1、1点集拓扑学练习题一、单项选择题1、设 ，下列集族中,（ ）是 上的拓扑 .XabcX ,T,abcT ,c2、设 ，下列集族中,（ ）是 上的拓扑 .XabX ,cT,abacT 答案：,3、设 ，下列集族中,（ ）是 上的拓扑 .XabcX ,T,abcT 答案：,c4、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的非空真子集个数（ ,Xabd,XcdX） 1 2 3 4 答案：5、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ,c,abcT） 1 2 3 4 答案：6、设 ，拓扑 ,则 的既开又闭的子集的个数为（ ）,Xab,X 0 1 2 3 答案：7、设 ，拓扑 , 的既开又闭的非空真子集个数
2、（ ,c,abcTX） 1 2 3 4 答案：8、在实数空间中，有理数集 的边界 是（ ）Q() Q R -Q R 答案：9、在实数空间中，区间 的内部是（ ）0,1) 答案：,(0,)210、设 是一个拓扑空间，A,B 是 的子集,则下列关系中错误的是（ ）XX ()()ddAB 答案: 11、设 是一个拓扑空间，A,B 是 的子集,则下列关系中正确的是（ ） ()()dd 答案: A12、设 是一个拓扑空间，A,B 是 的子集,则下列关系中正确的是（ ）XX ()dB 答案: ()d()()ddA13、已知 是一个离散拓扑空间，A 是 的子集, 则下列结论中正确的是（ ） ()d()AX
3、答案：d14、已知 是一个平庸拓扑空间，A 是 的子集, 则下列结论中不正确的是（ ）X 若 ,则 若 ,则()d0x()dAX 若 A= ,则 若 , 则 答案：12xX15、已知 是一个平庸拓扑空间，A 是 的子集, 则下列结论中正确的是（ ） 若 ,则 若 ,则()d0x()d 若 A= ,则 若 ,则 答案：12xA12A16、设 ，令 ,则由 产生的 上的拓扑是（ ）,Xabc,abcBBX , ,c,d,c,d,a,b,c , ,c,d,c,d , ,c,a,b,c , ,d,b,c,b,d,b,c,d 答案：X17、设 是至少含有两个元素的集合， , 是 的拓扑，则（ Xp|GX
4、pTX）是 的基.T ,|Bpx|Bx 答案：| |p18、 设 ,则下列 的拓扑中（ ）以 为子基.XabcX,SXa3 , ,a,a,c , ,aXX , ,a,b,a,b , 答案：19、离散空间的任一子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：20、平庸空间的任一非空真子集为( ) 开集 闭集 即开又闭 非开非闭 答案：21、实数空间 R 的子集 A =1, , , ,则 （ ）2134A R A0 A 答案：22、已知 上的拓扑 ,则点 1 的邻域个数是（ ）1,23X,TX 1 2 3 4 答案：23、已知 ,则 上的所有可能的拓扑有（ ）ab 1 个 2 个 3 个 4
5、个 答案： 24、已知 =a,b,c,则 上的含有个元素的拓扑有（ ）个XX 3 5 7 9 答案：25、设 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )()T T ,当 时, 当 时, 答案：TUTU26、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓123X,12,3,2=XX12AXA扑为( ) , 答案：,TA,1,T27、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓扑123X,12,32T=XX1AXA为( ) 2T 答案：,T,1T28、设 , 是 的拓扑， ,则 的子空间 的拓扑123X,12,32T=XX3AXA为( ) 1T 答案：,T,T429、有理数集 是实数空间 的一个（ ）QR
6、不连通子集 连通子集 开集 以上都不对 答案：30、设 Y 为拓扑空间 X 的连通子集,Z 为 X 的子集,若 , 则 Z 为( )YZ不连通子集 连通子集 闭集 开集答案：二、填空题1、设 ,则 的平庸拓扑为 ;答案：Xab ,TX2、设 ,则 的离散拓扑为 ;答案：,T3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质4、在实数空间 R 中，有理数集 Q 的导集是_. 答案： R5、 当且仅当对于 的每一邻域 有 答案： )(AdxxUU6、设 是有限补空间 中的一个无限子集，则 = ;答案：X()dAX7、设 是有限补空间 中的一个无限子集，则 = ;答案：A8、设 是可数补空间
7、中的一个不可数子集，则 = ;答案：()9、设 是可数补空间 中的一个不可数子集，则 = ;答案：XAX10、设 ,则 的平庸拓扑为 ;答案：abc ,T11、设 ,则 的离散拓扑为 答案：, ,TXcacb12、设 , 的拓扑 ,则 的子集 的内部为 ;答123,23,TXX1,3A案：3 13、 是拓扑空间 到 的一个映射，若它是一个单射，并且是从 到它的象集:fXYY X的一个同胚，则称映射 是一个 .答案：嵌入() f14、 是拓扑空间 到 的一个映射，如果它是一个满射，并且 的拓扑是对于映:f X Y5射 而言的商拓扑，则称 是一个 ;答案：商映射f f15、设 是两个拓扑空间， 是
8、一个映射，若 中任何一个开集 的象集 是,XY:XYXU()f中的一个开集，则称映射 是一个 答案：开映射f16、设 是两个拓扑空间， 是一个映射，若 中任何一个闭集 的象集 是, : ()f中的一个闭集，则称映射 是一个 答案：闭映射Yf17、若拓扑空间 存在两个非空的开子集 ,使得 ,则 是一个 XAB,ABX；答案：不连通空间18、设 是拓扑空间 的一个连通子集， 满足 ，则 也是 的一个 ; ZXYZ答案：连通子集19、设 是一个拓扑空间，如果 中有两个非空的隔离子集 ,使得 ,则称 是X一个 ；答案：不连通空间.三判断1、 从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案: 理
9、由：设 是离散空间， 是拓扑空间， 是连续映射，因为对任意 ，都有XY:fXYAY,由于 中的任何一个子集都是开集，从而 是 中的开集，所以1)fA（ 1()fA是连续的. :Y2、设 是集合 的两个拓扑，则 不一定是集合 的拓扑( )答案:12, TX12 TX理由：因为（1） 是 的拓扑，故 T1， T ，从而 ；12, ,X, ,12 T（）对任意的 T1 T ，则有 T1且 T ，由于 T1, T2是 的拓扑，故BABAXT1且 T2，从而 T1 T ；（）对任意的 ，则 ，由于 T1, T2是 的拓扑，从而 U TU1 2, T1, U TU T2,故 U TU T1 T ；综上有
10、T1 T 也是 的拓扑X3、从拓扑空间 到平庸空间 的任何映射都是连续映射（ ）答案:Y理由：设 是任一满足条件的映射，由于 是平庸空间，它中的开集只有 ,易知:fYY它们在 下的原象分别是 ,均为 中的开集，从而 连续.X:fX64、设 为离散拓扑空间 的任意子集，则 （ ）答案:AXdA理由：设 为 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，p所以 是 的开子集，且有 ，即 ,从而 .ppd()A5、设 为平庸空间 （ 多于一点）的一个单点集，则 （ ）答案：理由：设 ,则对于任意 , 有唯一的一个邻域 ，且有 ,从而AyxXyxX()yx，因此 是 的一个凝聚点，但对于 的唯一的邻域
11、 ，有 ,所()XxAyAy以有 .d6、设 为平庸空间 的任何一个多于两点的子集，则 （ ）答案：AXdAX理由：对于任意 因为 包含多于一点，从而对于 的唯一的邻域 ，且有,xAx，因此 是 的一个凝聚点，即 ，所以有 .()X()四 名词解释 1同胚映射 答案：设 和 是两个拓扑空间.如果 是一个一一映射，并且 和XY:fXYf都是连续映射，则称 是一个同胚映射或同胚.:fYf2、集合 的聚点 答案：设 A 是拓扑空间 X 的一个子集，如果 的每一个邻域 U 中都有A xA 中异于 的点，即 ，则称点 是集合 A 的一个凝聚点。x()Uxx3、集合 的内部 答案：设 是一个拓扑空间， .
12、则集合 的所有内点构成的集合称为集合 的内部.4拓扑空间 的基 答案：设 是一个拓扑空间， 是 的一个子族.如果 中(,)TX(,)TXBTT的每一个元素是 中的某些元素的并，则称 是拓扑 的一个基.BB5闭包 答案：设 是一个拓扑空间， .集合 与集合 的导集 的并AXA()d称为集合 的闭包.()AdA6. 拓扑性质 在同胚变换下保持不变的性质称为同胚性质.7、导集 答案：设 是一个拓扑空间，集合 的所有凝聚点构成的集合称为 的导集.X8、不连通空间 答案：设 是一个拓扑空间，如果 中有两个非空的隔离子集 ,使得XAB,则称 是一个不连通空间.AB11、 空间 答案：一个拓扑空间如果在它的
13、每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空1间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为 空间.1 A12、 空间 答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可2数性公理的空间，简称为 空间.2 A13、可分空间 答案：如果拓扑空间 有一个可数稠密子集，则称 是一个可分空间.XX714、Lindeloff 空间： 答案：设 X 是一个拓扑空间如果 X 的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称拓扑空间 X 是一个 Lindelff 空间15 空间 答案：设 是一个拓扑空间，如果 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一0T个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间 是 空间.0T15、 空
14、间 答案：设 是一个拓扑空间，如果 中的任意两个不相同的点中每一个点都有1 X一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间 是 空间.116、 空间： 答案：设 是一个拓扑空间，如果 中的任意两个不相同的点各自有一个开2TX邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间 是 空间.2T17、正则空间： 答案：设 是一个拓扑空间，如果 中的任何一个点和任何一个不包含这X个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称 是正则空间.18、正规空间： 答案：设 是一个拓扑空间，如果 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称 是正规空间.X五简答题1、设 是一个拓扑空间， 是 的子集，且 .试
15、说明 .X,ABAB()dAB答案：对于任意 ,设 是 的任何一个邻域，则有 ,由于 ，从()xdUx UxA而 ，因此 ，故 .()UB()d()2、设 都是拓扑空间. , 都是连续映射，试说明 也是,XYZ:fXY:gZ:gfXZ连续映射.答案：设 是 的任意一个开集，由于 是一个连续映射，从而 是 的一个W: 1()WY开集，由 是连续映射，故 是 的一开集，因此 :fY1()fgWX是 的开集，所以 是连续映射.11()()ggX:fZ3、设 是一个拓扑空间， .试说明：若 是一个闭集，则 的补集 是一个开集.XAAA答案：对于 ,则 ，由于 是一个闭集，从而 有一个邻域 使得 ,因x
16、xU()Ax此 ，即 ,所以对任何 , 是 的一个邻域，这说明 是一个开集.UAx4、设 是一个拓扑空间， .试说明：若 的补集 是一个开集，则 是一个闭集.X答案：设 ,则 ,由于 是一个开集，所以 是 的一个邻域，且满足 ,因xA Ax此 ,从而 ,即有 ，这说明 是一个闭集 .A5、在实数空间 R 中给定如下等价关系：或者 或者xy)1,(,)2,1yx),2,yx8设在这个等价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑 T.21,0YY答案： ,0,Y T6、在实数空间 R 中给定如下等价关系:或者 或者xy1,(,2,1(yx),2(,yx设在这个等价关系下得到的商集 ,试写出 的商拓扑
17、T .3YY答案： ,3,2T Y六、证明题1、设 是从连通空间 到拓扑空间 的一个连续映射.则 是 的一个连通子集.:fXXY()fXY证明：如果 是 的一个不连通子集，则存在 的非空隔离子集 使得()Y ,AB()fAB于是 是 的非空子集，并且：1,()fAfB1111()()()(ffBffAAf 所以 是 的非空隔离子集 此外，1(),fAfBX，这说明 不连通，矛盾.从而 是 的一11()()fXX()fXY个连通子集. 2设 是拓扑空间 上的两个拓扑，证明： 也是 上的拓扑，并举例说明 12,T 12T不是 的拓扑。X证明：1）.(1) 是 的拓扑，故 ， ，从而 ； 12,T1
18、,X2, 12,XT(2) 对任意的 ，则有 且 ，由于 是 的拓扑，BA,12TBAT故 ，且 ，从而 ； 1AB212(3) 对任意的 ，则 ，由于 是 的拓扑，从而 U12,12,TXTU , U TU ,故 U TU ； 1TT12T综上有 也是 的拓扑 2X92）. 设 ， ，易见，1,XabcTabc2,Tbac都是 的拓扑，但是 ，而 ，1,T2,ac 12bT，因此， 不是 的拓扑。12ab1X3、设 是拓扑空间 的一个连通子集, 证明: 如果 和 是 的两个无交的开集使得YXABX,则或者 ,或者 . BAABY证明：因为 是 的开集，从而 是子空间 的开集.,Y又因 中，故 Y)()(由于 是 的连通子集,则 中必有一个是空集. 若 ,则 ;若XYBA, BAY,则 A4、设 是拓扑空间 的一个连通子集， 满足 ，则 也是 的一个连通子集.YZXYZX证明：若 是 的一个不连通子集，则在 中有非空的隔离子集 使得 .因此Z ,AZBB由于 是连通的，所以 或者 ,如果 ，由于 ，所以YABA，因此 ,同理可证如果 ，则 ,均与假设矛盾.故AZYB也 是 的一个连通子集. ZX
