1、1高考中用加减乘除法求数列通项公式对于任何一种数列，只要能求出它的通项公式，什么都好解决，掌握了通项公式的求法，就学好数列的一半内容，因此，高考题常要求出数列的通项公式。本文给同学们介绍几种最常用的求法。 1 加法求通项公式 例 1、 （北京，文 16 改编）数列an中，a1=2，an+1=an+nC（C 是常数，n=1，2，3，）且 a1，a2，a3 成公比不为 1 的等比数列。 求an的通项公式。 解：a1=2，an+1=an+nC a2=2+C，a3=2+C+2C=2+3C 又a1，a2，a3 成公比不为 1 的等比数列，C0 由（2+C）2=2（2+3C） C=2 a1=2，a2=4，
2、a3=8，an+1=an+2n an=an-1+2（n-1） ，即 an-an-1=2（n-1） （n2） an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（a2-a1）+a1 =2（n-1）+2（n-2）+21+2 =2（1+n-1） （n-1）2+2 =n2-n+2（n2） 当 n=1 时 a1=2 上式也适合。 2an=n2-n+2（nN*） 。 讲评：常用累加法求形如 a1=a，an+1=an+f（n）数列通项公式。 练习 1：（江西卷 5）在数列an中，a1=2，an+1=an+ln（1+1n） ，则 an=A A. 2+ln n B. 2+（n-1）ln n C. 2+n ln
3、nD. 1+n+ln n 练习 2：（四川卷）2008 设数列an中，a1=2，an+1=an+n+1，则通项 an= n（n+1）2+1 。 【解】a1=2，an+1=an+n+1 an=an-1+（n-1）+1，an-1=an-2+（n-2）+1，an-2=an-3+（n-3）+1，a3=a2+2+1，a2=a1+1+1，a1=2=1+1 将以上各式相加得： an=（n-1）+（n-2）+（n-3）+2+1+n+1 =（n-1）（n-1）+12+n+1=（n-1）n2+n+1 =n（n+1）2+1 故应填 n（n+1）2+1； 【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式； 【突
4、破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住 an+1=an+n+1中 an+1，an 系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；32 减法求通项公式 例 2、 （山东，17 改编）设数列an满足 a1+3a2+32a3+3n-1?an=n3， （nN*）求数列an的通项； 解：（）a1+3a2+32a3+3n-1?an=n3， a1+3a2+32a3+3n-2?an-1=n-13（n2） ， 得：3n-1?an=13an=13n 当 n=1 时，a1=13 也适合上式. an=13n（nN*） 讲评：对应相减和错位相减都是求数列的 an，sn 的常用方法。 练习 1：（重庆改编）已
5、知各项均为正数的数列an的前 n 项和 Sn满足 S11，且 6Sn=（an+1） （an+2） ，nN。 求an的通项公式； 解：由 a1=S1=16（a1+1） （a1+2） ，解得 a1=1 或 a1=2，由假设a1=S11，因此 a1=2， 又由 an+1=Sn+1-Sn=16（an+1+1） （an+1+2）-16（an+1） （an+2） ， （） 得（an+1+an） （an+1-an-3）=0， 即 an+1-an-3=0 或 an+1=-an，因 an0，故 an+1=-an 不成立，舍去 因此 an+1-an=3，从而an是公差为 3，首项为 2 的等差数列，故an的通项为
6、 an=3n-1 讲评：形如（）式或可化为（）的复杂递推关系式，常用因式分解法求解。 4练习 2： 200516. （山东卷） 已知数列an的首项 a1=5，前 n 项和为 Sn，且Sn+1=Sn+n+5（nN*） （I）证明数列an+1是等比数列； 解：由已知 Sn+1=Sn+n+5（nN*）可得 n2，Sn=2Sn-1+n+4 两式相减得 Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1）+1 即 an+1=2an+1 从而 an+1+1=2（an+1）当n=1 时 S2=2S1+1+5 所以 a2+a1=2a1+6 又 a1=5 所以 a2=11 从而a2+1=2（a1+1） 故总有 an+1+1=2
7、（an+1） ，nN*又 a1=5，a1+10 从而an+1+1an+1=2 即数列an+1是等比数列； 3 乘法求通项公式 例 3、设an是首项为 1 的正项数列，且（n+1）an+12-nan2+an+1an=0（nN*） ，求它的通项公式。 解析：分解因式可得（n+1）an+1-nan?an+1+an=0，又 an0，则（n+1）an+1-nan=0，即 an+1an=nn+1.又 a1=1，由累积法可得 an=anan-1 an-1an-2 an-2an-3 a2a1a1=1n. 练习.2004 已知数列an，满足 a1=1，an=a1+2a2+3a3+（n-1）an-1（n2） ，则
8、an的通项 an=1n=1 n！/2 n2 讲评：形如 an+1an=nn+1 或可化为此形式的数列题常用累积法。 54 除法求通项公式 例 4、2008 全 1（本小题满分 12 分）在数列an中，a1=1，an+1=2an+2n. （）设 bn=an2n-1.证明：数列bn是等差数列； （）求数列an的前 n 项和 Sn. 解析：（1）在数列an中，a1=1，an+1=2an+2n，bn=an2n-1，bn+1-bn=an+12n-an2n-1=an+1-2an2n=1，所以数列数列bn是等差数列是等差数列，且 bn=n。 （2）由（1）知，bn=n，又 bn=an2n-1，所以 an=n
9、?2n-1，则Sn=11+22+n2n-1，2Sn=12+222+n2n，两式相减得Sn=n2n-120-12-2n-1=（n-1）2n+1。 练习 1：（江西卷改编）已知数列an满足：a1=32，且 an=3nan-12an-1+n-1（n2，nN*） 求数列an的通项公式； 解：将条件变为：1-nan=13（1-n-1an-1） ，因此1-nan为一个等比数列，其首项为 1-1a1=13，公比 13，从而 1-nan=13n，据此得an=n?3n3n-1（n1） 讲评：恒等变形是求通项公式的最常用的技巧。 练习 2：2008（陕西卷 22）.（本小题满分 14 分） 已知数列an的首项 a
10、1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，. （）求an的通项公式； 解法一：（）an+1=3an2an+1，1an+1=23+13an，1an+1-61=13（1an-1） ， 又 1an-1=23，（1an-1）是以 23 为首项，13 为公比的等比数列. 1an-1=23 13n-1=23n，an=3n3n+2. （14 分）已知数列an中，a1=13，当 n2 时，其前 n 项和 Sn 满足an=2S2n2Sn-1， （1）求 Sn 的表达式及 limnanS2n 的值； （2）求数列an的通项公式； （1）an=Sn-Sn-1=2S2n2Sn-1Sn-1-Sn=2SnSn-11Sn-1Sn-1=2（n2） 所以1Sn是等差数列。则 Sn=12n+1。 limnanS2n=limn22Sn-1=22limnSn-1=-2。 （2）当 n2 时，an=Sn-Sn-1=12n+1-12n-1=-24n2-1， 综上，an=13（n=1） 21-4n2（n2） 。
