1、8-2.抽屉原理.题库 学生版 page 1 of 158-2 抽屉原理教学目标学目标抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是：1理解抽屉原理的基本概念、基本用法；2掌握用抽屉原理解题的基本过程；3. 能够构造抽屉进行解题；4. 利用最不利原则进行解题；5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。知识点拨一、知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理
2、，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决二、抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。（2）定义一般情况下，把 n1 或多于 n1 个苹果放到 n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。三、抽屉原理的解题方案（一） 、利用公式进行解题苹果抽屉商余数余数：（1）余数1， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里
3、（2）余数 ， 结论：至少有（商1）个苹果在同一个抽屉里xn（3）余数0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二） 、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法8-2.抽屉原理.题库 学生版 page 2 of 15知识精讲模块一、利用抽屉原理公式解题（一） 、直接利用公式进行解题（1）求结论【例 1】 只鸽子要飞进 个笼子，每个笼子里都必须有 只，一定有一个笼子里有 只鸽子对吗？6512【巩固】 把 9条金鱼任意放在 8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼【巩固】 教室里有 5名学生正在
4、做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这 5名学生中，至少有两个人在做同一科作业【巩固】 年级一班学雷锋小组有 人教数学的张老师说：“你们这个小组至少有 个人在同一月过生13 2日 ”你知道张老师为什么这样说吗？【巩固】 数学兴趣小组有 13个学生，请你说明：在这 13个同学中，至少有两个同学属相一样【巩固】 光明小学有 名 年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？36720【巩固】 用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同【例 2】 向阳小学有 730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？【巩固】 试说明 400人中至少有两个人的生
5、日相同.【例 3】 三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩8-2.抽屉原理.题库 学生版 page 3 of 15【例 4】 “六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等【巩固】 五年级数学小组共有 20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多【例 5】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被 整除？3【巩固】 四个连续的自然数分别被 除后，必有两个余数相同，请说明理由3【例 6】 证明：任取 8个自然数，必有两个数的差是 7 的倍
6、数【巩固】 证明：任取 6个自然数，必有两个数的差是 5的倍数。【巩固】 （第八届小数报数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们个位数字可分为 10类：个位数字是1的为第 1类，个位数字是 2的为第 2类，个位数字是 9的为第 9类，个位数字是 0的为第 10类 （1）任意取出 6个互不同类的自然数，其中一定有 2个数的和是 10的倍数吗？（2）任意取出 7个互不同类的自然数，其中一定有 2个数的和是 10的倍数吗？如果一定，请煎药说明理由；如果不一定，请举出一个反例【巩固】 证明：任给 12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数 【例 7】 任给 11个数
7、，其中必有 6个数，它们的和是 6的倍数【巩固】 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是 的倍数？3【例 8】 任 意 给 定 2008个 自 然 数 ， 证 明 ： 其 中 必 有 若 干 个 自 然 数 ， 和 是 2008的 倍 数 (单 独 一 个 数 也 当 做和 )8-2.抽屉原理.题库 学生版 page 4 of 15【巩固】 20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题证明：小明一定在连续的若干天内恰好做了 7道题目【例 9】 求证：可以找到一个各位数字都是 4的自然数，它是 1996的倍数【巩固】 任 意 给 定 一 个 正 整 数 ， 一 定 可 以 将 它 乘
8、 以 适 当 的 整 数 ， 使 得 乘 积 是 完 全 由 0和 7组 成 的 数 .n【例 10】 求证：对于任意的 8个自然数，一定能从中找到 6个数 a， b， c， d， e， f，使得是 105的倍数()()abcdef【巩固】 任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式，使其得数为105的倍数【巩固】 （ 年中国台湾小学数学竞赛决赛（一）在 张卡片上不重复地编上 ，至少要随意208 1010抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被 整除？2【例 11】 把 1、2、3、10 这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小
9、于 17【巩固】 圆周上有 个点，在其上任意地标上 （每一点只标一个数，不同的点标上不同200,12,9的数） 证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于 29【例 12】 证明：在任意的 6个人中必有 3个人，他们或者相互认识，或者相互不认识【巩固】 平面上给定 6个点，没有 3个点在一条直线上证明：用这些点做顶点所组成的一切三角形中，一定有一个三角形，它的最大边同时是另外一个三角形的最小边【巩固】 假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，8-2.抽屉原理.题库 学生版 page 5 of 15问你能不能找到一个由这些线构成
10、的三角形，使三角形的三边同色？【巩固】 平面上有 17个点，两两连线，每条线段染红、黄、蓝三种颜色中的一种，这些线段能构成若干个三角形证明：一定有一个三角形三边的颜色相同【例 13】 上体育课时，21 名男、女学生排成 3行 7列的队形做操老师是否总能从队形中划出一个长方形，使得站在这个长方形 4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?如果能，请说明理由；如果不能，请举出实例【例 14】 8个学生解 8道题目(1)若每道题至少被 5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出(2)如果每道题只有 4个学生解出，那么(1)的结论一般不成立试构造一个例子说明这点.【巩固】 试
11、卷上共有 4道选择题，每题有 3 个可供选择的答案一群学生参加考试，结果是对于其中任何 3人，都有一个题目的答案互不相同问参加考试的学生最多有多少人?（2）求抽屉【例 15】 把十只小兔放进至多几个笼子里，才能保证至少有一个笼里有两只或两只以上的小兔？【例 16】 把 125本书分给五班的学生，如果其中至少有一个人分到至少 4本书，那么，这个班最多有多少人？【巩固】 某次选拔考试，共有 1123名同学参加，小明说：“至少有 10名同学来自同一个学校 ”如果他的说法是正确的，那么最多有多少个学校参加了这次入学考试？【巩固】 100个苹果最多分给多少个学生，能保证至少有一个学生所拥有的苹果数不少于
12、 12个.【例 17】 某班有 16名学生，每个月教师把学生分成两个小组问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?8-2.抽屉原理.题库 学生版 page 6 of 15（3）求苹果【例 18】 班上有 名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得50到不少于两本书？【巩固】 班上有 名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到28不少于两本书？【巩固】 有 只鸽笼，为保证至少有 只鸽笼中住有 只或 只以上的鸽子请问：至少需要有几只鸽1012子？【巩固】 三年级二班有 名同学，班上的“图书角”至少要准备
13、多少本课外书，才能保证有的同学可以43同时借两本书？【例 19】 海天小学五年级学生身高的厘米数都是整数，并且在 厘米到 厘米之间（包括 厘米到1405140厘米） ，那么，至少从多少个学生中保证能找到 个人的身高相同？150【例 20】 一次数学竞赛出了 10道选择题，评分标准为：基础分 10分，每道题答对得 3分，答错扣 1 分，不答不得分。问：要保证至少有 4人得分相同，至少需要多少人参加竞赛？【巩固】 （第十届小数报数学竞赛决赛）一次测验共有 10道问答题，每题的评分标准是：回答完全正确，得 5分；回答不完全正确，得 3分，回答完全错误或不回答，得 0分至少_人参加这次测验，才能保证至
14、少有 3人得得分相同（二） 、构造抽屉利用公式进行解题【例 21】 在一只口袋中有红色、黄色、蓝色球若干个，小聪明和其他六个小朋友一起做游戏，每人可以从口袋中随意取出 个球，那么不管怎样挑选，总有两个小朋友取出的两个球的颜色完全一2样你能说明这是为什么吗？8-2.抽屉原理.题库 学生版 page 7 of 15【巩固】 在一只口袋中有红色与黄色球各 4 只，现有 4个小朋友，每人从口袋中任意取出 2个小球，请你证明：必有两个小朋友，他们取出的两个球的颜色完全一样【巩固】 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友
15、拿的水果是相同的？【巩固】 学校里买来数学、英语两类课外读物若干本，规定每位同学可以借阅其中两本，现有 位小朋4友前来借阅，每人都借了 本请问，你能保证，他们之中至少有两人借阅的图书属于同一种2吗？【巩固】 11名学生到老师家借书，老师的书房中有文学、科技、天文、历史四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本试说明：必有两个学生所借的书的类型相同【巩固】 幼儿园买来许多牛、马、羊、狗塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，但不能是同样的，问：至少有多少个小朋友去拿，才能保证有两人所拿玩具相同？【巩固】 体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球，有 66个同学来仓库拿球，要求每个人至少拿一个，最
16、多拿两个球，问至少有多少名同学所拿的球的种类是完全一样的？【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？【巩固】 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？【例 22】 红、蓝两种颜色将一个 方格图中的小方格随意涂色（见下图） ，每个小方格涂一种颜25色是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一8-2.抽屉原理.题库 学生版 page 8 of 15【例 23】
17、 将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色 （每一列的三小格涂的颜色不相同） ，不论如何涂色，其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？【例 24】 从 、 、 、 、 、 这 个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有 个数的和是2468 502 2？ 5【巩固】 证明：在从 1开始的前 10个奇数中任取 6个，一定有 2个数的和是 20.【巩固】 从 1，4，7，10，37，40 这 14 个数中任取 8个数，试证：其中至少有 2个数的和是 41.【巩固】 从 ， ， ， ， 这 个数中任意挑出 个数来，证明在这 个数中，一定有两个数的23 105151差为 。50【巩固】 请证明：在 1，4
18、，7，10，100 中任选 20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于 104.【巩固】 从 1、2、3、4、19、20 这 20 个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是 12【巩固】 （小学数学奥林匹克决赛）从 1，2，3，4，1988，1989 这些自然数中，最多可以取_个数，其中每两个数的差不等于 4【巩固】 从 2、4、6、30 这 15个偶数中，任取 9个数，证明其中一定有两个数之和是 34【例 25】 （北京市第十一届“迎春杯”刊赛）从 1，2，3，4，1994 这些自然数中，最多可以取 个数，能使这些数中任意两个数的差都不等于 98-2.抽屉原理.题
19、库 学生版 page 9 of 15【巩固】 (南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛)从 1至 36个数中，最多可以取出_个数，使得这些数种没有两数的差是 5的倍数【例 26】 （2008 年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）从 、1、 、 、 、 、 、 、 、 、 和 中至多选出 个数，使得在选出的数中，23456789102每一个数都不是另一个数的 倍2【巩固】 从 1到 20这 20个数中，任取 11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数【例 27】 从 1，3，5，7，97，99 中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?【例 28】 从整数 1、
20、2、3、199、200 中任选 101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数.【例 29】 从 1，2，3，49，50 这 50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被 7整除，则最多能取出多少个数？【例 30】 从 1，2，3，99，100 这 100个数中任意选出 51个数证明：(1)在这 51个数中，一定有两个数互质；(2)在这 51个数中，一定有两个数的差等于 50；(3)在这 51个数中，一定存在 9个数，它们的最大公约数大于 1【例 31】 有 49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从 1到 49各不相同现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任
21、何相邻两个小孩的号码数的乘积小于 100，那么你最多能挑选出多少个孩子?【例 32】 要把 61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装 5个乒乓球，问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？【例 33】 将 400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过 11本，问：至少有多少个同学分到的书的本数相同？8-2.抽屉原理.题库 学生版 page 10 of 15【例 34】 有苹果和桔子若干个，任意分成 堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶5数？【例 35】 在长度是 厘米的线段上任意取 个点，是否至少有两个点，它们之间的距离不大于 厘米？101 1【巩固】 在 米长的
22、直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于 厘米25【巩固】 试说明在一条长 100米的小路一旁植树 101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过 1米【巩固】 (小数报数学竞赛初赛试题)在 米长的水泥阳台上放 盆花，随便怎样摆放，至少有几201盆花之间的距离不超过 米2【巩固】 在 米长的水泥阳台上放 盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于201米【例 36】 在边长为 3的正三角形内，任意放入 10个点，求证：必有两个点的距离不大于 1【巩固】 边长为 1的等边三角形内有 5个点，那么这 5个点中一定有距离小于 0.5的两点.【巩固】 在边长为 的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过 0.125【巩固】 在边长为 3米的正方形中，任意放入 28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过 1平方米【巩固】 在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形
