1、GPS 控制网优化设计摘要：控制网的优化设计，是在限定精度、可靠性和费用等质量标准下，寻求网设计的最佳极值。根据 GPS 控制网的特点，解决其优化设计问题，减少布网和施测的盲目性，具有一定的经济效益和社会效益，文中利用解析模拟算法，对一个实例网进行优化设计，确定了其最优布网方案，并得到了一些有益的结论。 关键词：GPS；控制网；优化设计 中图分类号：P228.4 文献标识码：A 0 引言 控制网的优化设计，是在限定精度、可靠性和费用等质量标准下，寻求网设计的最佳极值。与传统控制网相似，GPS 网的设计也存在优化问题。但是，由于 GPS 测量无论是在测量方式上，还是在构网方式上均完全不同于传统控
2、制测量，因而其优化设计的内容也不同于传统的优化设计。本文主要根据 GPS 控制网的特点，解决其优化设计问题，以减少布网和施测的盲目性。 1 GPS 控制网的优化设计 GPS 网的优化设计主要归结为两类内容的设计。一类是 GPS 网基准的优化设计，包括位置基准的设计、尺度基准的设计和转换基准的设计；另一类是 GPS 网图形结构强度的优化设计，包括网的精度设计和网的可靠性设计。 传统控制网的基准优化设计是选择一个外部配置，使得达到一定的要求，而 GPS 网的基准优化设计，主要是对坐标未知参数进行设计。基准选取的不同将会对网的精度产生直接影响，其中包括 GPS 网基线向量解中位置基准的选择，以及 G
3、PS 网转换到地方坐标系所需的基准设计。另外，由于 GPS 尺度往往存在系统误差，也应提出对 GPS 网尺度基准的优化设计。 1.1 GPS 网的精度设计 精度是用来衡量网的坐标参数估值受观测偶然误差影响程度的指标。网的精度设计是根据偶然误差传播规律，按照一定的精度设计方法，分析网中各未知点平差后预期能达到的精度。对于 GPS 网的精度要求，较为通行的方法是用网中点之间的距离误差来表示，其形式为 （1-1） 式中，为网中点之间距离的标准差（mm） ，为固定误差（mm） ，为比例误差系数，为两点之间的距离（km） 。 GPS 控制网设计时，可以在 WGS84 坐标系统下进行控制点三维精度估算，然
4、后应用精度转换公式转换到二维，也可以直接估算控制点的二维精度，下面介绍直接估算控制点二维精度的方法。 设 GPS 网二维误差方程及约束条件方程为 （1-2） 则可按最小二乘组成法方程为 （1-3） 式中， ， ，为所设参数（坐标改正数） ，为联系数。 由于 GPS 网各基线向量观测值之间可认为是相互独立的，且误差方程的坐标未知数的系数阵均为单位阵，因而其法方程既简单又有规律，可分别对每个观测值的观测方程组成法方程， 再将这些单个法方程的系数和常数项，加到总法方程对应的系数项和常数项上。 设有一条二维独立基线向量观测值为：，待定点改正数分别为和，则该基线向量的观测误差方程为 （1-4） 其中 （
5、1-5） 写成矩阵的形式为 （1-6） 设，即为误差方程的系数阵。 二维基线向量观测值的权阵可以根据 GPS 接收机的标称精度求得，具体方法为根据标称精度计算 GPS 的边长方差和方位角方差，其计算公式为 （1-7） 式中， 、分别是 GPS 接收机边长测量固定误差和比例误差因子， 、分别是 GPS 接收机方向测量固定误差和比例误差因子，是基线近似长度。 因为 （1-8） 则有微分关系式 （1-9） 根据协方差传播律，可求得基线向量观测值的协方差阵为 （1-10） 式中，是基线近似坐标方位角，设单位权方差为则基线的权为（设计阶段） 。有了误差方程系数阵和权阵就可以组成法方程系数阵中的子阵。GP
6、S 控制网二维平差的法方程系数矩阵中的按控制点分块，则对角线上的子块为该点周围基线权阵的和，非对角线上的子块反映了该点与其它控制点之间的关系，两控制点之间有基线相连，则相应的非对角线子块为该基线权阵乘以（-1） ，没有基线相连，则为零。 当网中有已知点的坐标约束条件时，则 GPS 网中与该点重合的点的基线向量的坐标改正数为零，即 （1-11） 设法方程系数阵的逆矩阵为 （1-12） 则有 （1-13） 未知数的方差阵为根据可以计算各待定点的坐标中误差、点位中误差、点位误差椭圆和相对误差椭圆，也可以计算方位角中误差和边长中误差。 1.2 GPS 网的可靠性设计 GPS 网的可靠性概念与传统控制网
7、的可靠性概念一样，是用于衡量网辨别粗差、抵抗粗差影响能力的度量指标，也分为内可靠性指标和外可靠性指标。 对于 GPS 网，定义下式为网的平均可靠性指标 （1-14） （1-15） 其中，S 为观测期数，m 为接收机台数，n 为总点数。式（1-15）从平均意义上反映网中全部观测值的可靠率。 1.3 经费指标 经费也取决于网点总数和重复设站率，设一台接收机观测一期的平均费用为，则总费用为 （1-16） 2 GPS 控制网优化设计实例 本文基于解析模拟算法，根据 GPS 基线向量二维平差原理，实现了 GPS 网精度、可靠性、效率与费用的估算。先对一个 8 个点组成的 GPS模拟网进行网形设计，并估算
8、网的质量指标。根据所得的数值，分析该软件在优化设计中的特点。经分析得： 在设计阶段，GPS 网的精度与点位选择无关，即当某点在一定范围内产生位移时，不影响整网的精度。 当网为点连接时，网的平均精度比边连接降低很多。所以，GPS 网的精度与网形有关。 当考虑选择不同起算点对网的精度影响时，起算点选在网的中部位置，且它与多条基线相连时，则网的平均精度较高，各点点位精度也较均匀；若选择的起算点位于网的一侧，则网的精度较上种选择有所降低，且各点点位精度分布不均匀。所以，GPS 网的精度与起算点的选择有关。 当网中追加独立基线时，则网的精度有所提高；当考虑加测基线后单点精度的增益时，加测基线所对应的两端
9、点精度提高幅度最大，而网中原精度较高的点的精度提高幅度最小甚至不变。 当在网中继续追加独立基线时，网的精度仍有所提高，但提高的幅度变小，且网中各点点位精度趋于均匀。 根据以上分析，结合实例的情况，对于一个由 14 个点组成的 GPS 网进行优化设计，步骤如下： 首先根据布网目的，在图上进行选点，然后到野外踏勘选点，以保证所选点满足本次控制测量任务要求和野外观测应具备的条件，进而在图上获得要施测点位的概略二维坐标。 本次使用 4 台 GPS 接收机，按照 GPS 网的布网原则，选取 3 条独立基线设计网的观测图形。 本例中将网形布设为 3 种不同边点混合连接的形式，所以在它们的平均可靠性、效率指
10、标和费用指标基本相同情况下，采用解析模拟方法，根据精度、可靠性、效率和费用计算模型，估算各方案中的精度数值，找到其中精度高且分布均匀的方案，从而确定最优方案。 本实例中的近似坐标如表 2-1 所示。 表 2-1 近似坐标 预先设置的 3 个方案的网形分别如图 2-1、图 2-2 和图 2-3 所示。 由表中数据得，虽然这 3 个方案的网形都是边点混合连接，但平差结果却并不一样，其中方案 1 和方案 2 的平均精度相同且是方案中最高的，但方案 2 中的各点点位精度明显分布不均匀，所以方案 1 是最优的。对照图 2-2 到图 2-3 可知，在布设边点混合连接的网形时，也需考虑公共点和公共边的分布情
11、况，布设合理才能确保网的精度。 分别对 3 个方案进行精度估算，其结果如表 2-2 所示。 图 2-1 实例网方案一 图 2-2 实例网方案二 图 2-3 实例网方案三 表 2-2 边点混合连接不同方案精度分析 3 结论 本文研究的内容是 GPS 控制网优化设计的理论和方法，重点是 GPS网基准的优化设计和 GPS 网网形的优化设计。在理论和方法分析的基础上，通过实例进行优化设计，得出了一些有益的结论： 在设计阶段，GPS 网的精度与网形的布设、起算点的选择和独立基线的选择有关。 当在网中追加独立基线时，网的精度有所提高。若原网形布设的比较合理，则单独加测不同的独立基线对整网精度影响的差别并不显著。参考文献 1 周秋生.测量控制网优化设计M.测绘出版社，1991. 2 林玉祥控制测量M北京：测绘出版社，2009 3 徐绍铨 GPS 测量原理及应用M武汉大学出版社，2008 4 孔祥元，郭际明 控制测量学M武汉大学出版社，2010
