1、1在变式训练中冲破难点历年各地中考压轴题大都是以某个数学模型为背景的综合题目，其综合难度令许多学生望而却步.作为一线教师，如果能在教学中选取典型数学模型，从最近发展区出发，根据学生的认知发展规律，设计以某个数学模型为主线索的系列题组，对学生进行潜移默化的训练，使学生能熟练分析、探索、解决以其为背景的相关综合题目，那么，中考压轴题的突破绝非难事. “广东省初中毕业生学业考试”十年来未曾出现“撞桌球问题” （原名为“轴对称求最短距离” ）的考点，故笔者结合本地考试大纲难度要求，选取以此数学模型为背景的题组设计为例，谈谈“通过设计以某个数学模型为主线的变式题组，提高中考压轴题的解题效率”的教学经验.
2、 数学模型变式题组的设计应该就近几年某数学模型所出现的题型，结合本地中考的难度、所教学生的程度，按其所涉及的问题，归为三类题型，题型采用阶梯式处理，由易到难，由浅到深，层层递进，从不同地角度训练学生掌握数学模型，并解决与数学模型为背景的相关问题. 1. 根据几何知识问题编制基础题型 此类题型主要培养学生遇到一个问题时，要善于捕捉问题所蕴含的信息，包括显性和隐性的，然后进行模式识别，和熟悉的知识模型建立联系，从而获得解题思路的能力. 当我们学习三角形、四边形、圆等轴对称图形时，会遇到大量的以2“撞桌球问题”为背景的几何基础题目. 例 1：如图，在ABC 中，AC=BC=2，ACB=90，D 是
3、BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点，则 EC+ED 的最小值是_. 例 2： 如图，在边长为 6 的菱形 ABCD 中，DAB=60，E 为 AB 的中点，F 是 AC 上的一动点，则 EF+BF 的最小值为_. 例 3：如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一动点 P，则 PD+PE 的最小值是_. 例 4：如图，等边ABC 的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线，M 是 AD上的动点，E 是 AC 边上一点，若 AE=2，则 EM+CM 的最小值为_. 例 5：如图，已知O 的直径 CD 为 4，弧 A
4、D 所对圆心角的度数为60，点 B 是弧 AD 的中点，请你在直径 CD 找一点 P，使 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值是_. 设计意图：训练学生熟练掌握该模型的作图方法，考虑选择在图中作出对称点或在图中找到对称点，找出最短路线.培养学生的动手操作能力，符合考试大纲的要求.以上例题通过变换问题背景，提高学生快速识别、分析模型，运用模型的性质，结合背景图形的几何知识解决问题的能力，不但可深化问题，而且能挖掘知识内容，既巩固了基础知识，开拓了解题思路，又提高了学生举一反三、触类旁通的能力，培养了思维的发散性，为综合题的解决打下坚实的几何基础. 2. 根据理解运用问题编制阅读理解题型
5、 近几年各地中考注重考查学生的阅读、理解、猜想、归纳、类比、3运用等能力，特别是近几年“广东省初中毕业生学业考试”每年均出现一道阅读理解的综合题.故此，对于具有较强典型性和迁移性的数学模型，我们应当选择以其为发生、发展源泉的阅读理解题型，培养学生将问题进行拓展、引申与推广，概括出模型的原理或规律，将其迁移至类似问题的能力. “撞桌球问题” 解决原理运用的最好体现是阅读理解题型. 例 6：在平面直角坐标系中，矩形 OACB 的顶点 O 在坐标原点，顶点A、B 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D 为边 OB 的中点.（1）若 E 为边 OA 上的一个动点，当CDE 的周长最小
6、时，求点 E 的坐标；（2）若 E、F 为边 OA 上的两个动点，且 EF=2，当四边形 CDEF 的周长最小时，求点 E、F 的坐标. 提示：如图，可以作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD与 x 轴交于点 E，此时CDE 的周长是最小的.这样，你只需求出 OE 的长，就可以确定点 E 的坐标了. 点评：第（2）小题用轴对称转化后，DE+CF 的长转为 DE+CF，根据原模型的解决原理应将点 C 平移至 DE 所在的直线，使对称点 D与定点C 共线，故将 CF 平移至 EG 的位置，使 DE+CF=DE+GE=DG. 设计意图：例 6 通过阅读理解的方式，引导学生归纳出数学模型的解决
7、策略，然后改变问题的背景条件，对结论进行延伸拓展，培养了学生的动手操作能力、对函数几何的运用能力、运用问题转化问题的能力，培养了学生的创新意识. 3. 根据数形结合问题编制综合题 4中考的压轴题大多是考查学生运用数形结合思想巧妙地解决函数问题和几何运动型问题，注重考查学生的综合能力和转化问题的能力.当我们在不同几何背景中强化某个数学模型的应用训练并总结解法后，就要将其运用到综合题型中，强化学生运用数形结合思想去探索、解决问题.此时，教师要结合考纲难度，选择最具代表性的类型对学生进行强化训练，紧防“滑过”现象. “撞桌球问题” 根据考纲的难度，在综合题中最典型的问题是：在抛物线上构建此模型，将轴
8、对称问题、全等或相似问题、坐标点问题和函数问题相结合，考查学生的综合能力和转化问题的能力.其难点问题是求点坐标的代数法和几何法的选择. 例 7：如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（1，0） 、B（3，0） 、C（0，3）.（1）试求出抛物线的解析式；（2）问：在抛物线的对称轴上是否存在一个点 Q，使得QAC 的周长最小，试求出QAC的周长的最小值，并求出点 Q 的坐标. 点评：利用抛物线的对称性找最短距离.求点的坐标有两个方法：代数法（联立两个函数方程）和几何法（运用几何知识求点到坐标轴上的垂线段长，一般利用相似或勾股定理）.利用相似和勾股定理即可求得最短距离. 例 8：
9、如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的顶点 P 的坐标为（1，-x） ，交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C（0，-）.（1）求抛物线的表达式.（2）把ABC 绕 AB 的中点 E 旋转 180，得到四边形 ADBC.判断四边形 ADBC 的形状，并说明理由.（3）试问在线段 AC上是否存在一点 F，使得FBD 的周长最小？若存在，请写出点 F 的坐标；5若不存在，请说明理由. 点评：第三小题作出最短距离后，采用逆向思维转化问题：考虑选择用代数法或几何法求点的坐标.作 FMy 轴于点 M，运用数形结合思想，从轴对称性及矩形的性质、全等的知识发现点 F 是 AC 的中点.从解题方
10、法的优化角度考虑应选择几何法求动点 F 的坐标. 例 9：如图，抛物线 y= -x-x+交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，顶点为D.（1）求 A、B、C 的坐标.（2）把ABC 绕 AB 的中点 M 旋转 180，得到四边形 AEBC：求 E 点坐标.试判断四边形 AEBC 的形状，并说明理由.（3）试探索：在直线 BC 上是否存在一点 P，使得PAD 的周长最小，若存在，请求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由？ 点评：逆向思维：比较代数法或几何法，此题应采用代数法求点P 的坐标.转化问题：确定直线 AD 的表达式求点 A的坐标结合RTAOC 的位置，作 AFx 轴于点 F，
11、结合相似采用几何法求点 A的坐标. 设计意图：根据学生的认知发展规律由易到难，循序渐进地培养学生运用数形结合的思想，掌握求点坐标的两个方法，培养学生对函数、方程、全等、相似等几何知识的综合运用能力.例 8 和例 9 从结论入手，通过问题的层层转化来指向题设条件，使问题解决简单化，锻炼了学生的逆向思维.着眼于解题方法的优化及对比，让学生更有效地感受数形结合思想化繁为简的神奇，提高了学生运用数形结合思想解决函数问题的能力，培养了学生思维的灵活性及深刻性.3 个例题集一次函数、轴6对称、二次函数等知识于一体，主要培养学生的实践操作能力、探索能力、想象能力及数学运用能力，符合考试大纲对综合题的难度要求. 最后，从深入掌握技能，培养学优生的角度来看，以数学模型为主线的题组设计不能只立足于中考难度，应提供该模型关于质同形异和形同质异的更深一层的问题，培养学生思维的深刻性和创造性. 责任编辑 罗峰
