1、微积分学习辅导与 提高 第八章 微分方程与差分方程 第 页 367 提示：差分方程内容不用看 微分方程自测题 A 答案 与提示 一、 单项 选择题 1. 答案： A 提示： 原方程可化为2211yxdy dx. 2. 答案： D 提示：原方程可化为 22dx yx y xdy （伯努利方程 2n ） . 3. 答案： A 提示：特征方程为 2 20r ， 1,2 22r .故特解为 xeAxAy 221 )( . 4. 答案： C 提示：特征方程为 2 40r , 1,2 20ri .故特解为 )2s in2c o s( 21 xAxAxy . 5. 答案： B 提示：所求齐次微分方程的特征方
2、程的根应为 1,2 1ri ，而选项 B的特征方程为 2 2 2 0rr ，满足条件 . 6. 答案： B 提示：由已知条件，特征方程 32 0r ar br c 有根 1 2,31, 0rr .故 3 2 2 3 2( 1 )r a r b r c r r r r ，则 0,0,1 cba . 7. 答案： B 提示：按照差分及差分方程的定义验证即可 . 8. 答案： C 提示：差分方程 的定义验证即可 . 二、填空题 1 答案： 212 xey 微积分学习辅导与 提高 第八章 微分方程与差分方程 第 页 368 提示：原方程可化为变量可分离方程211 x dx dyyx ，解得 21()
3、xy x Ce .由 (1) 2y ，得 2C ，从而 212 xey . 2. 答案： )(1 cxxy 提示：原方程可化为变量可分离方程 111 dy dxyx，解得 )(1 cxxy . 3. 答案：212xxy 提示：原方程可化为齐次方程 2dy y ydx x x.令 y ux ，则2 2du dxu u x，解得 221u Cx ，即221 xy Cx .由 (1) 1y ，得 1C ，故212xxy . 4. 答案： xexxcxcey xx 2c o s4)2s in2c o s(21 提示：特征方程为 2 2 5 0rr ，特征根为 1,2 12ri .则齐次方程的通解为 1
4、2( c o s 2 s in 2 )xY e c x c x.由于 12i 是特征方程的根 ( 1, 2),所以应设特解为 * si n 2 c o s 2xy xe a x b x.把它代入原方程，可得 10, 4ab . 5. 答案： 6xy 提示：设曲线 方程为 ()y yx .过曲线上点 (, )xy 的切线方程为 ()dyy y x xdx .因 切线被切点平分 ，则 (0 )2dyyxdxy .由此得微分方程 dx dyxy，解得 xy c ，又 曲线通过点 (2, 3) ，则 6c . 6. 答案： )1(21 22 xe x 提示 ： 函数 ()y f x 连续，则0 ()x
5、xf x dx可导，从而 201( ) 2 ( )2xxf x e xf x d x 可导 .对其求导，得 22 xdy xy xedx ，解得 22( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 21()2x d x x d x x d xxxy C e e x e e d x e x C .由 1(0) 2f ,得 12C .故 微积分学习辅导与 提高 第八章 微分方程与差分方程 第 页 369 2 21( ) ( 1)2 xf x e x. 7. 答案： 62x 提示： 3 3 2 1( 3 3 )x x x x xy y y y y ，代入函数 3( 1) 2xxyx 并化简得 3 3 3 3 2
6、 3 1 3( 3 ) 2 3 ( 2) 2 3 ( 2) 2 ( 1 ) 2 6 2 .x x x x xxy x x x x 8. 答案： 1243xxxy C C 提示：特征方程为 2 7 12 0 ，特征根为 123, 4，按照齐次 差分方程的求解公式得通解为 1243xxxy C C. 三、计算题 1.解： (1） 1)21ln(22 xey (2） 1cxy xe (3） xxy cos (4） 412121 22 yyCex y (5） )21( 222 xxCey x (6） )215s in215c o s(32211 xCxCeeCy xx (7） 32116)2(2124
7、 xxccxey x (8） xxxy s in31c o s2s in31 2解：原方程化为 )(ln)( yxyyx ，令 u = x y , 得 uxuxu lndd (分离变量方程 ) 3解： y pe u e upx px12 12 12 y e u p u p upx12 214( ) 代入原方程整理得 微积分学习辅导与 提高 第八章 微分方程与差分方程 第 页 370 u q p u( )14 02 令 k q p 14 2 得 u ku 0 4.解 : 将特解代入方程得恒 等式 xxxx ecexbaeaeba )1()2()1( 比较系数得01201bacaba ，得210c
8、ba 故原方程为 xeyy 2 对应齐次方程通解 : xx eCeCY 21 ，由于 xx exey 原方程通解为 xx eCeCy 21 5 解 ：用 txu 对等式左边的积分 10 )( dttxf进行替换，然后再两边求导数，得出 )(xf 需满足的微分方程便能解出 nnCxxf 1)( . 6 解 ： 4)63s in3263( c o s)( 2 ttetP t 7 解 ：验证 )()( 1 xyxy 及 )()( 12 xyxy 都是对应齐次方程的解 .用齐次线性方程解的性质即可得出证明 . 8. 解： ()fx由两种不同类型的自由项，分别设定试解得1 22 1 1 3 1 8 4
9、53 1 1 4xxxy C x x . 微分方程自测题 B 答案 与提示 一、 单项 选择题 1. 答案： A 提示： 111, x x x xe e e e ee . 2. 答案： C 提示：解方程可得 1 1 c o sln ln ln2 1 c o s xyCx 21 ln ta n22x C.由 ()2ye ，知 0C .由此可得 tan2xye . 微积分学习辅导与 提高 第八章 微分方程与差分方程 第 页 371 3. 答案： D 提示：原方程可化为 1211dy xydx x x. 4. 答案： B 提示：方程 )()( xQyxPy 对应齐次方程的通解为 ()P x dxY
10、ce ，故原方程的通解为 () 1P x dxy ce y. 5. 答案： A 提示： 代换 mzy 将微分方程 byaxy 化为 11 mmma x bzzm z m ,为 一阶齐次方程 ，则有 111m ， 11mm ，从而 111. 6. 答案： C 提示：特征方程为 22 2 211 042r p r q r p r p r p ，得1,2 2pr .则通解为 212()p xy C C x e . 7. 答案： A 提示：方程 130ttyy的通解是 3,ttYC 方程 132tty y B的特解形式为 (ty k k 待定），代入方程 132tty y B得到 kB ，所以选择 A
11、. 8. 答案： B 提示： 214 3 0x x xy y y 的特征根是 121, 3,1 是特征单根，所以特解形式是()xy x Ax B . 二、 填空题 1 答案： 通解 是 221 y x c 提示：原方程化为可分离变量方程2 21y dy xdxy ，可得通解为 221 y x c . 2. 答案： 特解 xy 2 微积分学习辅导与 提高 第八章 微分方程与差分方程 第 页 372 提示：特征方程为 2 0rr ， 1 0r ， 2 1r .非齐次项 2 属于 ()x me P x 型，其中 0 是特征方程的单根， 0m ，故 非齐次方程的特解 可设为 *y cx ，代入原方程可
12、得 2c . 3. 答案： 通解 是 1 1 3 2 2 3 3( ) ( )D C y y C y y y 提示：由已知条件，可证 13yy 和 23yy 是原方程对应的齐次方程 12( ) ( ) 0y a x y a x y 的两个线性无关的解 .故原方程的 通解 是 1 1 3 2 2 3 3( ) ( )C y y C y y y . 4. 答案： 通解 是 1 2 3 4 5( ) s i n ( ) c o sxy C e C C x x C C x x 提示：特征方程为 5 4 3 2 4 2 2 22 2 1 ( 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0r r r
13、r r r r r r r ，特征根为 1 2,31, r r i (二重 ), 4,5ri (二重 ). 故原方程的通解可表示为 1 2 3 4 5( ) s i n ( ) c o sxy C e C C x x C C x x . 5. 答案： 通解 是 22ln ( )x x y C 提示：作变量替换 22u x y，则原方程可化为 0udx du.则通解为 lnx u c，即 22ln ( )x x y C . 6. 答案： 需求函数 310000 pxe 提示：由题意，知需求价格弹性函数 3p p dx px dp ,解得 3() px p ce .当 0p 时，需求量为 1000
14、0x ，则 10000c .从而需求函数为 310000 pxe . 7. 答案： 通解是 2xy c x x 提示：方程 2xyx 是一阶线性非齐次方程，对应齐次方程的通解为 xYc ，非齐次的特解形式为 ()xy x Ax B ,代入方程 2xyx 求得 1, 1AB ，所以通解是2xy c x x . 8. 答案： 通解是 1232xxxy C C 微积分学习辅导与 提高 第八章 微分方程与差分方程 第 页 373 提示：方程 215 6 0x x xy y y 的 特征方程为 2 5 6 0 ，特征根是 122, 3,所以 通解是 1232xxxy C C. 三、计算题 1 解：将 x
15、 tx dteey0 2代入 微分方程 2xxeyy ， 220xx t x xy e e dt e e，所以 yy 220 xx t x xe e dt e e- 20xxte e dt = 2xxe ，方程成立， 因此 x tx dteey0 2是方程 特解 。 2 解 ： 0y 时， dy yydx ； 2 d y dx ， 2()4 xcy 0y 时， yydxdy ，令 yz ，有方程 zdxdz ， 2d z dx 2()4 cxz ， 2()4cxy ， 时，时，04 )(04 )(22yxcycxy 。 3（ 1） 解 ： dxxxyydyx )( 222 ， 22 22 (
16、) 1 d y y x y x y yd x x x x，为 一阶齐次微分方程 ， 令 uxy ，则 dxduxudxdy ，原方程化为 2 1 duu x u udx ， 2( 1) du dxux，解得 1 ln1 cxu 即 1 1ln ycx x 或 xcxyx ln)( （ 2） 解 ： xexyyx )1( 22 ，当 x 时， 1y 2211( 1) xy y exx为一阶线性非齐次方程，代入其通解公式( ) ( )()P x d x P x d xy e Q x e d x C = 221121( 1 ) d xxxxy e e d x Cx 1121( 1 ) xxxy e
17、e e dx Cx 11xxxe e C 1x xy e e c ， 当 x 时， 1y ， C=1, 因此 xx eey 1 微积分学习辅导与 提高 第八章 微分方程与差分方程 第 页 374 （ 3） 解 ： xyxyxy c o sln2 1 ， 21 c o s2 ln ln xyy yx x x是一阶线性非齐次方程，代入通解公式， 12 l n l nln c o s()ln dx xxx xy e e d x Cx， 2 1 sinln y x Cx 或 xcxy sinln2 （ 4） 1s inc o s xyyy 提示： 令 ( ) ( ) sinz x f y y 解 ：
18、令 ( ) ( ) sinz x f y y， ( s i n ) s i n 1 y y z z x是一阶线性非齐次方程， ( 1 ) dx xz e x e d x Cxx Ce 因此 xcexy sin 4 解：0( ) ( ( ) )x xy x y t dt e()xyt e，得到 ( ) ( ) xy x y x e，代入一阶线性非齐次方程通解公式 dx xxy e e e dx C， ()xy x c e 又 (0) 1y ， 1c 因此 xexy )1( 5（ 1） 解 : 二阶常系数齐次微分方程的特征根 1201，rr， 因为 2() f x ax bx c， 二阶常系数非齐
19、次微分方程 特解应为 *20 1 2 y x A A x A x （ 2） 解 : 二阶常系数齐次微分方程的特征根 1211 ，rr（二重根）， 因为 ( ) ( )xf x e ax b， 二阶常系数非齐次微分方程 特解应为 *2 01()xy x e A A x （ 3） 解 : 二阶常系数齐次微 分方程的特征根 1201，rr 因为 ( ) cos sinf x x x， 二阶常系数非齐次微分方程 特解应为 * cos siny a x b x （ 4） 解 : 二阶常系数齐次微分方程的特征根 1211 ，r i r i 因为 ( ) ( c o s s in )xf x e A x B
20、 x， 二阶常系数非齐次微分方程 特解应为 * ( c o s s in )xy x e a x b x 6 解 : xxyy c o s2 的特 征 方程： 2 10r ， 12 ，r i r i 2y y x 的特解设为 *21 0 1 2 y A A x A x，代入解出 0 1 22 , 0 , 1 A A A， *21 2yx cosy y x 的特解设为 *2 ( c o s s in )y x a x b x，代入解出 微积分学习辅导与 提高 第八章 微分方程与差分方程 第 页 375 10, 2ab， *2 1 sin2y x x 所以， 方程 xxyy c o s2 的特解
21、为 xxxy s in2122 7 解 : :0a 通解为 xCCy 21 :0a 通解为 xaCxaCy s inc o s 21 :0a 通解为 xaxa eCeCy 21 8解：化方程为)1(2 )1(3dd22 xy yxxy令 1xt , 则tyxttyxy dddddddd yt ytty 23dd22 (齐次方程 ) 令 tyu ，得 可分离变量方程 ttuuu d1d3 2 2 解为 Cut )3( 2 ，将变量回代得通解为 Cx yx )13)(1(2 9 解： （ ） 由题设可得 ),()1)(2,02)(223 xfxxpxxxp 解此方程组，得 .3)(,1)(3xxf
22、xxp （） 原方程为 .313xyxy 解，程的两个线性无关的特是原方程对应的齐次方显见 221 ,1 xyy 是原方程的一个特解，又 xy 1* 所以 .1221 xxCCy 10. 解： ()fx由两种不同类型自由项构成，特解有两种形式，与方程1 12 6 3 22 nnnyy 对应的特解为 1 3xy ax ，与方程 12 6 2nnyy 对应的特解为 2yb ，分别代入方程求待定系数得 12a ， 12b ；所以方程通解为 1113322xxxy C x 代入初始条件得到特解为 11 1 1 1335 2 2xxxyx 。 微积分学习辅导与 提高 第八章 微分方程与差分方程 第 页
23、376 11. 解：由于1 1 11 ()16t t t tp p S D ，把 3 2 , 4 5t t t tS p D p 代入，方程可改写为 1 1 1 3()1 6 2 8t t t t tp p S D p 1 1328ttpP 这是一阶常系数非齐次线性差分方程，对应齐次方程的特征方程 110, ,22 故对应齐次方程的通解 12ttpc . 因为 1 不是特征方程的根， 3()8ft 是零次多项式，故设特解 *tpA ，代入原方程328AA，得 * 34tpA. 所以该商品价格随时间变化的规律为 1324ttpc 微分方程自测题 C 答案 与提示 一、 单项 选择题 1答案： A
24、 提示： 211( l n ) ( ) l n l nlnx y xxyy x x xx , 则21()t t . 令 xty即可 . 2答案： C 提示： 00s i n s i n00( ) ( ) 0xxf x f x e e ，从而 0x 是 ()fx的极小值点 . 3答案： D 提示： 由题意，特征方程为 2( 1 ) ( 2 ) 2 0r r r r ，可知所求微分方程对应的齐次方 程为 20y y y .选项 C、 D可能正确 . 选项 C中的非齐次项 3xxe ，为 ()x me P x 型， 1 （为特征方程的一单根 ）， 1m ，则对应的方程的特解形式为 ()xx ax be ，其与 xxe 不符 .故选项 C错 . 选项 D中的方程的特解形式为 xaxe ,与已知条件相符 . 4答案： B 提示： ()fx满足方程 ( ) 2 ( ) , (0 ) ln 2f x f x f ，解得 2( ) lnxf x e . 5. 答案： B
