1、1剖析高考万有引力定律(贵州省福泉中学贵州 福泉 550509) 人造卫星和航天技术属于现代科技发展的重要领域，特别是近几年来，又一轮的太空探险热的再一次升温和我国“神舟”号飞船的成功发射，以及我国探月计划的进一步实施，使得万有引力定律的知识成为考查热点.下面就“万有引力定律”易错点举例分析. 1 重力加速度与向心加速度 重力加速度与向心加速度是两个完全不同的概念，对于在地球表面上相对地球静止的物体来说，两者截然不同；而在近地或者在高空中绕地飞行的物体来说，两者等效相等. 例 1(上海)一卫星绕某行星作匀速圆周运动，已知行星表面的重力加速度为 g 行，行星的质量 M 与卫星的质量 m 之比 M
2、/m=81，行星的半径 R行与卫星的半径 R 卫之比 R 行/R 卫=3.6，行星与卫星之间的距离 r 与行星的半径 R 行之比 r/R 行=60.设卫星表面的重力加速度为 g 卫，则在卫2星表面有： GMmr2=mg 卫 经过计算得出：卫星表面的重力加速度为行星表面的重力加速度的三千六百分之一.上述结果是否正确？若正确，列式证明；若错误，求出正确结果. 解析所得的结果是错误的. 式中的 g 卫并不是卫星表面的重力加速度，而是卫星绕行星作匀速圆周运动的向心加速度. 正确解法是： 卫星表面 GmR2 卫=g 卫(1) 行星表面 GMR2 行=g 行(2) (R 行 R 卫)2mM=g 卫 g 知
3、, 所以 g 卫=0.16g 行. 点评这是一道物理推理评价题.所谓推理是指根据已知的知识和所给物理事实、条件，对物理问题进行逻辑推理和论证，得出正确的结论或做出正确的判断.准确理解物理公式中各量的物理意义是正确运用的关键.在题述的公式 GMmr2=mg 卫中，M 应为卫星的质量，而题给的已知条件是 m表示卫星的质量，因而导致错误结果. 2 自转周期与公转周期 公转周期是旋转天体绕中心天体旋转一周所需时间，而自转周期是天体绕自身轴线旋转一周的时间，而且天体的同步卫星的公转周期等于3天体本身的自转周期.这两个周期一般情况下并不相等. 例 2(四川)1990 年 4 月 25 日，科学家将哈勃天文
4、望远镜送上距地球表面约 600 km 的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展.假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行.已知地球半径为 6.4106 m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为 3.6107 m 这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期，以下数据中最接近其运动周期的是 A.0.6 小时 B.1.6 小时 C.4.0 小时 D.24 小时 解析本题涉及三个周期：哈勃望远镜绕地球运行的周期(公转周期)、地球同步卫星运行周期(公转周期)和地球自转周期，其中地球同步卫星运行周期和地球自转周期相等，抓住这一隐含条件即可求解. 设哈勃望远镜绕地球运行的周期为 T1，轨道半径为 r1，地
5、球同步卫星绕地球运行的周期为 T2，轨道半径为 r2，由开普勒第三定律可得T21T22=r31r32, 则 T1=r31r32?T2=(R+h1)3(R+h2)3?T2 =(6.4106+6105)3(6.4106+3.6107)3?24 小时 1.6 小时. 答案 B 点评(1)解题中要注意公转周期和自转周期的区别和联系. (2)在一些天体运行方面的问题中，常存在一些隐含条件，应加以利用，如在地球表面物体受到地球的引力近似等于重力，同步卫星的运行周期等于地球自转周期 24 h,地球公转周期为 365 天；月球绕地球运动的4周期为 27 天等. 3 两种模型探索 例 3 在地月系统中，若忽略其
6、它天体的影响，可将地球和月球看成双星系统,即地球和月球在彼此引力作用下做匀速圆周运动.科学探测表明,月球上蕴藏着极其丰富的矿物质,设想人类开发月球,月球上的矿藏被不断地搬运到地球上.假设经过长时间开采后，地球和月球仍可以看作均匀球体，地球和月球之间的距离保持不变，则 A.地球与月球之间的引力增大 B.地球与月球之间的引力减小 C.月球运动的周期增大 D.月球运动的周期减小 答案 B. 解析设地球与月球的质量分别为 M、m，地球和月球之间的距离为L，由万有引力定律可得： 地球与月球之间的引力 F=GMmL2. 由题意知，L 不变，M 在增大 m 在减小，由数学知识易知，Mm 减小，F 减小，故选
7、项 B 正确. 将地球和月球看成双星系统时，地球和月球做圆周运动的周期相等设为 T，向心力均由二者之间的万有引力提供，则 GMmr2=M(2T)2rM(1) GMmr2=m(2T)2rm(2) 又 rM+rm=L(3) 5联立(1)、(2)、(3)解得 T=42L3G(M+m)(4) 由(4)式可知，地球和月球运动的周期不变，选项 C、D 均错. 点评本题学生易犯的错误是混淆两种模型：一是月球绕地心做圆周运动；二是将地球和月球看成双星系统，月球绕两者轨道中心做圆周运动.若按模型一，可推出月球运动的周期 T=42r3GM，所以很多学生错选D. 例 4 在航天领域中，悬绳卫星是一种新兴技术，它要求
8、两颗卫星都在圆周轨道上运动，且两颗卫星与地心连线始终在一条直线上，如图 1所示.已知悬绳的长度为 L，其重力不计，卫星 A、B 的线速度分别为v1、v2，则下列说法正确的是 A.两颗卫星的角速度相同 B.两颗卫星的线速度满足 v1v2 C.两颗卫星之间的悬绳一定受到拉力的作用 D.假设在 B 卫星轨道上还有一颗卫星 C(图中没有画出)，它们在同一平面内同向运动，运动一段时间后 B、C 可能相碰 答案 A、C、D. 解析因为两颗卫星与地心连线始终在一条直线上，所以两颗卫星的角速度相同，选项 A 正确； 卫星 B 的轨道半径大于卫星 A 的轨道半径，由公式 v=r 可知：两颗卫星的线速度满足 v2v1.选项 B 不正确； 两卫星之间若无悬绳，则 v1v2，可见悬绳拉力对 B 是动力，对 A 是阻力，选项 C 正确； 6假设在 B 卫星轨道上还有一颗卫星 C，则卫星 C 的线速度一定小于卫星 B 的线速度，运动一段时间后 B 追上 C 与 C 相碰，选项 D 正确. 点评本题中 A、B 两卫星为连接体模型，学生易将该模型与两卫星各自独立饶同一中心天体运动模型混淆，而错选 B 漏选 D(对于后一种模型，同一轨道上两卫星不可能相碰).
