1、静电场计算题1.如图所示，真空中一长为 L 的均匀带电细直杆，总电荷为 q，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为 d 的 P点的电场强度 解：设杆的左端为坐标原点 O，x 轴沿直杆方向带电直杆的电荷线密度为 =q / L，在 x 处取一电荷元 dq = dx = qdx / L，它在 P 点的场强： 204dxE2 分20dxLq总场强为 3 分Lxdq02)(44方向沿 x 轴，即杆的延长线方向 2.一个细玻璃棒被弯成半径为 R 的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下半部分均匀分布有电荷 Q，如图所示试求圆心 O 处的电场强度 解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在 处取微小电荷 dq
2、 = dl = 2Qd / 它在 O 处产生场强2 分d24200RQqE按 角变化，将 dE 分解成二个分量： sinsin20xdcosco20Ry3 分对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷0 2 分2/2/02 dsinsiQEx2 分202/02codcRQRy 所以 1 分jjEiyx0L d q P+Q Q R O x y dq R O x y dL ddqx (L+d x) dExO3.如图所示，一电荷面密度为 的“无限大”平面，在距离平面 a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为 R 的圆面积范围内的电荷所产生的试求该圆半径的大小 解：电荷面密度为 的无限大均匀带
3、电平面在任意点的场强大小为 E= / (20) 2 分以图中 O 点为圆心，取半径为 rrdr 的环形面积，其电量为 dq = 2rdr 2 分它在距离平面为 a 的一点处产生的场强 2 分2/320drE则半径为 R 的圆面积内的电荷在该点的场强为 ra02/322 分201R由题意,令 E= / (40)，得到 R 2a3分4.电荷线密度为 的“无限长”均匀带电细线，弯成图示形状若半圆弧 AB 的半径为 R，试求圆心 O 点的场强 解：以 O 点作坐标原点，建立坐标如图所示 半无限长直线 A在 O 点产生的场强 ， 1E2 分jiRE014半无限长直线 B在 O 点产生的场强 ， 2 2
4、分ji02半圆弧线段在 O 点产生的场强 ， 3E 2 分iRE03由场强叠加原理，O 点合场强为 2 分3215. 将一“无限长”带电细线弯成图示形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为 ，四分之一圆弧 AB 的半径为 R，试求圆心 O 点的场强 a R O E dr r OA B O x 3E 2 1 y OBA y x3E21ABROOBA解：在 O 点建立坐标系如图所示 半无限长直线 A在 O 点产生的场强： 2 分jiRE014半无限长直线 B在 O 点产生的场强： 2 分ji02四分之一圆弧段在 O 点产生的场强： 4 分jiRE034由场强叠加原理，O 点合场强为： 2 分ji0321
5、46.图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为： Exbx， Ey0， Ez0 高斯面边长 a0.1 m，常量 b1000 N/(Cm)试求该闭合面中包含的净电荷(真空介电常数 08.8510 -12 C2N-1m-2 )解：设闭合面内包含净电荷为 Q因场强只有 x 分量不为零，故只是二个垂直于 x 轴的平面上电场强度通量不为零由高斯定理得：-E1S1+ E2S2=Q / 0 ( S1 = S2 =S ) 3 分则 Q =0S(E2- E1) =0Sb(x2- x1)= 0ba2(2aa) = 0ba3 = 8.8510-12 C 2 分7.真空中一立方体形的高斯面,边长 a0.1
6、 m，位于图中所示位置已知空间的场强分布为： Ex=bx , Ey=0 , Ez=0常量 b1000 N/(Cm) 试求通过该高斯面的电通量 解： 通过 xa 处平面 1 的电场强度通量1 = -E1 S1= -b a3 1 分通过 x = 2a 处平面 2 的电场强度通量2 = E2 S2 = b a3 1 分其它平面的电场强度通量都为零因而通过该高斯面的总电场强度通量为=1+2 = b a3-b a3 = b a3 =1 Nm2/C 3 分8. 图示一厚度为 d 的“无限大”均匀带电平板，电荷体密度为 试求板内外的场强分布，并画出场强随坐标 x 变化的O x z y a a a a O y
7、 x a 2a E1 E2 2 O x d a a aaxzyO图线，即 Ex 图线(设原点在带电平板的中央平面上，Ox 轴垂直于平板) 解：由电荷分布的对称性可知在中心平面两侧离中心平面相同距离处场强均沿 x 轴，大小相等而方向相反 在板内作底面为 S 的高斯柱面 S1（右图中厚度放大了）, 两底面距离中心平面均为x, 由高斯定理得 01/2E则得 0/即 4 分 1xdx1在板外作底面为 S 的高斯柱面 S2 两底面距中心平面均为 ，由高斯定理得 02/E则得 02/ddx1即 ， 02/x24 分0/dEdx21E x 图线如图所示 2 分9.一半径为 R 的带电球体，其电荷体密度分布为
8、 =Ar (rR) ， =0 (rR)A 为一常量试求球体内外的场强分布解：在球内取半径为 r、厚为 dr 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为 rAVqd42在半径为 r 的球面内包含的总电荷为 (rR)03rV以该球面为高斯面，按高斯定理有 0421/E得到 ， (r R)0/方向沿径向，A0 时向外, AR)4/RE方向沿径向，A0 时向外，A2R)求两球心间的电势差 解：均匀带电球面内的电势等于球面上的电势球面外的电势相当于电荷集中在球心上的点电荷的电势由此，按电势叠加原理球心 O1 处的电势为： 2 分dQRU0014球心 O2 处的电势为： 2 分2EqO A R 3 8 B O1+QR
9、 O2-QdR则 O1、O 2 间的电势差为： 1 分RdQU00122121.一电子射入强度的大小为 5000 NC-1 的均匀电场中，电场的方向竖直向上电子初速度为 v010 7 ms-1，与水平方向成 30角，如图所示求电子从射入位置上升的最大高度(电子的质量 m9.110 -31 kg，电子电荷绝对值e1.610 -19 C) 解：电子在电场中作斜抛运动，忽略重力，在竖直方向上有：ayeE / m 1 分vy v 0sineEt / m 1 分1 分21sineEtt电子上升至最高点的条件是 vy0，于是有： v0sineEt 1 / m0t1 = mv0sin / (eE) 1 分
10、m 1 分2214.sine22.在真空中一长为 l10 cm 的细杆上均匀分布着电荷，其电荷线密度 1.010-5 C/m在杆的延长线上，距杆的一端距离 d10 cm 的一点上，有一点电荷 q0 2.010-5 C，如图所示试求该点电荷所受的电场力(真空介电常量0 8.8510-12 C2N-1m-2 )解：选杆的左端为坐标原点，x 轴沿杆的方向 在 x 处取一电荷元 dx，它在点电荷所在处产生场强为： 3 分204dxE整个杆上电荷在该点的场强为： ldxdl 00242 分点电荷 q0 所受的电场力为： 0.90 N 沿 x 轴负向 3 分lqF0423.如图所示，有一高为 h 的直角形
11、光滑斜面, 斜面倾角为在直角顶点 A 处有一电荷为q 的点电荷另有一质量为 m、电荷q 的小球在斜面的顶点 B 由静止下滑设小球可看作质点，试求小球到达斜面底部 C 点时的速率解：因重力和电场力都是保守力，小球从顶点 B 到达底部C 点过程中能量守恒 3 分ctg42140202 hqmghqvO xyE 0vd l q0q0 O x dx d+ x l d x B A C +q、 m h q 2 分2/102tghmhqv24.一半径为 R 的均匀带电细圆环，其电荷线密度为 ，水平放置今有一质量为 m、电荷为 q 的粒子沿圆环轴线自上而下向圆环的中心运动(如图)已知该粒子在通过距环心高为 h
12、 的一点时的速率为 v1，试求该粒子到达环心时的速率 解：带电粒子处在 h 高度时的静电势能为 2/1201RhqW2 分到达环心时的静电势能为 2 分2/据能量守恒定律 2 分111mgmvv以上三式联立求解得到 2 分2/2021 Rhqgh25.如图所示，两个电荷分别为 q12010 -9 C 和q21210 -9 C 的点电荷，相距 5 m在它们的连线上距q2 为 1 m 处的 A 点从静止释放一电子，则该电子沿连线运动到距 q1 为 1 m 处的 B 点时，其速度多大？( 电子质量me9.11 10-31 kg，基本电荷 e1.610 -19 C， 910 9 Nm2/C2 ) 04
13、解：设无限远处为电势零点，则 A、B 两点的电势为： 210201044rqrqU代入 r1=4 m，r 2=1 m 得 UA63 V 2 分 2102010 rrB代入 1 m， 4 m 得 UB153 V 2 分r2电子在运动过程中，电势能减少，动能增加 2 分BAe2v8.7110 6 m/s 2 分e26.两个同心的导体球壳，半径分别为 R10.145 m 和 R20.207 m，内球壳上带有负电荷q-6.010 -8 C一电子以初速度为零自内球壳逸出设两球壳之间的区域是真空，试计算电子撞到外球壳上时的速率(电子电荷 -1.610 -19 C，电子质量 me9.110 -31 O R h m、 q v1 B A q1 q2 1 m 1 m 5 m -e
