1、1多目标投资组合模型研究一、引言 Markowitz 双目标模型理论提出后，后期很多专家学者基于此理论提出的模型，在计算上都具有一定的复杂性，利用普通的类似单纯形法等求解复杂同时效果差。随着启发式算法的产生及发展，很多中外学者大多尝试用启发式算法来求解多目标投资组合模型。而其中使用最多的是具有良好全局搜索能力的遗传算法，也有其他如人工神经网络、禁忌算法、蚁群算法等。Chang、Meade 和 Beasley（2000）分别设计出遗传算法、模拟退火算法以及禁忌算法来求解具有非线性约束条件的投资组合模型，并通过证券市场上的真实数据进行验证，得出对于他们提出的投资组合模型用模拟退火算法和遗传算法求解
2、更有效。Gilli 和Kellezi（2000）研究通过门槛接受法求解投资组合模型。Fernandez（2005）等研究了运用神经网络算法来求解投资组合模型。在我国，对于求解投资组合模型的算法研究得最多的启发式算法是遗传算法，如林丹、李小明和王萍（2005）通过遗传算法来求解改进的投资组合模型。也有些学者专家通过结合两种以上算法来互补性求解组合模型，如霍建军（2009）的基于灰色系统和神经网络两种算法的股指预测。 综上所述，由于大多数投资组合模型都是风险最小、收益最大的双目标优化模型，故目前许多学者都是通过转化成单目标或是通过引进其他变量来求解，这样做的方式会使得模型的精度下降，并且可能丢失最
3、2好的解。而在多目标优化模型求解中，最近几年出现了多目标进化算法（MOGA） 、NSGA、NSGAII 等，其具有较好的多目标搜索效率，但在结果的分布度和搜索限制上存在较大缺点，适用性有局限。NSGA 和 NSGAII 是最近发展起来的非支配排序遗传算法，其具有较好的运行效率，且解集具有良好的分布性，尤其是在低维问题的优化上，并且在实际运用中，对求解目标函数少的多目标具有最好效果。本文在已有文献和研究成果的基础上，设计出了求解多目标投资组合模型的改进 NSGAII 算法，并运用实例对此算法验证了其有效性。 二、NSGAII 算法的设计 （一）NSGAII 算法 多目标优化模型是要构造非支配集，
4、同时希望非支配集不断逼近最优解集，最终得到 pareto 最优解集。即对于一些解不可能进一步优化某个或是某几个目标但其他目标不至于劣化，因此pareto 最优解集也称为非劣最优解集。 NSGAII 算法实际上是在 NSGA 基础上，改进了 NSGA 的三点不足，即：使用快速非支配排序法，使得计算的复杂度降维；拥挤度计算替代共享参数，解决了共享参数设置困难， ，使得解分布均匀；引进精英策略，防止优良解的丢失。 要评价求解多目标优化问题的遗传算法是否有效，目前大都从三方面进行评估：pareto 最优解是否最靠近前沿；pareto 最优解集数量是否够多；pareto 最优解集中的解分布是否均匀。 N
5、SGAII 算法具有运行效率高，pareto 最优解集分布较均匀的优良特点。特别在处理低维的多目标优化问题上，具有非常有效的效果。令 N3为种群规模，T 为最大遗传代数，Nds（Non-dominated solutions）为非支配集。NSGAII 的主要算法流程表示如图 1 所示： （二）改进的 NSGAII 算法 本文结合证券投资组合模型的特点，同时在阅读各大学者研究的总结下，设计了如下改进的 NSGAII 算法： 第一步，编码。本文使用整数编码。编码方式有二进制、浮实数、格雷码、混合以及动态编码。在 NSGAII 算法中使用最多的是二进制、实数编码和整数编码方式。因投资组合模型的变量一
6、般指投资资产的（100股）手数，故要求为整数，于是本文选取具有实数编码方式优势的同时又能保证变量为整数的整数编码。整数编码中，染色体对应的每个基因位就代表了 1 种投资资产，其具体数字代表了投资在此资产上的投资手数，可以用表 1 形象表示： 第二步，随机产生初始种群。个体数目设置为，令代数为 0，即gen=0。本文使用的是整数编码。在产生初始种群时，目前使用最多的是产生随机数 rand 函数和 zero 函数。本文选取了遗传工具箱里用来产生随机数的 randint 函数，用来产生给定范围的随机整数。 第三步，对种群 pt（初始为 p0）进行非支配排序。设种群 p1（初始为 p0）中两个任意个体
7、 m 和 n，则非支配排序算法可大致表述如下： a、初始化参数，对任意 mP1，有 Sm=？? ，Pm=0 。如果 mN （1） 当F1N，则需要再选取 N-Fi 个个体进新子代 Pt+1。这时就是用第三步中的拥挤度的算法进行选取，通过计算拥挤度选取低的拥挤度个体进入子代，直至子代 Pt+1 的个体数达到 N。通过上述步骤产生新子代 Pt+1。 第八步：终止判断。 三、实例分析 为了验证本文设计的算法的有效性，本文根据目前市场上的实际情况，选取了 4 个行业的 4 只代表性的股票，并加上存款作为第 5 项投资资产，建立了符合市场的存在最小交易单位、存在交易费用和融资的投资组合模型。则得到如下模
8、型： MinR（x）=-37.69x1-405.52x2-59.25x3-66.2x4+0.0032x5-4425 MinS（x）=6752.69x1+22738.96x2+13628.08x3+4750.42x4 1000000？燮 2182x1+7206x2+6000x3+1472x4+X5？燮 1500000X5？叟 60Xi？叟 0 i=1，2，3，4 （2） 根据以上步骤在 matlab7.8 平台上编写各个步骤的代码 M-文件，运行整个改进的 NSGAII 遗传算法的主程序 NSGAII（ ） 。即可得到双目标投资组合问题 txt 格式的所有解数据 solution.txt 和对应
9、的 pareto 解集图如图 2 所示： 根据图 2 可知，此双目标优化模型可得到很多解，投资者可以根据自己对风险的承受能力进行选择适合的投资策略。 四、结论 本文在其他学者的研究成果上，结合各个投资者对风险偏好的不同性，设计了能得出许多解的改进 NSGAII 算法。本文使用改进 NSGAII 算法进行求解双目标的投资组合模型，解决了不同投资者对风险的承受能力不同而需采取不同投资策略问题，输出了解集，供不同投资者选取。 参考文献： 1Harry Markowitz.Portfolio seleetionJ.Fiance， 1952（7）：77-91.1963， （3）：23-26. 2Swalm R.O.Utility theory-insights into risk taking.Harvard Business Review，1966（44）：123-136. 3李善民、徐沛：Markowitz 投资组合理论模型应用研究 ， 经济科技2000 年第 1 期。 4张卫国等：限制投资下界的风险证券有效模型及算法研究 ，应用数学2003 年第 2 期。 5林丹、李小明、王萍：用遗传算法求解改进的投资组合模型 ，7系统工程2005 年第 8 期。 （编辑 刘 姗）
