1、 第 1 页 共 19 页 绝密启封并使用完毕前 试题类型： A 2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第卷 (选择题 )和第卷 (非选择题 )两部分 .第卷 1 至 3 页，第卷 3 至 5 页 . 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置 . 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效 . 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回 . 第卷 一 . 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . （ 1）设集合 2 | 4 3 0A x x x ， | 2 3 0B x x
2、 ，则 AB （ A） 3( 3, )2 （ B） 3( 3, )2 （ C） 3(1, )2 （ D） 3( ,3)2 （ 2） 设 (1 i) 1 ixy ，其中 x， y 是实数，则 i=xy （ A） 1（ B） 2 （ C） 3 （ D） 2 （ 3）已知等差数列 na 前 9 项的和为 27， 10=8a ，则 100=a （ A） 100（ B） 99（ C） 98（ D） 97 （ 4）某公司的班车在 7:00， 8:00， 8:30 发车， 学 .科网 小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过 10 分钟的概率是
3、（ A） （ B） （ C） （ D） （ 5）已知方程 =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是 （ A） (1,3) （ B） (1, 3) （ C） (0,3) （ D） (0, 3) （ 6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 .若该几何体的体积是 ，则它的表面积是 （ A） 17（ B） 18（ C） 20（ D） 28 （ 7）函数 y=2x2e|x|在 2,2的图像大致为 （ A） （ B） （ C） （ D） （ 8）若 1 0 1a b c ， ，则 （ A） ccab （ B） ccab ba （ C） log
4、 logbaa c b c （ D） log logabcc 第 2 页 共 19 页 （ 9）执行右面的程序图，如果输入的 0 1 1x y n ， ， ，则输出 x， y 的值满足 （ A） 2yx （ B） 3yx （ C） 4yx （ D） 5yx (10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、 B 两点，交 C 的标准线于 D、 E 两点 .已知 |AB|=42， |DE|=25，则 C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 (11)平面 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A， a/平面 CB1D1， a 平面 ABCD=m， a 平面
5、 ABA1B1=n，则 m、 n 所成角的正弦值为 (A) 32 (B) 22 (C) 33 (D)13 12.已知函数 ( ) s i n ( ) ( 0 ) ,24f x x + x ，为 ()fx 的零点， 4x 为 ()y f x 图像的对称轴，且 ()fx在 518 36，单调，则 的最大值为 （ A） 11 （ B） 9 （ C） 7 （ D） 5 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 .第 (13)题 第 (21)题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 (22)题 第 (24)题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分 (13)设向量
6、 a=(m， 1)， b=(1， 2)，且 |a+b|2=|a|2+|b|2，则 m=. (14) 5(2 )xx 的展开式中， x3 的系数是 .（用数字填写答案） （ 15）设等比数列 满足 a1+a3=10， a2+a4=5，则 a1a2 an 的最大值为。 （ 16）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料 。生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg，乙材料 1kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg，乙材料 0.3kg，用 3 个工时，生产一件产品 A的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元。该企业现有甲材料 150kg
7、，乙材料 90kg，则在不超过600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为元。 三 .解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . （ 17）（本题满分为 12 分） 第 3 页 共 19 页 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别别为 a， b， c，已知 2 c o s ( c o s c o s ) .C a B + b A c （ I）求 C； （ II）若 7,c ABC 的面积为 332，求 ABC 的周长 （ 18）（本题满分为 12 分） 如图，在已 A， B， C， D， E， F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形， AF=2FD，
8、90AFD，且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60 （ I）证明平面 ABEF EFDC； （ II）求二面角 E-BC-A 的余弦值 （ 19）（本小题满分 12 分） 某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后 即被淘汰 .机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元 .在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元 .现需决策在购买机器时应同时购买几个易损 零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图： 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生
9、的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数， n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数 . （ I）求 X 的分布列； （ II）若要求 ( ) 0.5P X n，确定 n 的最小值； （ III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 19n 与 20n 之中选其一，应选用哪个？ 20. （本小题满分 12 分） 设圆 22 2 1 5 0x y x 的圆心为 A，直线 l 过点 B（ 1,0）且与 x 轴不重合， l 交圆 A 于 C， D 两点，过 B作 AC 的平行线交 AD 于点 E. （ I）证明 EA EB 为定值，并写出点 E 的轨迹方程； 第 4
10、页 共 19 页 （ II）设点 E 的轨迹为曲线 C1，直线 l 交 C1 于 M,N 两点， 学科 &网 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q两点，求四边形 MPNQ 面积的取值范围 . （ 21）（本小题满分 12 分） 已知函数 有两个零点 . (I)求 a 的取值范围； (II)设 x1， x2 是 的两个零点，证明： +x22. 请考生在 22、 23、 24 题中任选一题作答 ,如果多做 ,则按所做的第一题计分 ,做答时请 写清题号 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 如图， OAB 是等腰三角形， AOB=120 .以 O 为圆心， OA
11、 为半径作圆 . (I)证明：直线 AB 与 O 相切； (II)点 C,D 在 O 上，且 A,B,C,D 四点共圆，证明： AB CD. （ 23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ t 为参数， a 0） 。在以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： =4cos. （ I） 说明 C1 是哪种曲线， 学 .科 .网 并将 C1 的方程化为极坐标方程； （ II）直线 C3 的极坐标方程为 =0，其中 0 满足 tan0=2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a。 （ 24）（
12、本小题满分 10 分），选修 45：不等式选讲 已知函数 f(x)= x+1 - 2x-3 . （ I）在答题卡第（ 24）题图中画出 y= f(x)的图像； （ II）求不等式 f(x) 1 的解集。 2016 年新课标 I 高考数学（理科）答案与解析 第 5 页 共 19 页 1 2 4 3 0 1 3A x x x x x ， 32 3 02B x x x x 故 3 32A B x x 故选 D 2 由 11i x yi 可知： 1x xi yi ，故 1xxy，解得： 11xy 所以， 22 2x y i x y 故选 B 3 由等差数列性质可知： 19 5959 92 9 2 72
13、2aa aSa ，故 5 3a ， 而 10 8a ，因此公差 10 5 110 5aad 100 10 90 98a a d 故选 C 4 如图所示，画出时间轴： 8:208:107:507:40 8:308:007:30BA C D小明到达的时间会随机的落在图中线段 AB 中，而当他的到达时间落在线段 AC 或 DB 时，才能保证他等车的时间不超过 10 分钟 根据几何概型，所求概率 10 10 140 2P 故选 B 5 2213xym n m n表示双曲线，则 2230m n m n 223m n m 由双曲线性质知： 2 2 2 234c m n m n m ，其中 c 是半焦距 焦
14、距 2 2 2 4cm ， 解得 1m 13n 故选 A 第 6 页 共 19 页 6 原 立体图如图所示 ： 是一个球被切掉左上角的 18后的三视图 表面积是 78的球面面积和三个扇形面积之和 2271= 4 2 + 3 2 = 1 784S 故选 A 7 222 8 8 2 .8 0fe ， 排除 A 222 8 8 2 .7 1fe ， 排除 B 0x 时 ， 22 xf x x e 4 xf x x e ， 当 10,4x 时 ， 01 404f x e 因此 fx在 10,4单调递减 ， 排除 C 故选 D 8 对 A： 由于 01c ，函数 cyx 在 R 上单调递增 ， 因此 1
15、 cca b a b ， A 错误 对 B： 由于 1 1 0c ，函数 1cyx 在 1, 上单调递减 ， 111 c c c ca b a b ba ab ， B 错误 对 C： 要比较 logbac和 logabc，只需比较 lnlnacb和 lnlnbca，只需比较 lnlncbb和 lnlncaa，只需 lnbb和 lnaa 构造函数 ln 1f x x x x，则 ln 1 1 0f x x ， fx在 1, 上单调递增，因此第 7 页 共 19 页 110 l n l n 0 l n l nf a f b a a b b a a b b 又由 01c 得 ln 0c ， ln l
16、n lo g lo gln ln abcc b c a ca a b b ， C 正确 对 D： 要比较 logac 和 logbc ，只需比较 lnlnca和 lnlncb而函数 lnyx 在 1, 上单调递增，故 111 l n l n 0l n l na b a b ab 又由 01c 得 ln 0c ， ln ln lo g lo gln ln abcc ccab ， D 错误 故选 C 9 如下表： 循环节运行次数 12nx x x y y ny 判断 2236xy 是否输出 1n n n 运行前 0 1 / / 1 第一次 0 1 否 否 2 第二次 122 否 否 3 第三次 3
17、2 6 是 是 输出 32x， 6y ，满足 4yx 故选 C 10 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理 设抛物线为 2 2y px 0p ，设圆的方程为 2 2 2x y r，题目条件翻译如图： 设 0,2 2Ax， ,52pD， 点 0,2 2Ax在抛物线 2 2y px 上， 082px 点 ,52pD在圆 2 2 2x y r上， 2 252p r F 第 8 页 共 19 页 点 0,2 2Ax在圆 2 2 2x y r上， 220 8xr 联立解得： 4p ，焦点到准线的距离为 4p 故选 B 11 如图所示： AA 1BB 1D CC 1D1 11CB D 平 面 ，若设
18、平面 11CBD 平面 1ABCD m ，则 1mm 又平面 ABCD 平面 1 1 1 1ABCD ，结合 平面 11BDC 平面 1 1 1 1 1 1A B C D B D 1 1 1BD m ，故 11BD m 同理可得： 1CD n 故 m 、 n 的所成角的大小与 11BD 、 1CD 所成角的大小相等，即 11CDB 的大小 而 1 1 1 1B C B D CD（均为面对交线），因此11 3CDB ，即11 3sin 2CD B 故选 A 12 由题意知 ： 12 + 4 + + 42kk 则 21k，其中 kZ ()fx 在 5,18 36单调， 5 , 1 23 6 1 8
19、 1 2 2T 接下来用排除法 若 11,4 ，此时 ( ) sin 114f x x， ()fx 在 3,18 44递增，在 3 5,44 36递减，不满足 ()fx 在 5,18 36单调 第 9 页 共 19 页 若 9,4，此时 ( ) sin 94f x x，满足 ()fx 在 5,18 36单调递减 故 选 B 13 由已知得： 1,3a b m 2 2 2 2 2 2 2 2 21 3 1 1 2a b a b m m ，解得 2m 14 设展开式的第 1k 项为 1kT ， 0,1,2,3,4,5k 55 5 21 5 5C 2 C 2 kkkk k kkT x x x 当 5
20、32k时， 4k ，即 454 5 4 3255C 2 10T x x 故答案为 10 15由于 na 是等比数列，设 11 nna aq ，其中 1a 是首项， q 是公比 213 11324 1110 105 5aa a a qaa a q a q ，解得： 1 812aq 故 412nna， 21 1 7 4 93 2 . . . 4 72 2 2 412 1 1 1. 2 2 2n n n nna a a 当 3n 或 4 时， 21 7 492 2 4n取到最小值 6 ，此时 21 7 492 2 412n取到最大值 62 所以 12. na a a 的 最大值为 64 16 设生产
21、 A 产品 x 件， B 产品 y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为 *1.5 0.5 1500.3 905 3 60000xyxyxyxyxNyN 目标函数 2100 900z x y 第 10 页 共 19 页 作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为 (60,100) (0,200) (0,0) (90,0) 在 (60,100) 处取得 最大值， 2 1 0 0 6 0 9 0 0 1 0 0 2 1 6 0 0 0z 17 2 c o s c o s c o sC a B b A c 由正弦定理得： 2 c o s s i n c o s s i n c o s s i nC A B B A C 2 c o s sin sinC A B C A B C ， 0 A B C 、 、 ， sin sin 0A B C 2cos 1C ， 1cos2C 0 C ， 3C 由余弦定理得： 2 2 2 2 c osc a b ab C 22 1722a b ab 2 37a b ab 1 3 3 3s in2 4 2S a b C a b 6ab 2 18 7ab 5ab ABC 周长为 57abc
