1、1抛物线两条切线的统一解法开口向上（或者向下）的抛物线可以看成是二次函数，所以可以利用导数这个工具求出其切线方程。有好多题目甚至要求二条切线，下面把这类问题的解法归类一下。 定理：设 A（x1，y1） 、B（x2，y2）是抛物线 x2=2py（p0）上的不同两点，过 A、B 分别作抛物线的切线 l1，l2，则 l1，l2 相交于点P，且点 P 的坐标为 ， 。 证明如下：y=， y= l1：y-y1=（x-x1） ，l2：y-y2=（x-x2）作差，得 y2-y1=（x-x1）-（x-x2）即-=（x-x1）-（x-x2） 得 x=，代入 l1 就可以得。 由于这个交点是固定的，又类同于韦达定
2、理，所以称 P 为抛物线的两切线的韦达交点。 这类问题的解法是统一的，应该先求出韦达交点。下面就应用方面简单作几点说明。 一、与韦达定理有关的 抛物线的两切线的韦达交点从形式上看，与韦达定理有密切联系，所以结合韦达定理使用，不仅丰富了韦达定理的应用，同时，也加强了2学生对韦达定理的理解，对学习解析几何是有很大帮助的。 1.已知抛物线 x2=2py（p0） ，过焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A，B两点，抛物线在 A，B 两点处的切线相交于点 Q 求证点 Q 在定直线上。 分析：过焦点 F0， 的动直线 l 交抛物线于 A，B 两点，设直线 l 的方程为 y=kx+ 联立 y=kx+ x2=
3、2py 可得 x2-2pkx-p2=0.设 A（x1，y1） 、B（x2，y2） ，则x1+x2=2pk，x1x2=-p2. 抛物线在 A，B 两点处的切线相交于点 Q，联立 l1：y-y1=（x-x1） ，l2：y-y2=（x-x2） 得点 Q 的坐标为 ， ，yQ=-。所以，点 Q 在定直线=-上。 2.如图，与抛物线 C1：y=x2 相切于点的直线 l 与抛物线 C2：y=-x2相交于 A，B 两点.抛物线 C2 在 A，B 处的切线相交于点 Q. （）求证：点 Q 在抛物线 C1 上； （）若QAB 是直角，求实数 a 的值. 分析：（1）设直线 l 的方程为：y-a2=2ax-a2；
4、 又 y=2ax-a2+ x2=-y 得 x2+2ax-a2=0 点 A（x1y1） 、B（x2y2） ，点 Q 为抛物线的两切线的韦达交点，所以点 Q 的坐标为 ， 3=（-a，a2） ，显然在抛物线 C1 上。 （2）KQA?2a=-1，?2a=-1，再结合韦达定理 x1+x2=-2a，x1x2=-a2利用方程思想求出 a。 二、与几何位置有关的 经过以上例题的分析，抛物线的两切线的韦达交点从位置上看有以下性质： （1）抛物线的两切线的韦达交点在定直线上时，与之对应的直线必过对称的定点。 3.过点 M（2，-2p）作抛物线 x2=2py（p0）的两条切线，切点分别为 A、B，若线段 AB
5、中点的纵坐标为 6，求抛物线的方程。 分析：由于韦达交点 M（2，-2p）在直线上，所以易证直线 AB 过定点（0，2p） 所以设直线的方程为：y=kx+2p，联立 y=kx+2p x2=2py 得 x2-2pkx-4p2=0 设 A（x1，y1） 、B（x2，y2）所以x1+x2=2pk，x1x2=-4p2；又由于韦达交点 M（2，-2p）= ， =（pk，-2p）所以 pk=2 y1+y2=12p2-3p+2=0 p=1 或 p=2 所求抛物线的方程为 x2=2y 或 x2=4y （2）抛物线的两切线的韦达交点为 ， 4，与之对应的直线 AB 的中点为 ， ，故这两点的连线与抛物线的对称轴平行。 抛物线的两切线的韦达交点的性质的挖掘，如果运用得好，能使我们很快找到问题的答案，同时，使学生对学习数学产生兴趣，提供了思考问题的方法。比如抛物线的两切线的韦达交点的性质只在开口向上下的抛物线适用，能否类比到开口向左右的抛物线呢？ （作者单位：浙江省宁波市鄞州五乡中学数学组）
