1、2015-2016(1)大学物理 A(2)作业参考答案第十三章 机械振动一. 选择题:【 D 】 1 （基础训练 2） 一劲度系数为 k 的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为 m 的物体，如图 13-15 所示。则振动系统的频率为 ：(A) (B) mk3(C) (D) k6提示：劲度系数为 k 的轻弹簧截成三等份，每份的劲度系数为变为 3k，取出其中 2 份并联，系统的劲度系数为 6k.【 C 】 2 （基础训练 4） 一质点作简谐振动，周期为 T当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12 (B)
2、 T /8 (C) T /6 (D) T /4提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上，矢量转过的角位移为 ，对应的时间为 T/6.13 B 3、 （基础训练 8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为 (A) (B) 2(C) (D) 01提示：使用谐振动的矢量图示法，合振动的初始状态为 ,初相位为2A D 4、 （自测提高 4）质量为 m 的物体，由劲度系数为 k1 和 k2 的两个轻质弹簧串联后连接到固定端，在光滑水平轨道上作微小振动，则振动频率为：(A) (B) kv21mv2(C) (D) 21 )(121k提示：两
3、根劲度系数分别为 k1 和 k2 的两个轻质弹簧串联后，可看成一根弹簧，其弹x t O A/2 -A x1x2图 13-15 k m 2015-2016(1)大学物理 A(2)作业参考答案性系数满足： ， ， ，可计算得到 v21k21k)(21km【 B 】 5、 （自测提高 5）一简谐振动曲线如图所示则振动周期是(A) 2.62 s (B) 2.40 s (C) 2.20 s (D) 2.00 s 提示：使用谐振动的矢量图示法，初始状态旋转矢量位于第四象限，初始相位为 ，到第一次回到平衡位置时，旋转矢量转过的角度为3，此过程经历时间为 1s，可得 ，等到周期为 2.4s6532 65【 D
4、 】6、 （自测提高 6）弹簧振子在水平光滑桌面上作简谐振动，其弹性力在半个周期内所做的功为：（ ）A B C D 02k21kA241k提示：振动方程为 ，经过半个周期，质点偏离平衡位置的位移为)cos(0tx，这两个位置弹簧所具有的弹性势能 相同，所以所做的)cos(0tx 21kxEp功为零。二 填空题7、(基础训练 12) 一系统作简谐振动, 周期为 T，以余弦函数表达振动时，初相为零在 0t 范围内，系统在 t =_ T/8_时刻动能和势能相等 T41提示：动能和势能相等，为总能量的一半，此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的 ，相位为 ，因为初始相位为零，t=T/828、(自测提
5、高 9) 两个弹簧振子的振动周期都是 0.4S，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过 0.5S 后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两个振动的相位差为： 提示：第一个振子在开始运动时，其初始相位为 ，经过 后，振动相2TS415.0位为 ，此时第二个振动才从正方向的端点开始运动，即第二个振动的初始相位为 0,所以两个振动的相位差为 图 13-23x (cm) t (s) O 4 2 1 2015-2016(1)大学物理 A(2)作业参考答案9、 (自测提高 10) 分别敲击某待测音叉和标准音叉，使他们同时发音，会听到时强时弱的拍音。若测得在 20S 内拍的次数为 180 次，
6、标准音叉的频率为 300Hz，则待测音叉的频率为：309Hz 或 291Hz 提示：20 秒内测得拍的次数为 180 次，拍的频率为 9；而待测音叉和标准音叉产生拍的频率为两个频率的差，即 30121v10、(自测提高 11) 一单摆的悬线长 l = 1.5 m，在顶端固定点的竖直下方 0.45 m 处有一小钉，如图 13-26 所示设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比 A1/A2 的近似值为_0.837_ 提示：当单摆在最低位置时，对左右两边有： 221)()(对于单摆 ， lg21Alg837.0:211l11(自测提高 13)一台摆钟每天慢 2 分 10 秒，其等效摆长 l = 0.99
7、5 m， 摆锤可上、下移动以调节其周期假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向上移动 2.99mm，才能使钟走得准确？提示：钟摆周期的相对误差 钟的相对误差 ，等效单摆的周期T/t/，这里 g 不变，则有 即有/l2T ld/2mtl 9.6041395./12 (自测提高 14)、两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图 13-27 所示由图可知 x 方向和 y 方向两振动的频率之比 xy =_4:3_ 提示：在同样的时间间隔内，X 方向的振动为 2Tx，而 y 方向的振动为 1.5Ty,周期之比为 3：4，频率之比相反为 4：3三 计算题13、 （基础训练 18）
8、如图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的弹性系数为 k=24N/m，物体的质量为 6kg，物体静止在平衡位置。设以大小为 F=10N 的水平恒力向左作用于物体（不计摩擦） ，使之由平衡位置向左运动了 0.05m 时撤去力F，当物体运动到左方最远位置时开始记时，求物体的运动方程。解：由题意可以得到，当物体在恒力作用下左移 0.05 米时，满足：图 13-27x y 图 13-26 l 0.45 m 小 钉 2015-2016(1)大学物理 A(2)作业参考答案FSmvkx221外力撤去后，系统能量守恒，有 222kA代入数据可以得到： ；m04.264k取向右为正，当物体达到左方最远位置为起始时刻，初
9、始相位为 振动方程为 )2cos(.tx14. （基础训练 23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI 单位) 如下： 410cos6.4310cos5. 21 txtx，(1) 求它们合成振动的振幅和初位相。 (2) 若另有一振动 ，)0cos(7.3tx问 为何值时， 的振幅为最大； 为何值时， 的振幅为最小。312解：（1）合成振动的振幅： m08.6.05.2A初相位： 1tan)4cos.43cos05.iin(ta10 因为旋转矢量位于第一象限，初始相位为 84.80(2) 若另有一振动 ， 振幅最大，需要振动的初相位相同，)1cs(7.3tx31x所以 ， 的振幅最小，需要初
10、相位相差 1800，这时432 4515. （基础训练 24） 在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为 100g 的物体，当物体处于平衡位置时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放。已知物体在 32内完成 48 次振动，振幅为 5cm。 （1）上述的外加拉力有多大？（2）当物体在平衡位置以下 1cm 时，此振动的动能和势能各是多少？解：(1)由题可知， S3kmT(因为从静止状态释放，此时偏离mNk/8.NAf 4.05.8平衡位置位移最大，此时弹簧的相对于平衡位置的形变为振幅 A)(2) 当物体在平衡位置以下 1cm 时，此振动的势能和动能分别是：2015-2016(1)大学物理
11、A(2)作业参考答案JkxEP 422 10.)0.(8.1 JAK 2222 107.).(8.516(自测提高 18) 在平板上放一质量为 m=2kg 的物体, 平板在竖直方向上作简谐振动,其振动周期 , 振幅 A=4cm, (1) 物体对平板的压力的表达式; (2) 平板以多大的振幅ST21振动时,物体才能离开平板?解: 物体的振动方程可以表示为: 取竖直方向为 x 轴方向,且竖)4cos(0.0tx直向上为正方向. 考虑到起始时刻未定,引入初始相位(1) 设平板对物体的弹力为 N, 物体所受重力 mg, 由牛顿第二定律得:2dtxmgNF合 mgtAmgtAt )4cos()4cos(
12、2022 其中, 0, 物体对平板的压力与弹力大小相等,方向相反)4cos(28.169tN (2) mgtAm)cs(2当 则 有要 求最 小时取 ,0,1)4cos( Nt02gmA.617 (自测提高 21) 质量为 M 的圆盘挂在劲度系数为 k 的轻弹簧下，并处于静止状态，如图 13-30 所示。一质量为 m 的物体，从距圆盘为 h的高度自由下落，并粘在盘上和盘一起振动。设物体和盘相碰瞬间t=0，而且碰撞时间很短。取碰后系统的平衡位置为坐标原点，竖直向下为坐标的正方向。试求系统的振动方程。所以，振动方程为：k图 13-30mM h2015-2016(1)大学物理 A(2)作业参考答案
13、)(2)(arcoscos()(2)( kMmghktmMkmghkx 或者： 22()cos(arctn) (ghkxk g解法 1：质量为 m 的物体与质量为 M 的物体先发生碰撞，碰撞后的瞬时速度大小为 v：，系统动能为：vMgh)(2)/(2mgh(1)(1Ek到系统达到平衡位置时，弹簧伸长量为 L =(M+m)g/k，则碰撞后瞬间物体偏离平衡位置的位移为 ，根据振动系统能量守恒，有：mgx(2)2221)(1kAxvMkmghkA)()(2根据条件，此振动的角频率为 M在 t=0 时，M m 在往平衡位置方向运动，并再经平衡位置向正最大位移方向移动，由此可判定在旋转矢量图中，矢量处于
14、第三象限。且 mgxk初始相位为： ; kMghk)(2)(arcos也可写成： arctn()m所以，振动方程为： )(2)(arcoscos()(2)( kMmghktMkghkx 2015-2016(1)大学物理 A(2)作业参考答案或者： 22 2()cos(arctn) (mghkkhxkMmMg解法 2：质量为 m 的物体与质量为 M 的物体先发生碰撞，碰撞后的瞬时速度大小为 v：，系统动能为：vgh)()/(2gh(1)(1mEk碰撞前后瞬间，弹簧的伸长量为 L1=Mg/k, 弹簧的弹性势能为 (2) 21pMgEkl到系统达到平衡位置时，弹簧伸长量为 L2 =(M+m)g/k，
15、设平衡位置时（Mm）物体的速度为 v,有：(3)(21)(21 121lgmEkLvMmpk ， (4)KA根据（1） （2） （3） （4）各式，得到 ；kMmghk)(2)(2根据条件，此振动的角频率为 mM在 t=0 时，M m 在往平衡位置方向运动，并再经平衡位置向正最大位移方向移动，由此可判定在旋转矢量图中，矢量处于第三象限。且 t=0 时物体偏离平衡位置位移为 x，gxk初始相位为： ; kMmghk)(2)(arcos也可写成： arctn()所以，振动方程为： )(2)(arcoscos()(2)( kMmghktmMkmghkx 2015-2016(1)大学物理 A(2)作业
16、参考答案或者： 22 2()cos(arctn) (mghkkhxkMmMg18 (自测提高 23) 如图 13-31 所示。一质点在 x 轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过 A点时作为计时起点( t = 0 )，经过 2 秒后质点第一次经过 B 点，再经过2 秒后质点第二次经过 B 点，若已知该质点在 A、B 两点具有相同的速率，且 = 10 cm 求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在 A 点处的A速率。 解：由旋转矢量图和 |vA| = |vB| 可知 T/2 = 4 秒， T = 8 s， = (1/8) s-1， s-1 (1) 以 的中点为坐标原点，x 轴指向右方 t =
17、0 时， cm 5cot = 2 s 时， cm sin)2(A由上二式解得 tg = 1 因为在 A 点质点的速度大于零，所以 = -3/4 或 5/4（如图） cm25c/x 振动方程 (SI)4cos(10t(2) 速率 (SI)3in4d2tv当 t = 0 时，质点在 A 点 m/s 22109.)3si(1045tx附加题1 （自测提高 24） 在伦敦与巴黎之间（约 S320 km ）挖掘地下直线隧道，铺设地下铁路设只在地球引力作用下时列车运行，试计算两城市之间需运行多少时间？列车的最大速度是多少？忽略一切摩擦，并将地球看作是半径为 R = 6400 km 的密度均匀的静止球体，已
18、知处于地球内部任一点处质量为 m 的质点所受地球引力的大小与它距地球中心的距离成正比，可由 表示，式中 G 为引力恒量， 为地球密度，r 为质点与地球中心的距离。(4)/3Gr解：见图，质量为 m 的质点 P 受的引力在指向 O 点的方向上的分力为 sin34rF上式中 xivB xA BOt = 0 t = 2 st = 4 svA vBx S M R 2/ r P A Bvx图 13-312015-2016(1)大学物理 A(2)作业参考答案又因 mgRG2314有 , 即 RG34将、式代入式，得 xF这表明，在 OP 方向上，F 正比于 x 并且方向相反，故为谐振动因此 Rmgt2d其解为 tRgAx/cos令 m 5106.)/(/sinSA则列车运行所需时间 42.3 minT/2列车最大速度 12max s98.vg
