1、 1 数字信号处理课后答案 1.2 教材第一章习题解答 1. 用单位脉冲序列 ()n 及其加权和表示 题 1 图 所示的序列。 解： ( ) ( 4 ) 2 ( 2 ) ( 1 ) 2 ( ) ( 1 ) 2 ( 2 ) 4 ( 3 ) 0 .5 ( 4 ) 2 ( 6 )x n n n n n n n nnn 2. 给定信号： 2 5 , 4 1( ) 6 , 0 40,nnx n n 其 它（ 1）画出 ()xn 序列的波形，标上各序列的值； （ 2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示 ()xn 序列； （ 3）令 1 ( ) 2 ( 2)x n x n，试画出 1()xn波形； （ 4）
2、令 2 ( ) 2 ( 2)x n x n，试画出 2()xn波形； （ 5）令 3 ( ) 2 (2 )x n x n，试画出 3()xn波形。 解： （ 1） x(n)的波形如 题 2 解图（一） 所示。 （ 2） ( ) 3 ( 4 ) ( 3 ) ( 2 ) 3 ( 1 ) 6 ( ) 6 ( 1 ) 6 ( 2 ) 6 ( 3 ) 6 ( 4 )x n n n n n nn n n n （ 3） 1()xn的波形是 x(n)的波形右移 2 位，在乘以 2，画出图形如 题 2 解图（二）所示。 （ 4） 2()xn的波形是 x(n)的波形左移 2 位，在乘以 2，画出图形如 题 2 解
3、图（三）所示。 （ 5）画 3()xn时，先画 x(-n)的波形，然后再右移 2 位， 3()xn波形如 题 2 解图（四） 所示。 3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。 （ 1） 3( ) c o s ( )78x n A n ， A 是常数； （ 2） 1()8() jnx n e 。 2 解： （ 1） 3 2 14,73w w，这是有理数，因此是周期序列，周期是 T=14； （ 2） 12, 168w w ，这是无理数，因此是非周期序列。 5. 设系统分别用下面的差分方程描述， ()xn 与 ()yn 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。 （ 1）
4、 ( ) ( ) 2 ( 1 ) 3 ( 2 )y n x n x n x n ； （ 3） 0( ) ( )y n x n n， 0n 为整常数； （ 5） 2( ) ( )y n x n ； （ 7）0( ) ( )nmy n x m。 解： （ 1）令：输入为 0()xn n ，输出为 0 0 00 0 0 0( ) ( ) 2 ( 1 ) 3 ( 2)( ) ( ) 2 ( 1 ) 3 ( 2) ( )y n x n n x n n x n ny n n x n n x n n x n n y n 故该系统是时不变系统。 121 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5、 2 ( ( 1 ) ( 1 ) ) 3 ( ( 2 ) ( 2 ) )y n T a x n b x na x n b x n a x n b x n a x n b x n 1 1 1 1 ( ) ( ) 2 ( 1 ) 3 ( 2 )T a x n a x n a x n a x n 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( 1 ) 3 ( 2 )T b x n b x n b x n b x n 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) T a x n b x n a T x n b T x n 故该系统是线性系统。 （ 3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明
6、。 令输入为 1()xn n ，输出为 10( ) ( )y n x n n n ，因为 1 1 0( ) ( ) ( )y n n x n n n y n 故延时器是一个时不变系统。又因为 1 2 1 0 2 0 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T a x n b x n a x n n b x n n a T x n b T x n 故延时器是线性系统。 （ 5） 2( ) ( )y n x n 3 令：输入为 0()xn n ，输出为 2 0( ) ( )y n x n n，因为 200( ) ( ) ( )y n n x n n y n 故系统是时不变系统。又因
7、为 21 2 1 2122212 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( )T a x n b x n a x n b x na T x n b T x na x n b x n 因此系统是非线性系统。 （ 7） 0( ) ( )nmy n x m令：输入为 0()xn n ，输出为 00( ) ( )nmy n x m n，因为 0 0 0( ) ( ) ( )nnmy n n x m y n 故该系统是时变系统。又因为 1 2 1 2 1 20 ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) nmT a x n b x n a x m b x m a T
8、 x n b T x n 故系统是线性系统。 6. 给定下述系统的差分方程，试判断系统是否是因果稳定系统，并说明理由。 （ 1） 101( ) ( )Nky n x n kN； （ 3） 00( ) ( )nnk n ny n x k ； （ 5） ()() xny n e 。 解： （ 1）只要 1N ，该系统就是因果系统，因为输出只与 n 时刻的和 n 时刻以前的输入有关。如果 ()xn M ，则 ()y n M ，因此系统是稳定系统。 （ 3）如果 ()xn M ， 000( ) ( ) 2 1nnk n ny n x k n M ，因此系统是稳定的。系统是非因果的，因为输出还和 x(n
9、)的将来值有关 . （ 5）系统是因果系统，因为系统的输出不取决于 x(n)的未来值。如果 ()xn M ，则 ()()() xnx n My n e e e ，因此系统是稳定的。 4 7. 设线性时不变系统的单位脉冲响应 ()hn 和输入序列 ()xn 如题 7 图所示，要求画出输出输出 ()yn 的波形。 解： 解法（ 1） :采用图解法 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )my n x n h n x m h n m 图解法的过程如 题 7 解图 所示。 解法（ 2） :采用解析法。按照 题 7 图 写出 x(n)和 h(n)的表达式 : ( ) ( 2 ) ( 1 ) 2 ( 3
10、)1( ) 2 ( ) ( 1 ) ( 2 )2x n n n nh n n n n 因为 ( ) * ( ) ( )( ) * ( ) ( )x n n x nx n A n k A x n k 所以 1( ) ( ) * 2 ( ) ( 1 ) ( 2 ) 21 2 ( ) ( 1 ) ( 2 )2y n x n n n nx n x n x n 将 x(n)的表达式代入上式，得到 ( ) 2 ( 2 ) ( 1 ) 0 . 5 ( ) 2 ( 1 ) ( 2 ) 4 .5 ( 3 ) 2 ( 4 ) ( 5 )y n n n n n nn n n 8. 设线性时不变系统的单位取样响应 (
11、)hn 和输入 ()xn 分别有以下三种情况，分别求出输出 ()yn 。 （ 1） 45( ) ( ) , ( ) ( )h n R n x n R n； （ 2） 4( ) 2 ( ) , ( ) ( ) ( 2 )h n R n x n n n ； （ 3） 5( ) 0 .5 ( ) , ( )n nh n u n x R n。 解： （ 1） 45( ) ( ) * ( ) ( ) ( )my n x n h n R m R n m 先确定求和域，由 4()Rm和 5()R n m 确定对于 m的非零区间如下： 0 3, 4m n m n 5 根据非零区间，将 n 分成四种情况求解：
12、0, ( ) 0n y n 00 3 , ( ) 1 1nmn y n n 344 7 , ( ) 1 8mnn y n n 7 , ( ) 0n y n 最后结果为 0 , 0 , 7( ) 1 , 0 38 , 4 7nny n n nnn y(n)的波形如 题 8 解图（一） 所示。 （ 2） 4 4 4( ) 2 ( ) * ( ) ( 2 ) 2 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) ( 1 ) ( 4 ) ( 5 ) y n R n n n R n R nn n n n y(n)的波形如 题 8 解图（二） 所示 . （ 3） 55( ) ( ) * ( )( ) 0. 5 ( )
13、0. 5 ( ) 0. 5 ( )n m n mmmy n x n h nR m u n m R m u n m y(n)对于 m的非零区间为 0 4,m m n 。 0, ( ) 0n y n 1 110 1 0 . 50 4 , ( ) 0 . 5 0 . 5 0 . 5 ( 1 0 . 5 )0 . 5 2 0 . 51 0 . 5nnn m n n n nmn y n 5410 1 0 . 55 , ( ) 0 . 5 0 . 5 0 . 5 3 1 0 . 51 0 . 5n m n nmn y n 最后写成统一表达式： 5( ) ( 2 0 . 5 ) ( ) 3 1 0 . 5
14、( 5 )nny n R n u n 11. 设系统由下面差分方程描述： 11( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )22y n y n x n x n ； 设系统是因果的，利用递推法求系统的单位取样响应。 6 解： 令： ( ) ( )x n n 11( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )22h n h n n n 2110 , ( 0) ( 1 ) ( 0) ( 1 ) 122111 , ( 1 ) ( 0) ( 1 ) ( 0) 122112 , ( 2) ( 1 )22113 , ( 3 ) ( 2) ( )22n h hn h hn h hn h h 归纳起来，结果为 11( ) (
15、) ( 1 ) ( )2 nh n u n n 12. 有一连续信号 ( ) c o s( 2 ),ax t ft式中， 20 , 2f Hz （ 1） 求出 ()axt的周期 。 （ 2） 用采样间隔 0.02Ts 对 ()axt进行采样 ， 试写出采样信号 ()axt的表达式 。 （ 3） 画出对应 ()axt的时域离散信号 (序列 ) ()xn 的波形 ， 并求出 ()xn 的周期 。 第二章 教材第二章习题解答 1. 设 ()jwXe 和 ()jwYe 分别是 ()xn 和 ()yn 的傅里叶变换 ， 试求下面序列的傅里叶变换 ： （ 1） 0()xn n ； （ 2） ()xn ；
16、（ 3） ( ) ( )xnyn ； （ 4） (2)xn。 解： （ 1）00 ( ) ( ) jwnnF T x n n x n n e 7 令 00,n n n n n n ，则 00()0 ( ) ( ) ( )jw n n jw n jwnF T x n n x n e e X e （ 2） * * * * ( ) ( ) ( ) ( )jwn jwn jwnnF T x n x n e x n e X e （ 3） ( ) ( ) jwnnF T x n x n e 令 nn ，则 ( ) ( ) ( )jw n jwnF T x n x n e X e （ 4） ( ) * (
17、) ( ) ( )jw jwF T x n y n X e Y e 证明 ： ( ) * ( ) ( ) ( )mx n y n x m y n m ( ) * ( ) ( ) ( ) jw nnmF T x n y n x m y n m e 令 k=n-m，则 ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )jw k jw nkmjw k jw nkmjw jwF T x n y n x m y k e ey k e x m eX e Y e 2. 已知 001,()0,jwwwXeww 求 ()jwXe 的傅里叶反变换 ()xn 。 解： 000s i n1() 2 w
18、jw nw wnx n e d w n 3. 线性时不变系统的频率响应 (传输函数 ) ()( ) ( ) ,jw jw j wH e H e e 如果单位脉冲响应 ()hn 为实序列 ， 试证明输入 0( ) c o s( )x n A w n 的稳态响应为 00( ) ( ) c os ( ) jwy n A H e w n w 。 8 解： 假设输入信号 0() jwnx n e ，系统单位脉冲相应为 h(n)，系统输出为 00 0 0 0()( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) jw njw n m jw n jw m jwmmy n h n x n h m e e h
19、m e H e e 上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。 000 0 0 00 0 0 0 0 00( ) ( )1( ) c o s( ) 21( ) ( ) ( ) 21 ( ) ( ) 2jw n jw njjjw n jw jw n jwjjjw n jw j w jw n jw j wjjx n A w n A e e e ey n A e e H e e e H eA e e H e e e e H e e 上式中 ()jwHe 是 w的偶函数，相位函数是 w的奇函数， 0 0 0 0 00( )
20、 ( )00( ) ( ) , ( ) ( )1( ) ( ) 2( ) c o s ( ( ) )jw jwjw jw n j w jw n j wjjjwH e H e w wy n A H e e e e e e eA H e w n w 4. 设 1, 0,1()0,nxn 其 它将 ()xn 以 4 为周期进行周期延拓 ， 形成周期序列 ()xn ， 画出 ()xn 和 ()xn 的波形 ， 求出 ()xn 的离散傅里叶级数 ()Xk 和傅里叶变换 。 解： 画出 x(n)和 ()xn 的波形如 题 4 解图 所示。 2314 2 2004 4 4 4( ) ( ) ( ) 1( )
21、 2 c o s( )4j k n j k n j knnj k j k j k j kX k D F S x n x n e e ee e e k e , ()Xk 以 4 为周期 ， 或者 1 1 111 2 2 224 1 1 10 2 4 4 41s in1 ( ) 2()1s in1 ( )4j k j k j kjkj k n j kj k j k j k j knke e e eX k e eke e e e , ()Xk 以 4 为周期 9 422( ) ( ) ( ) ( )44( ) ( )22c os( ) ( )42jwkkjkkX e FT x n X k w kX
22、k w kk e w k 5. 设如图所示的序列 ()xn 的 FT 用 ()jwXe 表示 ， 不直接求出 ()jwXe ， 完成下列运算 ： （ 1） 0()jXe ； （ 2） ()jwX e dw； （ 5） 2()jwX e dw解： （ 1） 703( ) ( ) 6jnX e x n（ 2） ( ) ( 0 ) 2 4jwX e d w x （ 5） 72 23( ) 2 ( ) 2 8jwnX e d w x n 6. 试求如下序列的傅里叶变换 : （ 2）2 11( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )22x n n n n ； （ 3） 3 ( ) ( ), 0 1nx n
23、a u n a 解： （ 2） 2211( ) ( ) 1221 1 ( ) 1 c os2jw jwn jw jwnjw jwX e x n e e ee e w （ 3） 3 0 1( ) ( ) 1jw n jwn n jwn jwnnX e a u n e a e ae 7. 设 : 10 （ 1） ()xn 是实偶函数 ， （ 2） ()xn 是实奇函数 ， 分别分析推导以上两种假设下 ， ()xn 的傅里叶变换性质 。 解： 令 ( ) ( )jw jwnnX e x n e （ 1） x(n)是实、偶函数， ( ) ( )jw jwnnX e x n e 两边取共轭，得到 * (
24、 )( ) ( ) ( ) ( )jw jw n j w n jwnnX e x n e x n e X e 因此 *( ) ( )jw jwX e X e 上式说明 x(n)是实序列， ()jwXe 具有共轭对称性质。 ( ) ( ) ( ) c o s s in jw jw nnnX e x n e x n w n j w n 由于 x(n)是偶函数， x(n)sinwn 是奇函数，那么 ( ) sin 0n x n wn 因此 ( ) ( ) c o sjwnX e x n w n 该式说明 ()jwXe 是实函数，且是 w的偶函数。 总结以上 x(n)是实、偶函数时，对应的傅里叶变换 ()jwXe 是实、偶函数。 （ 2） x(n)是实、奇函数。 上面已推出，由于 x(n)是实序列， ()jwXe 具有共轭对称性质，即 *( ) ( )jw jwX e X e ( ) ( ) ( ) c o s s in jw jw nnnX e x n e x n w n j w n 由于 x(n)是奇函数，上式中 ( )cosx n wn 是奇函数，那么 ( ) cos 0n x n wn
