1、翠园中学高二理科数学期末复习试卷 三 班级 :_学号： _姓名： _成绩： _ 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 中所含元素的个数为（ ） A. B. C. D. 2. 若函数 为纯虚数，则 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题 ， ，那么命题 为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知双曲线 的一个焦点为 ，且双曲线 的离心率为 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为（
2、） A. B. C. D. 6. 圆心在曲线 2 ( 0)yxx上，且与直线 2 1 0xy 相切的面积最小的圆 的方程为( ) A. 22( 2) ( 1) 25xy B. 22( 2) ( 1) 5xy h C. 22( 1) ( 2) 25xy D. 22( 1) ( 2) 5xy 7. 给出 个数： ， ， ， ， ， ， ，要计算这 个数的和 .如图给出了该问题的程序框图，那么框图中判断框 处和执行框 处可以分别填入（ ） . A. ？和 B. ？和 C. ？和 D. ？和 8. 已知函数 ，则满足 的 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 一个几 何体的三视图如图所示，
3、则该几何体的表面积为 （ ） A 4 B 3 C 34 D 24 10. 的展开式中， 的系数为（ ） A. B. C. D. 11. 过抛物线 焦点的直线 与抛物线交于 ， 两点，与圆交于 ， 两点，若有三条直线满足 ，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则对任意 ，函数 的零点个数至多有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 某校高一年级 个学部共有 名学生，编号为： ， ， ， ，从 到 在第一学部，从 到 在第二学部，
4、 到 在第三学部 .采用系统抽样的方法从中抽取 名学生进行成绩调查，且随机抽取的号码为 ，则第二学部被抽取的人数为 _ 14. 已知向量 ， ， ，则 _ 15. 已知平面 截球 的球面得圆 ，过圆心 的平面 与 的夹角为 且平面 截球 的球面得圆 ，已知球 的半径为 ，圆 的面积为 ，则圆 的半径为 _ 16.在关于 x 的不等式 22(2 1)x ax的解集中，若其整数解恰有 3 个，则实数 a 的取值范围为 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. (本小题 满分 12 分 )已知 076: 2 xxp , )0(0412
5、: 22 mmxxq （ ） 若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围； （ ） 若“非 p ”是“非 q ”的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围； 18. 在等腰直角 中， ， 分别为 ， 的中点， ，将 沿 折起 ，使得二面角 为 . （ 1）作出平面 和平面 的交线 ，并说明理由； （ 2）二面角 的余弦值 . 19. 某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，将全体运动员的成绩绘制成频率分布直方图 .同时用茎叶图表示甲，乙两队运动员本次测试的成绩（单位： ，且均为整数），由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员
6、中成绩在 以上（包括 ）的只有两个人，且均在甲队 .规定：跳高成绩在 以上（包括 ）定义为 “ 优秀 ”. （ 1）求甲，乙两队运动员的总人数 及乙队中成绩在 （单 位： ）内的运动人数 ； （ 2）在甲，乙两队所有成绩在 以上的运动员中随机选取 人，已知至少有 人成绩为 “ 优秀 ” ，求两人成绩均 “ 优秀 ” 的概率； （ 3）在甲，乙两队中所有的成绩为 “ 优秀 ” 的运动员中随机选取 人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数 的分布列及期望 . 20. 已知椭圆 的左右顶点分别为 ， ，右焦点 的坐标为 ，点 坐标为 ，且直线 轴，过点 作直线与椭圆 交于 ， 两
7、点（ ， 在第一象限且点在点 的上方），直线 与 交于点 ，连接 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设 直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，问： 的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由 . 21. 设函数 ，其中 . （ ） 讨论函数 极值点的个数，并说明理由； （ ）若 ， 成立，求 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，曲线 过点 ，其参数方程为 （ 为参数， ），以 为极点， 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （ 1）求曲线 的
8、普通方程和曲线 的直角坐标方 程； （ 2）求已知曲线 和曲线 交于 ， 两点，且 ，求实数 的值 . 23. 选修 4-5：不等式选讲 已知函数 （ 1）求不等式 的解集；（ 2）若 对于 恒成立，求 的取值范围 . 翠园中学高二理科数学期末复习试卷三 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . DDCDA DDACB BA 第 卷（共 90 分） 13. 14. 5 15. 16. 25 499 16a 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17.【
9、解析】 （） 71: xp , mxmq 2121: .由于 p 是 q 的充分不必要条件，则 7,1 是 21,21 mm 的真子集，01 2 11 2 7mmm 3m . 实数 m 的取值范围为 3m （）“非 p ”是真“非 q ”的充分不必要条件， q 是 p 的充分不必要条件 01 2 11 2 7mmm ， 01m 实数 m 的取值范围为 01m 18. 在等腰直角 中， ， 分别为 ， 的中点， ，将 沿 折起，使得二面角 为 . （ 1）作出平面 和平面 的交线 ，并说明理由； （ 2）二面角 的余弦值 . 【答案】 （ 1）见解析（ 2） 【解析】 试题分析：（ 1）通过 找
10、到解题思路，再根据线面平行的判定、性质以及公理 “ 过平面内一点，作平面内一条直线的平行线有且只有一条 ” 说明理由 . （ 2）过点 作 的垂线，垂足为 ，以 F 为坐标原点， FB 所在方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系，应用空间向量，分别求得两平面的法向量 ，两平面法向量夹角 详解：（ 1）在面 内过点 作 的平行线 即为所求 . 证明：因为 ，而 在面 外， 在面 内，所以， 面 . 同理， 面 ，于是 在面 上，从而 即为平面 和平面 的交线 . （ 2）由题意可得 为二面角 的平面角，所以， . 过点 作 的垂线，垂足 为 ，则 面 . 以 为原点， 为 轴正方向， 为单位长度建
11、立空间直角坐标系； 则 ， ， ， ， ， 从而 ， ， 设面 的一个法向量为 , 则由 得 ，所以 ，不妨取 . 由 面 知平面 的法向量不妨设为 于是， ， 所以二面角 的余弦值为 . 点睛：用空间向量求二面角问题的解题步骤： 右手定则建立空间直角坐标系，写出关键点坐标 设两平面的法向量 ， 两法向量夹角为 ，求法向量及两向量夹角的余弦； 当两法向量的方向都向里或向外时，则二面角 ；当两法向量的方向一个向里一个向外时，二面角为 . 19. 某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，将全体运动员的成绩绘制成频率分布直方图 .同时用茎叶图表示甲，乙两队运动
12、员本次测试的成绩（单位： ，且均为整数），由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在 以上（包括 ）的只有两个人，且均在甲队 .规定：跳高成绩在 以上（包括 ）定义为 “ 优秀 ” . （ 1）求甲，乙两队运动员的总人数 及乙队中成绩在 （单位： ）内的运动人数 ； （ 2）在甲，乙两队所有成绩在 以上的运动员中随机选取 人，已知至少有 人成绩为 “ 优秀 ” ，求两人成绩均 “ 优秀 ” 的概率； （ 3）在甲，乙两队中所有的成绩为 “ 优秀 ” 的运动员中随机选取 人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数 的分布列及期望 . 【答案】 （ 1）
13、， （ 2） （ 3） 见解析 【解析】 试题分析：由频率分布直方图可知，成绩在 以上的运动员频数为 2，频率为 ，由此求出全体运动员总人数 ，由成绩在 内频率求出运动员人数，再减去甲队人数，即可求出乙队人数 ； 学 _科 _网 .学 _科 _网 .学 _科 _网 .学 _科 _网 .学 _科 _网 .学 _科 _网 .学 _科 _网 .学 _科 _网 .学 _科 _网 .学 _科 _网 .学 _科 _网 . （ 2）分别求出 “ 至少有 人成绩为优秀 ” 和 “ 两人成绩均优秀 ” 的概率；再根据条件概率 即为所求； （ 3）由题设确定随机变量 所有可能值为 ，分别求三个概率，由此求出 的分
14、布列和数学期望 . 详解：（ 1）由频率直方图可知：成绩在以 以上的运动员的频率为 ， 全体运动馆总人数 （人）， 成绩位于 中运动员的频率为 ，人数为 ， 由茎叶图可知：甲队成绩在 的运动员有 名， （人）； （ 2）由频率直方图可得： 以上运动员总数为： ， 由茎叶 图可得，甲乙队 以上人数恰好 人， 所以乙在这部分数据不缺失，且优秀的人数为 人， 设事件 为 “ 至少有 人成绩优秀 ” ，事件 为 “ 两人成绩均优秀 ” ， ， ， ； （ 3） 可取的值为 ， ， ， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 . 点睛：随机变量 分布列及数学期望问题要善于灵活运用三个性质：一是 pi0(i
15、 1,2， ) ；二是 ，三是 p1 p2 pn 1 检验分布列的正误 20. 已知椭圆 的左右顶点分别为 ， ，右焦点 的坐标为 ，点 坐标为 ，且直线 轴 ，过点 作直线与椭圆 交于 ， 两点（ ， 在第一象限且点在点 的上方），直线 与 交于点 ，连接 . （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，问： 的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若不是，说明理由 . 【答案】 （ 1） （ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1）由题意可知 ，则 ，即可求得椭圆方程 . （ 2）由题意设 ， ， ，设直线 的方程为 ，代入椭圆方程，写出韦达定理关系式，再根据 三点
16、共线，得到 ，然后计算 的值为定值 . 详解：解（ 1）设椭圆方程为 ，由题意可知： ，所 以 ， 所以椭圆的方程为 （ 2）是定值，定值为 . 设 ， ，因为直线 过点 ，设直线 的方程为： ， 联立 所以 ， ， 因为点 在直线 上，所以可设 ， 又 在直线 上，所以： 所以 点睛：圆锥曲线的定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，常用解题步骤为： 设动点和动直线、即引入参数； 结合已知条件将目标式用参变量表示， （ 3）通过化简消参求得定值 . 设而不求、整体思想和消元思想的运用可有效的简化运算 . 21. 设函数 ，其中 . （ ） 讨论函数 极值点的个数，并说明理由； （ ）若 ， 成
17、 立，求 的取值范围 . 【答案】 （ 1）见解析（ 2） 【解析】 试题分析：（ 1）求函数的导数，再换元 ，令 ，对与 分类讨论 ，即可得出函数的极值的情况 . （ 2）由（ 1）可知：当 时，函数 在 为增函数，又 所以满足条件；当时，因换元 满足题意需在此区间 ，即 ；最后得到 的取值范围 . 详解： （ ） ，设 ，则 ， 当 时， ，函数 在 为增函数，无极值点 . 当 时， ， 若 时 ， ，函数 在 为增函数，无极值点 . 若 时 ，设 的两个不相等的正实数根 ， ，且 ， 则 所以当 ， ， 单调递增；当 ， 单调递减； 当 ， ， 单调递增 .因此此时函数 有两个极值点； 同理当 时 的两个不相等的实数根 ， ，且 ， 当 ， ， 单调递减，当 ， ， 单调递增； 所以函数只有一个极值点 . 综上可知当 时 的无极值点；当 时 有一个极值点；当 时， 的有两个极值点 . （ ）对于 ， 由（ ）知当 时函数 在 上为增函数，由 ，所以 成立 . 若 ，设 的两个不相等的正实数根 ， ，
