 0 ， 求 的矩估计 . 解：取 nXXX , 21 为母体 X 的一个样本容量为 n 的样本，则 20 22() 3xE X x f x d x x d x 32EX 用 X 替换 EX 即得未知参数 的矩估计量为 3 2X . 3、 设 12, , , nX X X 总体 X 的一个样本 , X 的概率密度为 0,0 ,0,);(1xxexxfx 其中 0 是未知参数， 0 是已知常数 ,求 的最大似然估计 . 解：设 12, , , nx x x 为样本 12, , , nX X X 的一组观测值，则似然函数为 224 1()112

4、1( ) , 0( , , , ; )0,niin xnniinix e xL x x x 其 他取对数 11l n l n l n ( 1 ) ( l n ) ( )nniiiiL n n x x 解极大似然方程 1ln 0n iid L n xd 得 的极大似然估计值为1 niinx 从而得 的极大似然估计量为1 niinX . 4、 设总体 X 服从几何分布 ,10,2,1,)1()( 1 pkppkXP k 试利用样本值 nxxx , 21 ,求参数 p 的矩估计和最大似然估计 . 解：因 11111( 1 ) ( 1 )kkkkE X k p p p k p p , 用 X 替换 E

5、X 即得未知参数 p 的矩估计量为 1p X . 在一次取样下，样本值 12( , , , )nx x x 即事件 1 1 2 2 , , , nnX x X x X x 同时发生，由于 12, , , nX X X 相互独立，得联合分布律为 1 2 1 1 2 2( , , , ; ) ( ) ( ) , , ( )n n nL x x x p P X x P X x P X x 225 12 111(1 ) (1 ) (1 ) nxxxp p p p p p , 即得极大似然函数为 1( ) (1 )n ii xnnL p p p 取对数 1l n ( ) l n ( ) l n (1 )

6、niiL p n p x n p 解极大似然方程 1ln ( ) 01nii xnd L p ndp p p 得 p 的极大似然估计值为111 niip xn 从而得 p 的极大似然估计量为1111 niip XXn . 5、 设总体 X 的概率密度为 1; e x p ,2 xfx 0为未知参数 , nXXX , 21 为总体 X 的一样本 ,求参数 的最大似然估计 . 解：设 12, , , nx x x 为样本 12, , , nX X X 的一组观测值，则似然函数为 1 2 1 111( , , , ; ) ( ; ) ( ; ) e x p | |( 2 )nn n in iL x

7、x x f x f x x 取对数 12 11l n ( , , , ; ) l n ( 2 ) | |nni iL x x x n x 226 解极大似然方程 2 1ln 1 | | 0niid L n xd 得 的极大似然估计值11 |n ii xn 从而得 的极大似然估计量为11 |n ii Xn . 6、 证明第 5 题中 的最大似然估计量为 的无偏估计量 . 证明 ：由第 5 题 知 的最大似然估计量为11 |n ii Xn 故 1111 ( | |) | |nniiiiE E X E Xnn 又 1 | | | | | e x p 2i xE X x d x 0012 e x p

8、e x p ( )2 x x xx d x x d 0 0 e x p | e x p xxx d x 从而 E ，即 是 的无偏估计 . 7,、 设总体 X 的概率密度为 22222 0;0xxexfx ， ， 其 它 ., 2 0为未知参数 , nXXX , 21 为总体 X 的一个样本 ,求参数 2 的的矩估计量和最大似然估计量 . 解： 因 2 22 220( ; ) 2xxE X x f x d x x e d x 2 2 22 2 22 2 20002 ( ) 2 | 2 x x xx d e x e e d x 227 220012 2 2 22xxe dx e dx 用 X 替

9、换 EX 即得未知参数 的矩估计量为 12 X 从而得未知参数 2 的估计量为 221 ()2 X 设 12, , , nx x x 为样本 12, , , nX X X 的一组观测值，则似然函数为 21211 ()22 2 2 11 2 12( , , , ; ) ( ; ) ( ; )nini xinn nxL x x x f x f x e 取对数 222111l n l n l n 2nniiiiL x n x 解极大似然方程 22 2 4 1l n 1 02niid L n xd 得 2 的极大似然估计值 2211 2 n ii xn 从而得未知参数 2 的估计量为 2211 2 n

10、 ii xn . 8、 设总体 ),( 2NX , 已知 , 为未知参数 , nXXX , 21 为X 的 一个样本 , ni iXc 1 | , 求参数 c ,使 为 的无偏估计 . 解：由无偏估计的定义，要使 为 的无偏估计 ，则 E 228 又11 ( | |) | |nniiiiE E c X u c E X u 由题意知总体 ),( 2NX ，从而 22()21| | | | 2 xuiE X u x u e dx 22( ) ( )2211 ( ) ( )22x u x uu ux u e d x x u e d x 且 22()011() 22x u yx u yu x u e

11、d x y e d y 22 22 20 ()222y yed 由对称性有 2|2iE X u 从而有 22cn ，即 22c n . 9、 设 是参数 的无偏估计量 ,且有 0)( D ,试证 22 )( 不是2 的无偏估计量 . 证明：因为 是参数 的无偏估计量 ，故 E ，且 0)( D 有 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )E E D E D 即 22 )( 不是 2 的无偏估计量 . 10、 设总体 ),( 2NX , 321 , XXX 是来自 X 的样本 ,试证：估计量 3211 2110351 XXX ;3212 1254131 XXX ;3213 216131

12、 XXX 229 都是 的无偏估计 ,并指出它们中哪一个最有效 . 证明： 总体 ),( 2NX , 321 , XXX 是来自 X 的样本 ，则 1 1 2 3 1 2 31 3 1 1 3 1 ()5 1 0 2 5 1 0 2E E X X X E X E X E X u 2 1 2 3 1 2 31 1 5 1 1 5 3 4 1 2 3 4 1 2E E X X X E X E X E X u 3 1 2 3 1 2 31 1 1 1 1 1 ()3 6 2 3 6 2E E X X X E X E X E X u 即 估计量 1 2 3 , 都是 的无偏估计 . 又 21 1 2

13、3 1 2 31 3 1 1 9 1 1 ()5 1 0 2 2 5 1 0 0 4 5 0D D X X X D X D X D X 22 1 2 3 1 2 31 1 5 1 1 2 5 2 5 3 4 1 2 9 1 6 1 4 4 7 2D D X X X D X D X D X 23 1 2 3 1 2 31 1 1 1 1 1 7 ()3 6 2 9 3 6 4 1 8D D X X X D X D X D X 有 213 D D D ，从而估计量 2 最有效 . 11,、 设 12, , , nX X X 是总体 20,XN 的一个样本 , 2 0 ,证明 ： 211 n ii

14、Xn 是 2 的相合估计量 . 证明： 由题意， 总体 20,XN ，则 220,EX EX 由样本的独立同分布性知 2 2 21111()nniiiiE X E Xnn ，即 211 n ii Xn 是 2 的无偏估计 . 2221111( ) ( )nniiiiD X D Xnn又 2 4 2 2( ) ( )i i iD X EX EX，且 230 2 2 22 2 224 4 3 22 2 21 | 3 22x x xiE X x e dx x e x e dx 222 242332 xx e dx 故 2 4 2 2 4 4 4( ) ( ) 3 2i i iD X E X E X

15、， 有 42112( ) 0 ( )n iiD X nnn 故 211 n ii Xn 是 2 的相合估计量 12、 设总体 X 的数学期望为 ,方差为 2 ,分别抽取容量为 1n 和 2n 的两个独立样本 , 1X , 2X 分别为两样本均值 ,试证明 :如果 ,ab满足1ab,则 12Y aX bX是 的无偏估计量 ,并确定 ,ab,使得 DY最小 . 解：由题意， 2,EX u DX ，且 1X , 2X 分别为容量 为 1n 和 2n 的两个独立样本 得 样本均值 ，故 2111,EX u DX n， 222 2,EX u DX n. 当 1ab 时，有 12 ()E Y a E X

16、b E X a b u u ，即12Y aX bX是 的无偏估计量 . 222 2 212 12()abD Y a D X b D X nn 令 2212(1 )() aaga nn ，由 ( ) 0ga 知函数 ()ga 的 稳定 点 为231 112na nn ，且 11 2 1 211( ) 2( ) 0ng n n n n ，故 112na nn 为函数唯一极 小值点 ， 即当 121 2 1 2,nnabn n n n时， DY 最小 . 13、 设 12, , , nX X X 是总体 X 的一个样本 , X 的概率密度为 ;fx , 0 ,未知，已知 22 2nX n ,试求 的

17、 置信水平为 1的置信区间 . 解：由题意，统计量 22 2nX n ，则给定置信度为 1 时，有 221 2 2( 2 2 ) 1nXP n n 22 12( ) 122n X n XP nn 由置信区间的定义知， 的 置信水平为 1 的置信区间 为 2212,nX nXnn. 14、 从大批彩色显像管中随机抽取 100 只 ,其平均寿 命为 10000 小时 ,可以认为显像管的寿命 X 服从正态分布 .已知均方差 40 小时 ,在置信水平 0.95 下求出这批显像管平均寿命的置信区间 . 解：设 12, , , nX X X 是 母体 X 的样本容量为 n 的子样，则 显像管平均寿命 (10000,16)XN 构造统计量 (0,1)XuUNn，有