1、1一道高考题引发的思考(湖南省宁乡九中湖南 长沙 410600) 2012 年高考湖南卷理综第 21 题是一道信息给予题，他给了一个十分重要的信息：已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.对这个信息的理解直接关系到本题的求解.这个结论十分重要，它经常出现在各高校的自主招生物理考试中，更是高中物理奥赛的常见知识点之一，这个知识点的应用，笔者在教学中发现了两个有趣的“相同”. 例 1(2012 年高考湖南理综卷第 21 题)设地球是一半径为 R，质量分布均匀的球体，一矿井深度是 d ,已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，矿井底部和地面处的重力加速度大小之比是 A.1-dRB.1+dRC
2、.(R-dR)2D.(RR-d)2 在做例 1 前我们先来证明一个结论. 例 2 试证明质量均匀，厚度均匀的球壳内一质点，受到球壳的万有引力为零. 2证明设球壳单位面积质量为 ，壳内 P 点处有一质点 m，如图 1(a)所示，球壳上取一小面元 S1，距 P 为 r1，过此面元边界与 P 连接并延长在球壳上又取下对应面元 S2，距 P 为 r2，可得 S1 与 S2 对质点m 的总万有引力 Fi 为 Fi=F1-F2, Fi=GmS1r21-GmS2r22=Gm(S1r21-S2r22), 从图中可得 S1r21=S2r22, 因为 S1 与 S2 很小，所以 S1=S1cos, S2=S2co
3、s, 即 S1r21=S2r22), 这样可得 Fi=0, F=i=1Fi=0. 下面我们就可以对例 1 进行分析. 分析与解如图 2 示，设地球匀质，密度是 ，以地心为球心，地球半径是 R，当物体位于距地心为 R-d 的位置 P 时，由于半径为 R-d 的球以外的部分对物体的引力为零，所以物体受到的引力等于以半径为 R-d 的球体对物体的引力. FP=GMPm(R-d)2=G43(R-d)3m(R-d)2 =43Gm(R-d), 则该处重力加速度为 g=FPm=43G(R-d), 3而物体在地球表面时 F=GMmR2=G43R3mR2=43GRm. 地表的重力加速度是 g=43GR, 则有
4、gg=R-dR=1-dR. 例 3 假设沿地球直径开凿一隧道，隧道内光滑且真空，把地球看做一密度均匀的球体，并设地球半径是 R，地表重力加速度是 g，不考虑地球自转，(1)证明：一小球从地表落入此隧道后做简谐运动;(2)求此简谐运动的周期. 分析与解上面我们已经证明：质量均匀厚度均匀的球壳内一质点受到球壳的万有引力为零则在距地球球心 (R)处质点只受半径为 的球内质量的万有引力 F=GMm=G433m2=43Gm=GMmR3 . 取地心为坐标原点 O，当小球的位置矢量为 时，所受的引力大小为 因此，在 t 时间内弹力是变力. 因为物块初速为零，由动能定理，得 ?x=mv22, 但弹力与形变量成
5、正比（在弹性限度内）则可用=kx/2=5 (N)代替变化的弹力,从而 v=2?xm=250.100.10=3.16 (m/s) 4由动量定理得 t 内弹力对 m 的冲量为 I=F?t=mv-0=0.103.16 N?s =0.32 N?s. 注意：此处若用 I=F?t 计算得 I=50.05=0.25 N?s, 就错了，因为=5 N 是对位移 x 求出的平均力，而不是对时间 t求出的平均力.F=-GMmR3=-mgR, 可见小球在隧道中受到大小与位移成正比而方向相反的回复力作用，所使小球在隧道中做简谐运动，回复力常数 K=mgR,振幅 A=R,圆频率=g/R. 由于小球的运动方式为简谐运动，则
6、其周期是 T=2m/k=2R/g. 例 4 在地球表面的圆轨道上的人造卫星绕地球运动(近地卫星),已知，地球半径是 R，地表的重力加速是 g,求卫星的运动周期. 分析与解近地卫星由万有引力提供向心力，并且环绕半径近似等于地球半径 R, G=MmR2=mR(2T)2, 和黄金代换 GM=gR2, 两式可得 T=2R/g. 我们对比一下例 3 和例 4 的计算结果，它们的运动周期都是T=2R/g (R 地球半径,g 地表重力加速度) 问题一上面的结果是碰巧相等？还是有什么内在的联系呢? 5这个有趣的巧合并非偶然，近地卫星的匀速圆周运动与小球沿过地球直径的隧道的简谐运动有相关性. 请看一看下面的例
7、5 就会豁然而解. 例 5 质点以角速度 沿半径为 R 的圆轨道做匀速圆周运动.试证明：质点在某直径上的运动为简谐运动. 分析与解如图 3 示将质量为 m 的质点 P 的运动正交分解为沿水平(x轴)直径与竖直(y 轴)直径的两个分运动，质点在水平直径上的投影 P的运动即 P 的 x 方向分运动.显然，P 沿圆周运动一 个周期，P沿 x 轴向直径以 O 为中心往复运动完成一个全振动.我们将质点做匀速圆周运动的合外力(向心力 Fn)分解为 Fx 与 Fy 两个分力，Fx 即是 P作振动的回复力，它的方向总是指向平衡位置 O 而与 P对 O 的位移 x 相反.以位移方向为正，容易得到 Fx=-m2R
8、?xR=-m2?x, m, 均确定，我们令 k=m2,有 Fx=-k?x，可见，P的运动是简谐运动. 从上面的讨论中可知，一个匀速圆周运动可以正交分解成两个简谐运动，每个简谐运动的振幅 A=R，周期 T=2=2m/k，圆周率 =k/m.若 P 点初始位置坐标为(x0,y0)，初相位 tan?=y0/x0,则在图 3 坐标中，两个分运动的振动方程 x=acos(t+?); y=Asin(t+?)=Acos(t+?-/2), 速度公式 vx=-Asin(t+?); 6vy=-Asin(t+?-/2), 加速度公式 ax=-2Acos(t+?); ay=-2Acos(t+?0-/2), 这是两个相位
9、差为 /2 的完全相同的谐振.反之，任何一个简谐运动，都可以回归于某一个匀速圆周运动，这个圆叫做简谐运动的参考圆. 由上述可知，只要例 3 中小球在隧道中做简谐运动的圆频率 =g/R和例 4 中.近地卫星环绕地球做匀速圆周运动的角速度 =GM/R3 相等则可得 T 相等，而事实却是完全相等.如下式. 由 GM=gR2 黄金代换带入有 =GMR3=gR2R3=gR. 相应的我们则可以把近地卫星绕地球运动看做小球在过地球球心的隧道内的简谐运动的参考圆.则问题释然而解. 问题二例 3 中如果开凿的隧道并不通过地球心.那么，小球在各不同的隧道内的运动还是简谐运动吗?如果是简谐运动周期又是多少呢？与例3
10、 中的 T=2R/g 有什么联系呢? 例 6 如图 4 设想在地球表面的 A，B 两地之间开凿一直通隧道，在 A放置一小球，小球在地球引力做用下从静止开始在隧道内运动，忽略一切摩擦阻力.试求小球的最大速度，以及小球从 A 到 B 所需的时间.已知地球半径为 R，地球表面的重力加速度为 g，A 和 B 之间的直线距离为L，地球内部质量密度设为均匀，不考虑地球自转. 分析与解在例 2 中，我们证明过的一个结论:对于一个质量均匀的半径为 R 的实心球，在距球心(rR)处质点只受半径为 r 的球内质量的万有7引力，而 r 以外球壳(即 R 为半径 r 为内径的球壳)则对质点无引力的作用.若均匀球质量为
11、 M，则距球心 r 处所置点受到引力大小 F=GMmR3r，与r 成正比. 这里，我们将证明，小球在隧道 AB 中的运动是简谐运动，这只须证明小球在隧道中受线性回复力.如图 4 所示，设地心到隧道的距离为 d，取隧道中点为坐标原点 O，当小球的位置矢量为 x 时，所受引力大小为 F=GMmR3?x2+d2, 此力沿隧道方向的分力为 Fx=-GMmR3?x2+d2?xx2+d2, Fx=-GMmR3?x=-mgR?x. 可见小球在隧道中受到的大小与位移成正比而方向相反的回复力作用，它使小球在隧道中做简谐运动，回复力常数 k=mgR，振幅 A=l2,圆频率 =g/R. 由于小球运动方式为谐振，从 A 静止出发穿越隧道到达 B 点历时恰为半个周期，即 t=m/k=R/g. 关注一下这结论，可以发现，穿越地球隧道的时间是一个定值与隧道长度并无关系. 简谐运动的周期是由系统本身的物理本身条件决定(由 k 和 m 决定).例 6 中可推出圆频率 =R/g 相同故可推出它们是周期相同的简谐运动.
