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1、高等代数精品课试题库 1 高等 代数 试 题库 一、 选择题 1在 Fx 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。 A 零多项式 B 零次多项式 C 本原多项式 D 不可约多项式 2设 ( ) 1g x x是 6 2 4 2( ) 4 4f x x k x kx x 的一个因式，则 k （ ） 。 A 1 B 2 C 3 D 4 3 以下命题不正确的是 （ ） 。 A . 若 ( ) | ( ), ( ) | ( )f x g x f x g x则 ； B .集合 | , F a bi a b Q 是数域 ； C .若 ( ( ), ( ) 1, ( )f x f x f x 则没有重因式 ； D

2、 设 ( ) ( ) 1p x f x k 是 的 重因式，则 ( ) ( )p x f x k是 的 重因式 4 整系数多项式 ()fx在 Z 不可约是 ()fx在 Q 上不可约的 ( ) 条件 。 A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D 既不充分也不必要 5 下列对于多项式的结论 不 正确的是（ ） 。 A .如果 )()(,)()( xfxgxgxf ，那么 )()( xgxf B .如果 )()(,)()( xhxfxgxf ，那么 )()()( xhxgxf C .如果 )()( xgxf ，那么 )( xFxh ，有 )()()( xhxgxf D .如 果 )()(,)(

3、)( xhxgxgxf ，那么 )()( xhxf 6 对于“命题甲：将 ( 1)n 级行列式 D 的主对角线上元素反号 , 则行列式变为 D ；命题乙：对换行列式中两行的位置 , 则行列式反号”有 ( ) 。 A .甲成立 , 乙不成立 ； B . 甲不成立 , 乙成立 ； C .甲 , 乙均成立 ； D 甲 , 乙均不成立 7 下 面论 述中 , 错误的是 ( ) 。 A . 奇数次实系数多项式必有实根 ； B . 代数基本定理适用于复数域 ； C 任一数域包含 Q ； D 在 Px 中 , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x h x g x h x 8设

4、ijDa， ijA 为 ija 的代数余子式 , 则11 21 112 22 212. . . .nnn n nnA A AA A AA A A=( ) 。 A . D B . D C . /D D ( 1)nD 高等代数精品课试题库 2 9.行列式 4 1 0326 5 7a中，元素 a 的代数余子式是（ ）。 A 4067 B 4165 C 4067 D 4165 10 以下乘积中（ ）是 5 阶行列式ijDa中取负号的项。 A . 31 45 12 24 53a a a a a ； B . 45 54 42 12 33a a a a a ； C 23 51 32 45 14a a a a

5、 a ； D . 13 32 24 45 54a a a a a 11. 以下乘积中（ ）是 4 阶行列式ijDa中取负号的项。 A . 11 23 33 44a a a a ； B . 14 23 31 42a a a a ； C 12 23 31 44a a a a ； D . 23 41 32 11a a a a 12. 设 ,AB n均 为 阶矩阵，则正确的为（ ） 。 A . d e t( ) d e t d e tA B A B B .AB BA C det( ) det( )AB BA D . 2 2 2( ) 2A B A A B B 13. 设 A 为 3 阶方阵， 321

6、, AAA 为按列划分的三个子块，则下列 行列式中与 A 等值的是（ ） A . 133221 AAAAAA B . 321211 AAAAAA C 32121 AAAAA D . 311132 AAAAA 14. 设 A 为四阶行列式，且 2A ，则 AA （ ） A .4 B . 52 C 52 D .8 15. 设 A 为 n 阶方 阵， k 为非零常数，则 )det(kA （ ） A . )(detAk B . Akdet C Akndet D . Akn det 16.设 A ， B 为数域 F 上的 n 阶方阵，下列等式成立的是（ ）。 A . d e t ( ) d e t (

7、) d e t ( )A B A B ； B . det( ) det( )kA k A ； C 1d et( ) d et( )nkA k A ； D . d e t( ) d e t( ) d e t( )A B A B 17. 设 *A 为 n 阶方阵 A 的伴随矩阵且 A 可逆，则结论正确的是（ ） A . * * 1( ) | |nA A A B . * * 1( ) | |nA A A 高等代数精品课试题库 3 C * * 2( ) | |nA A A D . * * 2( ) | |nA A A 18.如果 11AA A A I， 那么 矩阵 A 的行列式 A 应该有（ ）。 A

8、 . 0A ； B . 0A ； C ,1A k k； D . ,1A k k 19.设 A , B 为 n 级方阵 , mN , 则“命题甲： AA ；命题乙： ()m m mAB A B ”中正确的是 ( ) 。 A . 甲 成立 , 乙不成立 ； B . 甲不成立 , 乙成立 ； C 甲 , 乙均成立 ； D .甲 , 乙均不成立 20.设 *A 为 n 阶方阵 A 的伴随矩阵，则 *AA （ ）。 A . 2nA B . nA C 2nnA D . 2 1nnA 21.若矩阵 A ， B 满足 AB O ，则（ ）。 A .AO 或 BO ； B .AO 且 BO ； C AO 且 B

9、O ； D .以上结论都不正确 22.如果矩阵 A 的秩等于 r ，则（ ）。 A .至多有一个 r 阶子式不为零 ； B .所有 r 阶子式都不为零 ； C 所有 1r 阶子式全为零，而至少有一个 r 阶子式不为零 ； D .所有低于 r 阶子式都不为零 23.设 n 阶矩阵 A 可逆 ( 2)n ， *A 是矩阵 A 的伴随矩阵，则结论正确的是（ ）。 A . 1nA A A ； B . 1nA A A ； C 2nA A A ； D . 2nA A A 24. 设 *A 为 n 阶方阵 A 的伴随矩阵，则 | * AA =（ ） A . 2|nA B .|nA C 2|nnA D . 2

10、 1|nnA 25.任 n 级矩阵 A 与 A , 下述判断成立的是 ( )。 A . AA ； B . AX O 与 ()A X O同解； C .若 A 可逆 , 则 11( ) ( 1)nAA ； D A 反对称 , -A 反对称 26.如果矩阵 rankA r ,则 （ ） A . 至多有一个 r 阶子式不为零； B .所有 r 阶子式都不为零 C 所有 1r 阶子式全为零，而至少有一个 r 阶子式不为零 ； D 所有低于 r 阶子式都不为零 27. 设 A为 方阵，满足 11AA A A I，则 A 的行列式 |A 应该有 （ ）。 A . | | 0A B . | | 0A C |

11、| , 1A k k D . | | , 1A k k 28. A 是 n 阶矩阵， k 是非零常数，则 kA ( )。 A . kA； B . kA； C nkA D . |nkA 29. 设 A 、 B 为 n 阶方阵，则有（ ） . A .A ， B 可逆，则 AB 可逆 B .A ， B 不可逆，则 AB 不可逆 高等代数精品课试题库 4 C A 可逆， B 不可逆，则 AB 不可逆 D .A 可逆， B 不可逆，则 AB 不可逆 30. 设 A 为数域 F 上的 n 阶方阵，满足 2 20AA，则下列矩阵哪个可逆（ ）。 A .A B .AI C AI D 2AI 31. BA, 为

12、 n 阶方阵， OA ，且 ( ) 0R AB ，则 （ ） 。 A . OB ； B . ( ) 0RB ； C OBA ； D . ( ) ( )R A R B n 32. A ， B ， C 是同阶方阵，且 ABC I ，则必有（ ）。 A . ACB I ； B . BAC I ； C CAB I D CBA I 33. 设 A 为 3 阶方阵，且 ( ) 1RA ， 则 （ ）。 A . *( ) 3RA ； B . *( ) 2RA ； C *( ) 1RA ； D . *( ) 0RA 34. 设 BA, 为 n 阶方阵， OA ，且 OAB ，则 （ ） . A . OB B

13、. 0B 或 0A C OBA D . 222 BABA 35. 设矩阵0 4 00 0 0 010000 0 0 00 2 0 0A，则秩 A =（ ）。 A 1 B 2 C 3 D 4 36. 设 A 是 mn 矩阵，若（ ）， 则 AX O 有非零解。 A .mn ； B . ()RA n ； C mn D . ()RA m 37. A ， B 是 n 阶方阵， 则下列结论成立得是（ ） 。 A . AB O A O 且 BO ； B . 0A A O ； C 0AB A O 或 BO ； D . 1| AIA 38. 设 A 为 n 阶方阵，且 nrAR ，则 A 中 （ ） . A

14、.必有 r 个行向量线性无关 B .任意 r 个行向量线性无关 C 任意 r 个行向量构成一个极大无关组 D .任意一个行向量都能被其他 r 个行向量线性表示 39. 设 A 为 34 矩阵， B 为 23 矩阵， C 为 43 矩阵，则下列乘法运算不能进行的是（ ）。 A . TTABC B . TACB C BAC D .ABC 40.设 A 是 n 阶方阵，那么 A 是（ ） A . 对称矩阵 ； B . 反对称矩阵 ； C 可逆矩阵 ； D .对角矩 阵 41.若由 ACAB 必能推出 CB （ CBA , 均为 n 阶方阵），则 A 满足 ( )。 高等代数精品课试题库 5 A .

15、0A B . OA C OA D . 0AB 42.设 A 为任意阶 )3( n 可逆矩阵， k 为任意常数，且 0k ，则必有 1)(kA （ ） A . 1Akn B . 11 Akn C 1kA D . 11 Ak 43.A ， B 都是 n 阶方阵，且 A 与 B 有相同的特征值，则（ ） A . A 相似于 B ； B . AB ； C A 合同于 B ； D . AB 44. 设 )(21 IBA ，则 AA2 的充要条件是（ ） A .BI ； （ B） IB ； C IB2 D . IB 2 45. 设 n 阶矩阵 A 满足 2 20A A I ，则下列矩阵哪个可能不可逆（ ）

16、 A . 2AI B . AI C AI D . A 46. 设 n 阶方阵 A 满足 2 20AA，则下列矩阵哪个一定可逆（ ） A . 2AI ； B . AI ； C AI D . A 47. 设 A 为 n 阶方阵，且 nrAR ，则 A 中 （ ） . A .必有 r 个 列 向量线性无关 ； B .任意 r 个 列 向量线性无关 ； C 任意 r 个行向量构成一个极大无关组 ； D .任意一个行向量都能被其他 r 个行向量线性表示 48.设 A 是 mn 矩阵，若（ ），则 n 元线性方程组 0AX 有非零解。 A . mn B .A 的秩等于 n C mn D .A 的秩等于 m

17、 49. 设矩阵 nmijaA ， 0AX 仅有零解的充分必要条件是 ( ). A . A 的行向量组线性相关 B .A 的行向量组线性无关 C A 的列向量组线性相关 D .A 的列向量组线性无关 50. 设 A , B 均为 P 上矩阵 , 则由 ( ) 不能断言 AB ； A . ( ) ( )R A R B ； B .存在可逆阵 P 与 Q 使 A PBQ C A 与 B 均为 n 级可逆； D .A 可经初等变换变成 B 51. 对于非齐次线性方程组 AX B 其中 11 )(,)(,)( njninnij xXbBaA ，则以下结论 不正确的是（ ） 。 A .若方程组无解，则系数

18、行列式 0A ； B .若方程组有解，则系数行列式 0A 。 C 若方程组有解，则有惟一解，或者有无穷多解 ； D .系数行列式 0A 是方程组有惟一解的充分必要条件 高等代数精品课试题库 6 52. 设 线性方程组的增广矩阵是1 0 7 2 10 1 2 1 10 2 4 2 20 0 0 1 5 ，则这个方程组解的情况是（ ） . A .有唯一解 B .无解 C 有四个解 D .有无穷多个解 53. BA, 为 n 阶方阵 , OA ，且 0AB ，则 （ ）。 A . 0A ； B . ()RB n ； C 齐次线性方程组 ()BA X O 有非 0 解； D . 0A 54. 当 （

19、）时，方程组 1 2 31 2 312 2 2x x xx x x ，有无穷多解。 A 1 B 2 C 3 D 4 55. 设线性方程组0322313221axcxbcbxcxabaxbx ，则（ ） A .当 cba, 取任意实数时，方程组均有解。 B .当 0a 时，方程组无解。 C 当 0b 时，方程组无解。 D .当 0c 时，方程组无解。 56. 设原方程组为 bAX ，且 rbARAR , ，则和原方程组同解的方程组为 ( )。 A . bXAT ； B . bQAX （ Q 为初等矩阵） ； C PbPAX （ P 为可逆矩阵） ； D .原方程组前 r 个方程组成的方程组 57

20、. 设 线性方程组 AX b 及相应的齐次线性方程组 0AX ，则下列命题成立的是（ ）。 A . 0AX 只有零解时， AX b 有唯一解； B . 0AX 有非零解时， AX b 有无穷多个解； C AX b 有唯一解时， 0AX 只有零解； D . AX b 解时， 0AX 也无解 58. 设 n 元齐次线性方程组 0AX 的系数矩阵 A 的 秩为 r ，则 0AX 有非零解的充分必要条件是（ ）。 A .rn B .rn C rn D .rn 59. n 维向量组 s , 21 )3( ns 线性无关的充分必要条件是（ ） A .存在一组不全为零的数 skkk , 21 ，使 0221

21、1 sskkk B . s , 21 中任意两个向量组都线性无关 C s , 21 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示 D . s , 21 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示 60. 若向量组中含有零向量，则此向量组（ ） A .线性相关； B . 线性无关； C 线性相关或线性无关； D .不一定 61 设 为任意非零向量，则 （ ）。 高等代数精品课试题库 7 A .线性相关； B .线性无关； C 线性相关或线性无关； D 不一定 62.n 维向量组 12, ,. s 线性无关， 为一 n 维向量，则（ ） . A . 12, , . , s ， 线性相关； B . 一定能被

22、 12, , . , s 线性表出； C 一定不能被 12, , . , s 线性表出； D .当 sn 时， 一定能被 12, , . , s 线性表出 63. （ 1）若两个向量组等价，则 它 们所含向量的个数相同；（ 2）若向量组 21 r ， 线性无关， 1r 可由 r ,21, 线性表出，则向量组 121 r ， 也线性无关；（ 3）设 21 r ， 线性无关，则 121 r ， 也线性无关；（ 4） 21 r ， 线性相关，则 r 一定可由 121, r ， 线性表出；以上说法正确的有（ ）个。 A .1 个 B .2 个 C 3 个 D .4 个 64（ 1） n 维向量空间 V

23、 的任意 n 个线性无关的向量都可构成 V 的一个基；（ 2）设 n ， 21 ,是向量空间 V 中的 n 个向量，且 V 中的每个向量都可由之线性表示，则 n ，21, 是 V 的一 个基；（ 3）设 , 21 n ， 是向量空间 V 的一个基，如果 21 n ， 与, 21 n ， 等价，则 21 n ， 也是 V 的一个基； （ 4） n 维向量空间 V 的任意 1n 个向量线性相 关；以上说法中正确的有（ ）个。 A .1 个 B .2 个 C 3 个 D .4 个 65 设向量组 321 , 线性无关。 421 , 线性相关，则（ ）。 A . 4321 , 必可由 线性表示； B

24、. 3214 , 必可由 线性表示； C 3214 , 必可由 线性表示； D . 3214 , 必不可由 线性表示 66.设向量组（ r , 21 ），（ srr , 121 ）则必须有（ ）。 A .无关 无关； B . 无关 无关； C .无关 相关； D .相关 相关 67 向量组 A : 12, , , n 与 B : 12, , , m 等价的充要条件为（ ） . A . ( ) ( )R A R B ； B . ()RA n 且 ()RB m ； C ( ) ( ) ( , )R A R B R A B； D .mn 68 向量组 12, , , r 线性无关 ( ) 。 A .

25、 不含零向量； B . 存在向量不能由其余向量线性表出； C 每个向量均不能由其余向量表出； D 与单位向量等价 高等代数精品课试题库 8 69.已知 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 5 1 0 1 3 1 0 2 2 3 1则 A . 2( ,1, 2)3 ； B . 2( ,1, 2)3； C 2(1, , 2)3 ； D . 2(1,1, )3 . 70. 设向量组 321 , 线性无关。 421 , 线性相关，则（ ）。 A . 4321 , 必可由 线性表示； B . 3214 , 必可由 线性表示； C 3214 , 必可由 线性表示； D . 3214 , 必不可

26、由 线性表示 71 下列集合中，是 3R 的子空间的为（ ），其中 1 2 3( , , )x x x A 3 0x B . 1 2 32 3 0x x x C 3 1x D . 1 2 32 3 1x x x 72 下列集合有（ ）个是 nR 的子空间； 0,|),( 21211 nin xxxRxxxxw ； ,|),( 21212 nin xxxRxxxxw ； ,|),(3 Rbabababaw ； |),( 214 为整数in xxxxw ； 73 设 ,是相互正 交的 n 维实向量，则下列各式中错误的是（ ）。 A . 222 ； B . ； C 222 ； D . A .1 个

27、B .2 个 C 3 个 D .4 个 74.A 是 n 阶实方阵，则 A 是正交矩阵的充要条件是（ ） 。 A . 1AA I ； B . /AA ； C /1 AA ； D . IA2 75 （ 1）线性变换 的特 征向量之和仍为 的特 征向量；（ 2）属于线性变换 的同一特 征值0 的 特 征向量的任一线性组合仍是 的特 征向量；（ 3）相似矩阵有相同的特征多项式； （ 4） 0)( 0 XAI 的非零解向量都是 A 的属于 0 的特征向量；以上说法正确的有（ ）个。 A .1 个 B .2 个 C 3 个 D . 4 个 75. n 阶方阵 A 具有 n 个不同的特征值是 A 与对角阵

28、相似的（ ）。 A .充要条件； B .充分而非必要条件； C 必要而非充分条件； D .既非充分也非必要条件 76. 对于 n 阶实对称矩阵 A ，以下结论正确的是（ ）。 高等代数精品课试题库 9 A .一定有 n 个不同的特征根； B . 正交矩阵 P ，使 APP 成对角形； C 它的特征根一定是整数； D .属于不同特征根的特征向量必线性无关，但不一定正交 77. 设 321321 , 与 都是三维向量空间 V 的基，且321321211 , a ，则矩阵 111001011P 是由基 321 , 到（ ）的过渡矩阵。 A . 312 , B . 3,21, C 132 , D .

29、123 , 78. 设 ， 是相互正交的 n 维实向量，则下列各式中错误的是（ ）。 A . 222 B . C 222 D . 二、 填空题 1 最小的数环是 ，最小的数域是 。 2 一非空数集 P ,包含 0 和 1, 且对加减乘除四种运算封闭，则其为 。 3 设 f 是实数域上的映射， )(: Rxkxxf ，若 (4) 12f ，则 ( 5)f = 。 4 设 ( ), ( ) f x g x F x ，若 ( ( ) ) 0 , ( ( ) )f x g x m ，则 ( ( ) ( )f x g x = 。 5.求用 2x 除 43( ) 2 5f x x x x 的商式 为 ，余

30、式 为 。 6 设 0a ，用 ()g x ax b除 ()fx所得的余式是函数值 。 7设 ,ab是两个不相等的常数，则多项式 ()fx除以 ( )( )x a x b所得的余式为 _ 8把 5)( 4 xxf 表成 1x 的多项式是 。 9把 532)( 23 xxxxf 表成 1x 的多项式是 。 10设 ( ) f x Qx 使得 0( ( )fx 2 ，且 1)1( f ， ( 1)f 3 ， 3)2( f ，则 )(xf 。 11设 ( ) f x Rx 使得 d e g ( ) 3 ( 1 ) 1 ( - 1 ) 3 (2 ) 3 ( )f x f , f , f , f x 且

31、 则=_。 12设 ( ) f x Rx 使得 d e g ( ) 3 ( 1 ) 1 ( - 1 ) 2 ( 2 ) 0 ( )f x f , f , f , f x 且 则=_。 13. 若 ( ) ( ), ( ) ( )g x f x h x f x，并且 ，则 ( ) ( ) ( )g x h x f x 。 高等代数精品课试题库 10 14. 设 ( ) ( )g x f x ，则 ()fx与 ()gx 的最大公因式为 。 15. 多项式 ()fx、 ()gx 互素的充要条件是存在多项式 ()ux、 ()vx 使得 。 16. 设 )(xd 为 )(xf ， )(xg 的一个最大公

32、因式 , 则 )(xd 与 )(,)( xgxf 的关系 。 17. 多项式 1)(143)( 23234 xxxxgxxxxxf 与的最大公因式 ( ( ) , ( ) )f x g x 。 18. 设 42()f x x x ax b 。 2( ) 2g x x x ，若 ( ( ), ( ) ( )f x g x g x ，则 a ， b 。 19在有理数域上将多项式 32( ) 2 2f x x x x 分解为不可约因式的乘积 。 20在实数域上将多项式 32( ) 2 2f x x x x 分解为不可约因式的乘积 。 21. 当 ba, 满足条件 时，多项式 baxxxf 3)( 3

33、 才能有重因式。 22. 设 ()px 是多项式 ()fx的一个 ( 1)kk 重因式，那么 ()px 是 ()fx的导数的一个 。 23. 多项式 ()fx没有重因式的充要条件是 互素。 24 设 1 2 3, 为 方 程 32 0x px qx r 的根，其中 0r ，则 1 2 2 3 3 1 。 25 设 1 2 3, 为 方 程 32 0x px qx r 的根，其中 0r ，则 1 1 11 2 2 3 3 1 = 。 26 设 1 2 3, 为 方 程 32 0x px qx r 的根，其中 0r ，则 2 2 21 2 3 。 27 设 1 2 3, 为 方 程 32 0x px qx r 的根，其中 0r ，则 1 1 11 2 3 = 。 28. 按自然数从小到大为标准次序，排列 2431 的 反序数 为 。 29按自然数从小到大为标准次序，排列 4132 的 反序数 为 。 30 排列 451362 的反序数为 。 31 排列 542163的反序数为 。 32 排列 523146879的反序数为 。