1、1一、填空题： 1.现已知某语音信号的频率范围为 02.5kHz，要保证对其进行无失真采样的最低采样频率是 5000Hz，最大采样周期为 T=0.2ms,将此采样结果无失真恢复为模拟信号时应采用低通滤波器，其截止频率最低为2500Hz。若此信号的长度为 0.1s，则采样所得序列 x(n)的长度为 N=500，将 x(n)取 N 点 DFT 时，需要计算 249500 次复数加法和 250000 次复数乘法，所得频谱的频率分辨率为 f=10Hz；利用 DIT 基-2 FFT 求x(n)的频谱时，其求取点数 N1=512，需要计算 4608 次复数加法和 2304 次复数乘法。2. 的周期是 N=
2、7， 的周期是 N=14 ， 的周期是 N=22 ， 的周期是 N=7。)74sin()7sin()15sin(74nje的周期是 N=11。3.数字角频率 是数字信号中每两个采样点之间信号的旋转角度，单位是12rad/sample，模拟角频率 是单位时间内模拟信号旋转的角度，单位是 rad/second，二者的关系与是T（其中 T 为采样周期） ，若某模拟信号的表达式为 ，则此信号的模拟角频率)20sin()ttx200 rad/second，对此信号做无失真采样，则可取的最低采样速率为 300Hz，采样结果的数字角频率 0.667 rad/sample。4.数字滤波器分为 IIR 滤波器和
3、 FIR 两种。前者是指单位冲激响应无限长的数字滤波器，后者是指单位冲激响应有限长的数字滤波器。5.已知系统频率响应 ,则当输入 时，系统的零状态响应应jj enhDTFeH21)()( njex3)(为 y(n)= 。321jn6.已知 x(n)=1,2,3,y(n)=4,5,6，则 x(n)*y(n)4，13，28，27，18, X(n) 3 y(n) 3R3 (n) *31,31,28,x(n)y(n)31,31,28,x(n)y(n)22,13,28,27,x(n)y(n)4，13，28，27，187. 已知 x(n)=1,2,3，4，R 4(n)=1，1，1，1； R4(n-2)=0
4、，0，1，1，1，1； R4(n+2)= ； R4(n)3 R3(n)=1，1，1；R 4( n )5 R5(n)=1，1，1，1，0； R4( n 2 )5 R5(n)1=1，0，1，1，1； R4( n + 2 )5 R5(n)=1，1，0,1,1；R 4( - n)5 R5(n)=1，0，1，1，1。x(n)5R6(n)=1,2,3，4,0,1 ,x(n+2)= 。R 2(n)3R5(n)= 1，1，0，1，1。38.已知公共电话网中语音信号 的频率范围为 04000Hz，现对其进行采样，则可以无失真恢复的最低()axt采样速率为 8000Hz；最大采样周期为 T=125us,若采样结果
5、用 8 位二进制编码，则编码结果的信息速率为64kbps；若在编码前对采样值 x(n)做频谱分析，以 1s 为求取频谱的时间长度，则对 x(n)求取 DFT 的点数 N= 8000；所得的频谱 X(k)=DFTx(n)= ；若想利用 X(k)求取 x(n) 的 Z 变换，X(z)79800()knnxW=Zx(n)= ；8079101()8kkzXW9.因果数字系统稳定的条件是其系统函数 H(z)的所有极点都分布在单位圆的里边。非因果数字系统稳定的条件是其系统函数 H(z)的所有极点都分布在单位圆的外边。因果稳定的数字系统，其系统函数 H(z)的所有零点都分布在单位圆里边时，此系统是最小相位延
6、迟系统，其系统函数 H(z)的所有零点都分布在单位圆外边时，此系统是最大相位延迟系统；非因果稳定的数字系统，其系统函数 H(z)的所有零点都分布在单位圆里边时，此系统是最大相位超前系统，其系统函数 H(z)的所有零点都分布在单位圆外边时，此系统是最小相位超前系统。右图是切比雪夫 I 型滤波器的幅频特性曲线，此滤波器为些 3 阶滤波器。直流分量的放大倍数为 1 ，它比同阶的巴特沃斯滤波器衰减得 快 ，该滤波器的极点均匀分布在 s 平面的个一个以原点为中心的 椭圆 上，若 增大，则通带 允许的最大衰减 增大，当阶数 N 增加时，则过渡带 变窄 。2已知某因果滤波器的系统函数为 ，请画出该系21()
7、34zH统的零极点图。由题可知零点为 z0.5；极点 z- 4，z1已知某 FIR 滤波器的单位采样响应为 h(n)=1,3,5,7,9，请用信号流图画出该滤波器的直接一型网络结构，该滤波器是线性相位特性的吗？为什么？答：该滤波器不是线性相位特性的;因为其单位采样响应 h(n)不满足两种线性相位条件之一：h(n)=h(N-1-n)或 h(n)= - h(N-1-n)已知某 IIR 滤波器的系统函数为 ，请用信号流图画出该滤波器的典范型网213()4zHz络结构解：如下图所示：已知某 IIR 滤波器的系统函数为 ，请用信号流图画出该滤波器的21214536)( zzzH型网络结构系统函数为 ，要
8、求绘制直接型和直接型结构。214.5.087)(zzH解：直接 I 型结构为： 1.5 .7 1.8 0.5 2.4 z 1z nx ny 直接型结构为： 1.5 z 2.4 .71.8 0.5 nx ny 3四、简答题： 若计算机平均每次复乘 2.5 微秒，每次复加 0.25 微秒，用它计算 1024 点的 DFT，则直接计算用多少时间？用 FFT 计算用多少时间？解：直接计算: 复乘:(1024) 22.510-62.62144(s)复加:1024（1024-1）2.510 -70.261888(s)总时间：2.62144+0.2618882.883328(s)用 FFT 计算: 复乘:(
9、1024/2)log 210242.510-60.0128 (s)复加:(1024log 21024)2.510-7 0.00256(s)总时间：0.00256+0.01280.01536(s)请求出序列 x(n)=(-0.3)nu(n)+ (0.5)nu(n)的 Z 变换，并求出对应的收敛域解：首先，序列 x(n)是右序列（因果序列）5.0|:5.013. )(5.0)(3)(.)(.)(1 zROCzz nuuuZXn设 , ，试求： 的主值序列2,)(nx4)(nx)()(xDFSkX解： 31,6,0)(:)( )(3123221,3,4 4441304 jjkRXkX jWWW kk
10、kkknkn 主 值 序 列 为 请求出序列 x(n)= (0.7)nu(n)的 Z 变换，并求出对应的收敛域。解： 7.0|: 7.1)()( 1zROCzuZn设 ，请求出：3,21x（1） )()(nxDFTkX（2） ej（3） 及 其 收 敛 域z解：（1） 31,6,0)()(232132044414443jjkX WWkRWnx kkkkkk （2） jjjjjnnj eeeexe 32320 （3） 311)()( zzzzz其收敛域为：00.5，包含单位圆，系统稳定。五、计算题： 已知某因果 LSI 数字滤波器的差分方程为 y(n)+0.8y(n-1)+0.15y(n-2)=
11、x(n)-2x(n-1)，求：该系统的系统函数 H(z)该系统的频率响应 H(ej )该系统的单位冲激响应 h(n)求输入序列 x(n)=ej5n时，系统的 ZSR（零状态响应）y(n)求输入序列 x(n)=（1/2） nu(n)时，系统的 ZSR（零状态响应）的初值 y(0)求输入序列 x(n)=（1/2） n u(n)时，系统的 ZSR（零状态响应）的终值 y()（1）由差分方程 y(n)+0.8y(n-1)+0.15y(n-2)=x(n)两边取 Z 变换Y(z)1+0.8z-1+0.15 z-2=X(z)1-2z-1（ 2）（3）单位冲激响应且系统为因果系统h(n)= -11.5（-0.
12、3） n+12.5（-0.5） nu(n)（4）根据指数序列在 LSI 系统中产生的零状态响应的特点有： 10555 .8.012)()()(0 jjjnjjjj eeHeHnxy （5）输入 x(n)因果，系统因果，响应 y(n)也因果，可以使用初值定理： 15.08.125.0lim)(li)(lim)0(.1 211 zzzXzYyZXz 1112111 5.3.5.08.)()( zZzZzZznh jjjezj eHej .08.2)( 5（6） )5.01)(3.)(5.01(25.08.125.0)()( 1121 zzzzzzHXzY响应 y(n)也因果，且民有极点均在单位圆|
13、z|=1 内，故可以使用终值定理： .8.)(lim)()(lim)(1li)( 21111 Xy zzz请设计一个巴特沃斯模拟低通滤波器，要求其通带截止频率为 200rad/s, 阻带截止频率为 500rad/s，通带内允许的最大衰减为-2dB, 阻带内必须达到的最小衰减为-20dB。要求保证通带内的特性准确。附：阶数公式 ，3dB 截止频率公式 spNlg10lg5.2. Npc21.0解：滤波器的阶数为： 8.250lg2ll10lg201. spsp所以 N 取 3 阶3dB 截止频率 sradNpc /7.81062.211.0 )7.218)(9.478.21(Hs) 2,0. H
14、()3)32()(ss keesjkjck）（极 点 为 ： 的 极 点为平 面 左 半 平 面 的 极 点 作， 取为 保 证 滤 波 器 的 稳 定 性 请设计一个二阶的巴特沃斯模拟低通滤波器，其 3dB 截止频率为 1800Hz。解：截止频率 C180023600幅度平方函数： 4422 3601)( cj令： ，则：js 4)360()(ssH极点为： ,2136024kejk为保证滤波器的稳定性，取 s 平面左半平面的极点作为 H（S）的极点，则222)360(360)(8018)()( ssjjsH设有一个模拟滤波器 ，采样周期 T=0.2s，试用双线性变换法将它转变为数7.)(2
15、ssH字滤波器 H(z)解： 11 01.0 zTczs62122122112221 12110 8.94.08.97.00. 72.0.0)( zzzzzzzsHzza设有一个模拟滤波器 ，采样周期 T=0.2s，试用冲激响应不变法将它转变为数字.)(ssH滤波器 H(z)。解： )(10)( 9.018.09.(172.8.12 tuesLth sstaa 数字滤波器的冲激响应： )(2T18.016.0T9. nuenntt 则数字滤波器的系统函数为： 10816.018.0)16.0 2)(Z)(Hz zzuehn（1）用矩形窗设计一个 FIR 线性相位低通数字滤波器。已知 c0.3，
16、N=19，求出 h(n)。（2）用 Bartlett（三角）窗设计一个 FIR 线性相位低通数字滤波器。已知 c0.3，N=19，求出 h(n)。（3）用 Hanning(升余弦)窗设计一个 FIR 线性相位低通数字滤波器。已知 c0.3，N=19，求出 h(n)。（4）用 Hamming（改进升余弦）窗设计一个 FIR 线性相位低通数字滤波器。已知 c0.3，N=19，求出 h(n)。（5）Blackman(二阶升余弦)窗设计一个 FIR 线性相位低通数字滤波器。已知 c0.3，N=19，求出h(n)。解：（1）频率响应： 3.0|,)(jjeH则： )(3.0 )(3.0sin.21)(2
17、1)( .30 nSa dedeeIDTFh njnjjd9N其 中 ：取 )()()(1Rw .,018)9(3.)(9(3.01 wonnSanRSanhd （2）解：频率响应： .|,)jjeH则： )(3.0 )(3.0sin.21)(21)( 3.0 nSa dedeeIDTFh njnjjd7921N其 中 ：取 1,120)( Nnnw180,)9(3.069)()( nSanhd （3）解：频率响应： .|,)(jjeH则： )(3.0 )(3.0sin.21)(21)( 3.0 nSa dedeeIDTFh njnjjd9N其 中 ：取 )(9cos15.0)(12cos5.
18、)( 19 nRnRw .,01809cos1)9(3.15.0.3.019wonnSaSahnd （4）解：频率响应： 3.|,)(jjeH则： )(3.0 )(3.0sin.21)(21)( .03 nSa dedeeIDTFh njnjjd9N其 中 ：取 )(9cos46.05)(12cos46.5)( 19 nRnRw .,01809cos46.5.)9(3.0 .3.0 9wonnSaSahnd （5）解：频率响应： 3.|,)(jjeH则：8 )(3.0 )(3.0sin.21)(21)( 3.0 nSa dedeHeIDTFh njnjjd9N其 中 ：取 )(92cos08.
19、9cos5.042)(14cos08.12cos5.4)( 19 nRnnRNw .,0 180)(92cos8.9cos5.42.)9(3.0 .)(3. 1wonnnnSaSahnd 设计一个线性相位 FIR 低通滤波器，给定通带截止频率为 ，阻带截止频率为 ，阻带.2p0.4s衰减不小于 .各窗函数的参数如下表所示：50dB窗函数 旁瓣峰值幅度(dB) 主瓣宽度(理论近似过渡带宽) 准确过渡带宽 阻带最小衰减(dB)矩形窗 13 4 /N 1.8 /N 21三角形窗 25 8 /N 6.1 /N 25汉宁窗 31 8 /N 6.2 /N 44海明窗 41 8 /N 6.6 /N 53解： （1）根据阻带最小衰减选择海明窗（2）过渡带宽度： 2.0.4.0ps长度： ，选择32.06.N3N（3） 1/().cps )(.0 )(3.0sin.21)(1)( 3.0 nSa dedeHeIDTFh njnjjd62N其 中 ：（4）取 )(16cos4.05)(12cos4.5)( 33 nRnRw .,032016cos4.5.)16(3.0 .0 wonnSaSahnd
