1、1勾股定理中的数学思想数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使人领悟到数学的真谛，学会数学地思考和解决问题，并对人们学习和应用数学知识解决问题的思维活动起着指导作用。灵活运用数学思想方法解决问题，往往可以化难为易、化腐朽为神奇，取得事半功倍的效果。下面以勾股定理中渗透的数学思想为例说明。 一、分类思想 例 1 (2013 年贵州省黔西南州中考题)一直角三角形的两边长分别为3 和 4，则第三边的长为( ) A5 B C D5 或 分析 边长为 4 的边可能是直角边，也可能是斜边，因此需要分类讨论。 解 当边长为 4 的边是直角边时，由勾股定理，
2、得第三边的长为=5； 当边长为 4 的边是斜边时，由勾股定理，得第三边的长为=。 所以第三边的长为 5 或，故答案选 D。 点评本题容易受“勾三股四弦五”的影响，直接把边长为 4 的边当作直角边，从而误选 A，这样就犯了考虑问题不全面的错误了。 二、方程思想 2例 2 (2013 年山东省济南市中考题)如图 1，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆 8 m 处，发现此时绳子末端距离地面 2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( ) A12 m B13 m C16 m D17 m 分析 观察图形，当绳子末端拉到距离旗杆 8 m 处时，可过绳子
3、末端向旗杆作垂线，这样可以得到一个直角三角形，然后设旗杆的高度为 x，进而运用勾股定理列方程求解。 解 如图 2，设旗杆的高度为 x m，则 AC=AD=x，AB=x-2，BC=8。 在 RtABC 中，由勾股定理，得（x-2）2+82=x2。 解得 x=17，即旗杆的高度为 17 m，故答案选 D。 三、整体思想 例 3 （2013 年江苏省扬州市中考题）矩形的两邻边长的差为 2，对角线长为 4，则矩形的面积为_。 分析 设矩形的两邻边长分别为 a、b（ab） ，则 a-b=2。又由勾股定理，得 a2+b2=16。而矩形的面积等于 ab，关键要设法将两个等式转化为含有 ab 的式子。 解 设
4、矩形的两邻边长分别为 a，b（ab） ，则 a-b=2。 由勾股定理，得 a2+b2=16。 由（a-b）2=a2+b2-2ab，得 22=16-2ab，所以 ab=6，即矩形的面积为 6。 点评 本题在求矩形的面积时，分别将 a-b，a2+b2，ab 看成一个整3体，体现了数学中的整体思想。 四、归纳思想 例 4 （2013 年湖南省张家界市中考题）如图 3，OP=1，过 P 作PP1OP，得 OP1=；再过 P1 作 P1P2OP1 且 P1P2=1，得 OP2=；又过P2 作 P2P3OP2 且 P2P3=1，得 OP3=2；依此法继续作下去，得OP2012=_。 分析 首先根据勾股定理
5、求出 OP4，再由 OP1，OP2，OP3 的长度找到规律，进而求出 OP2012 的长。 解 由勾股定理，得 OP4=。 由 OP1=，OP2=，OP3=2=，不难推出 OPn=。 所以 OP2012=。 五、数形结合思想 例 5 （2013 年湖南省张家界市中考题）如图 4，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为（10，0） 、 （0，4） ，点 D 是 OA的中点，点 P 在 BC 上运动，当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，点 P的坐标为_。 分析 易知 OD=5，要使ODP 为腰长为 5 的等腰三角形，可以点 O 为圆心，OD 为半径作圆；也可以点 D
6、为圆心，OD 为半径作圆。 解 由 C（10，0） ，可知 OD=5。 （1）以点 O 为圆心，OD 为半径作圆交边 BC 于点 P1，如图 5。 由勾股定理，得 P1C=3。所以 P1（3，4） 。 （2）以点 D 为圆心，OD 为半径作圆交边 BC 于点 P2、P3，如图 6 所4示。 分别过点 P2、P3 作 x 轴的垂线，垂足分别为 E、F。 由勾股定理易得 DE=DF=3。 所以 OE=OD-DE=5-3=2，OF=OD+DF=5+3=8。 所以 P2（2，4） ，P3（8，4） 。 综合（1）和（2） ，点 P 的坐标为（3，4）或（2，4）或（8，4） 。 点评 本例在渗透数形结合思想的同时，又考查了分类讨论思想。
