1、有限元 法理论及应用大作业 1、 试简要阐述有限元 理论 分析的基本步骤主要有哪些？ 答：有限元分析的主要步骤主要有： （ 1）结构的离散化，即单元的划分； （ 2）单元分析，包括选择位移模式、根据几何方程建立应变与位移的关系、根据虚功原理 建立节点力与节点位移的关系，最后得到单元刚度方程； （ 3）等效节点载荷计算； （ 4）整体分析，建立整体刚度方程； （ 5）引入约束，求解整体平衡方程。 2、有限元网格划分的基本原则是什么？指出图示网格划分中不合理的地方。 题 2 图 答： 一般选用三角形或四边形单元，在满足一定 精度情况，尽可能少一些单元。 有限元划分网格的基本原则 : 1. 拓扑正确
2、性原则。即单元间是靠单元顶点、或单元边、或单元面连接 2. 几何保持原则。即网络划分后，单元的集合为原结构近似 3. 特性一致 原则。即 材料相同，厚度相同 4. 单元形状优良原则。单元边、角相差尽可能小 5. 密度可控原则。即在保证一定精度的前提下，网格尽可能的稀疏一些。 （ a） (b)中节点没有有效的连接，且（ b）中单元边差相差很大。 （ c）中没有考虑对称性，单元边差很大。 3、 分别指出图示平面结构划分为什么单元？有多少个节点？多少个自由度？ 题 3 图 答：（ a）划 分为杆单元， 8个节点， 12个自由度。 （ b）划分为平面梁单元， 8个节点， 15 个自由度。 （ c）平面
3、四节点四边形单元， 8个节点， 13个自由度。 （ d）平面三角形单元， 29 个节点， 38 个自由度。 4、 什么是 等参数单元？ 。 答：如果坐标变换和位移插值采用相同的节点，并且单元的形状变换函数与位移插值的形函数一样，则称这种变换为等参变换，这样的单元称为等参单元。 5、 在平面三节点三角形单元中，能否选取如下的位移模式，为什么？ (1). 2654 3221),(),(yxyxvyxyxu (2). 2652423221),(),(yxyxyxvyxyxyxu 答：（ 1）不能，因为位移函数要满足几何各向同性，即单元的位移分布不应与人为选取的 坐标方位有关，即位移函数中的坐标 x,
4、y 应该是能够互换的。所以位移多项式应按巴斯卡三角形来选择。 （ 2）不能，位移函数应该包括常数项和一次项。 6、 设位移为线性变化，将图示各单元边上的载荷等效到相应的节点上去。 （ 1）集中力 F 平行于 x轴， e 点到 i、 j 点的距离分别为 ie， je； （ 2）边长为 ij 的 ij 边上有线性分布载荷，最大值为 q。 题 6 图 答： （ 1）0 jeieieja lllFF 0 jeiejeia lllFF （ 2） i,j 两节点受到的力分别为ijql61，ijql31c o s61s in61ijiji qlqlP c o s31s in31ijijj qlqlP 7、图
5、示三角形 ijm 为等边三角形单元，边长为 ，单位面积材料密度位，集中力 F 垂直作用于 mj 边的中点，集度为 q 的均布载荷垂直作用于 im 边。写出三角形单元的节 点载荷向量。 题 7 图 题 8 图 答： 将 q 移置到 m,i 节点：qlqlPm41431 qlqlPi41431 将 F 移置到 m,j 两节点：FFPm41432 FFPj41432 将重力移置到 i,j,m点：3323 1230jim PPlP 叠加后得：212341414343lFqlFqlP m21234143lqlqlPi21234143lFFP j8、 如图所示为线性位移函数的三角形单元，若已知 i、 j
6、两个节点的位移为零，试证明 ij 边上任意一点的位移都为零。 证：设 ij边上任一点坐标为 x,y，则其位移为： i、 j 点位移为 0 所以 ui,vi,uj,vj均为 0 要证 =0，只需证 Nm=0 Nm=(am+bm x +cmy)/2A ， am=xiyj-xjyi ， bm=yi-yj ， cm=xj-xi Nm= xiyj-xjyi+(yi-yj)x+(xj-xi)y/2A=xyi-yxi/2A 该点为 ij 边上任一点 yi/xi=y/x Nm = 0 9、已知图示的三角形单元，其 jm边和 mi 边边长均为 a，单元厚度为 t，弹性模mmjjiimjimjivuvuvuNNN
7、NNN000000 量为 E，泊松比为 0，试求： （ 1） 行函数矩阵 N； （ 2）应变矩阵 B； （ 3）应力矩阵 S； （ 4） 单元刚度矩阵 K。 解：令 m点为坐标原点，则 m 点坐标为（ 0,0）， j点坐标为（ 0,a）， i点坐标为（ a,0） 0a jmmji yxyx ， 0 miimj yxyxa ， 2ayxyxa ijjim ayyb mji ， 0 imj yyb ， ayyb jim ; 0 jmi xxc ， axxc mij ， axxc ijm . mjiycxbaAN iiii ,),(21 xaaxaN i 1*12 , yaayaN j 1*12 ,
8、 )(1)(*1 22 yxaaayaxaaN m y-x-a0y0x0 0y-x-a0y0x1N0N0N0 0N0N0N mji mji aN 1101010101001000011000000000010000002 1 2 aaaaaaaaaabccbbccbbccbBmmmmjjjjiiii1000200022210001011 2EED 120102020100100002211010101010010000111000200022 aEaEBDS 2110101010100100001110002000221101010101001000011 2ataEatBDBKTTe 312
9、1302021101100201101101101100200024Et题 9 图 题 10 图 10、如图所示，设 桁架杆的长度为 ，截面积为 A，材料弹性 模量为 E，单元的位移函数为 u(x)=1 2x， 导出其单元刚度矩阵。 答： 1 点： x=0 u=u1 2点： x=l u=u2 luu21211 luluu 12211 lxNlxulxulxxluluuu 2121121;1N 1令 21212211uuNNuNuNudxdudx uduu eeeBlllxlxdxd 111 eeeSlElEBEEK e= VBTDBdv D -为弹性矩阵 (对于一维问题 ,为 E) 22220
10、e 1111 K lEAlEAlEAlEAA d xllElll11、 如图为一悬臂梁 ，其厚度为 1m，长度为 2 m，高度为 1 m，弹性模量为 E，泊松比为 1/3，在自由端面上作用有均匀载荷， 合力为 F， 若用图示两个三角形单元进行有限元分析，试计算各个节点的位移；若将悬臂梁离散为 四个 平面 三角 形 单元，令 0，试求整体刚度矩阵。 解：离散为两个单元求各节点位移 ,假设 t 很小 ,则该问题为平面应力问题： 一、单元编号、节点坐标 单元号 节点号 i 1 2 j 2 3 m 4 4 各节点的坐标为： 1(0,0),2(2,0),3(2,1),4(0,1) 面积 A=1; 二、求
11、单元刚度矩阵 （）对单元 (i=1,j=2,m=4) 由 ai=xjym-xmyj bi=yi-ym ci=xm-xj 得 b1= -1 c1=-2 b2=1 c2=0 b4=0 c4=2 由 srsrsrsrsrsrsrsrrs bbcccbbcbccbccbbAEtk2121 2121)1(4 2 r,s = i,j,m 令329)1(4 2 EtAEtP 得 : 3734 3437 11 Pk 3132 321 12 Pk 4323234 14 Pk 3132 321 21 Pk 3100122 Pk032320 24 Pk 4323234 41 Pk 032320 42 Pk 4003
12、4 44 Pk 4003243203432032340323103132320013214323132373432343213437444241242221141211Pkkkkkkkkk（）、对单元 (i=2,j=3,m=4) 同理求得： b2 = 0 c2 = -2 b3 = 1 c3 = 2 b4 = -1 c4=0 求得：40034 22 Pk 4323234 23 Pk 032320 24 Pk 31334 3437 33 Pk 3132 321 34 Pk 3100144 Pk可得单元的单元刚度矩阵： 3103132032013213203132313344323213437323
13、03243240320323403444434234333223232224kkkkkkkkkPk三、整理刚度矩阵 将两个单元刚度矩阵的子矩阵对号入座，组成整体刚度矩阵 31303132034432037321340323431323133443200321343732340003443231303132340323403732143200313237343234003213437 PK四、单元等效节点力和整体等效节点载荷 单元不受分布力作用 R = 0 单元有分布力 F/t 作用，利用 tdsqNR l T dsFNtd stFN L TL T 0 dsFLLjL LLLL Tmimji 0
14、000 000 ij 边上 Lm = 0 dsFLjL LLR LTiji 00000 0000 dsLLFR L Tji 0000 由 ldsLLL ji )!1(! 得 2121 dsLdsL L iL i TFR 0010102 将两个单元的等效节点力以对号入座的方式迭加，再加上节点 1 和 4 上的未知集中力，得整体等效节点载荷为 TYXFFYXR 2020 411 4 五、求解整体平衡方程 整体平衡方程： 44114433221120201301204122072340241213442002347240004122130124024072312200127424002347163YXFFYXvuvuvuvuEt约束边界条件为： u1 = v1 = u4 = v4 = 0 将这四个零位移的行划去，剩下方程为：
