1、1矩阵分析在计算电磁学中距量法之 ACA 算法的应用摘 要：本文主要介绍了计算电磁学距量法的原理，着重讲解了计算电磁学中距量法之 ACA 算法的基本原理和数值实现方法。矩阵分析作为一种数学工具，和其它的数学工具仪器，被运用在了这些算法中。并举出了实例说明 ACA 算法的有效性。说明 ACA 将原始距量法的的量级由O（N2）成功降低到 N4/3logN。 关键词：计算电磁学 距量法 ACA 算法 数值结果 中图分类号：O441 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2013）03-0035-02 一、计算电磁学 1864 年，麦克斯韦（Maxwell）用一组数学方程概括了宏观电磁场的基本
2、规律，奠定了理论电磁学的基础。经过两百多年的发展，电磁场的计算方法多种多样，按照数学模型课分为微分方程法，积分方程法和变分方程法等，按照求解域来分主要可分为频域法和时域法，按照近似性可分为解析法，半解析法和数值法。本文中所讨论的距量法属于后一种分类。 在电磁学中，解析法按照麦克斯韦方程组，在不同的初始条件和边界条件下求解特定的模型，能够给出精确解，但是它具有严格的限制，且对于一个特定的解不具有普遍性，求解很复杂，是早期人们研究电磁学的主要方法。 2随着现代数学方法、现代电磁场理论和现代计算机技术的发展，计算电磁学的数值法逐步兴起。数值法是直接将求解的数学方程进行离散化处理，将无限维的连续问题化
3、为限维的离散问题，将解析方程的求解问题换位代数方程的计算问题的一类方法。 二、距量法 距量法（The Method of Moments）是计算电磁学中的一种重要方法。距量法的基本原理是：选定基函数，把未知函数用基函数进行近似展开，带入算子方程，再选取适当的权函数，使在加权平均的意义下方程的余量等于零，由此将连续的算子方程转换为代数方程，从而可得到一个代数方程的系数矩阵。从这里我们可以看出，基函数的展开以及于加权函数的内积虽然属于泛函的范畴，但是所得到的这个系数矩阵属于矩阵分析的内容，对这个系数矩阵进行各种处理，是距量法中提高计算效率的关键所在。 距量法是一种近似计算的方法，因为它把定义域为
4、中无限维的问题近似为了有限维的问题，这就需要对其进行截断，而值域也是由有限维的函数序列展开的，所以会产生截断误差。而矩阵方程的求解也是近似的，所以它是一种近似算法。 三、ACA 算法 1.ACA 算法简介 适应交叉近似算法用以加速距量法中的计算（简称：ACA 算法）是近几年才发展起来的属于距量法中快速算法的一种。ACA 算法最早由 M. Bebendorf 于 2000 年提出。 3ACA 算法最初是由渐进光滑核发展而来的，包括了部分交互式方程，拉普拉斯/泊松方程等等，当它运用在电磁波传播、辐射、散射问题上时，积分核是振荡的，因此一般不用来描述渐进光滑核。所以，在严格意义下，ACA 算法不适宜
5、于运用在电磁波问题上。然而，ACA 算法是秩显式 LU分解的精髓，因此它继承了所有积分方程 QR 分解的优点。 2.ACA 算法的具体实现 用 Zmn 表示距量法中两个相距很远的分组之间的耦合矩阵，ACA 算法的目标是用一个矩阵 去近似 Zmn，我们用一下的导出形式来定义近似矩阵 其中，R 是误差矩阵， 是给定的误差大小，|代表矩阵的 F范数。秩 rmin（m，n） 。因此在计算中，我们并不用存储整个矩阵的mn 个元素，而是（m+n）r 个元素，当 m，n 比较大，而 r 比较小时，就大大减少了存储量。 3.数值结果 将 ACA 算法编程计算金属体的散射问题，已有数值实验证明，在电磁学中计算电
6、中尺寸的问题上，ACA 算法的量级为 N4/3logN。有效地减少了对计算机 CPU 和内存的开销。这点可以参考文献3。这里我们参考文献3中的一个数值结果。 我们来看 ACA 算法在计算 PEC（Perfect Electrical Conductor）球的散射问题上。图（a）表示的是算法消耗的内存随未知数增加的变化曲线。方块代表的是固定离散数目的情况，圆形代表的是固定频率的情况。图 （b）代表的是 ACA 算法随未知数的变化 CPU 的开销变化曲线。同样，4方块代表的是固定离散数目的情况，圆形代表的是固定频率的情况。 四、小结 本文从计算电磁学开始，介绍了的几种计算方法，阐述了距量法的原理，
7、着重讲解了计算电磁学中距量法之 ACA 算法的基本原理和数值实现方法。矩阵分析作为一种数学工具，和其它的数学工具仪器，被运用在了这些算法中。并举出了实例说明 ACA 算法的可行性和有效性。ACA 将原始距量法的的量级由 O（N2）成功降低到 N4/3logN。随着现代数学方法的发展，我们相信，会有新的算法出现来不断提高我们计算电磁学中算法的效率，等待着我们的研究与实践！ 参考文献 1 M. Bebendorf， “Approximation of boundary element matrices， ” Numer.Math.， vol. 86， no. 4， pp. 565589， Jun.
8、 2000. 2 Kezhong Zhao， “The Adaptive Cross Approximation Algorithm for Accelerated Method of Moments Computationsof EMC Problems， ” IEEE Transactions On Electeomagnetic Compatibiliy， vol. 47， no. 4， Nov. 2005. 3 M. Bebendorf， “Approximation of boundary element matrices， ” Numer. Math.， vol. 86， no. 4， pp. 565589， Jun. 2000. 5盛新庆， 计算电磁学要论 ， 科学出版社，2004 年 2 月第一版. 56王长清， 现代计算电磁学基础 ，北京大学出版社，2005 年 3 月第一版. 7史荣昌，魏丰， 矩阵分析 ，北京理工大学出版社，2005 年 9 月第二版.
