1、第七章 目标规划,7.1 目标规划模型7.2 目标规划的几何意义与图解法7.3 目标规划求解的单纯形方法,2018/7/16,2,在科学研究、经济建设和生产实践中，人们经常遇到一类含有多个目标的数学规划问题，我们称之为多目标规划。本章介绍一种特殊的多目标规划叫目标规划(goal programming)，这是美国学者Charnes等在1952年提出来的。目标规划在实践中的应用十分广泛，它的重要特点是对各个目标分级加权与逐级优化，这符合人们处理问题要分别轻重缓急保证重点的思考方式。 本章分目标规划模型、目标规划的几
2、何意义与图解法和求解目标规划的单纯形方法等三个部分进行介绍。,2018/7/16,3,7.1 目标规划模型,(1) 问题提出 为了便于理解目标规划数学模型的特征及建模思路, 我们首先举一个简单的例子来说明. 例 1 某公司分厂用一条生产线生产两种产品A和B ，每周生产线运行时间为60小时，生产一台A产品需要4小时，生产一台B产品需要6小时根据市场预测，A、B产品平均销售量分别为每周9、8台，它们销售利润分别为12、18万元。在制定生产计划时，经理考
3、虑下述4项目标：,2018/7/16,4,首先，产量不能超过市场预测的销售量； 其次，工人加班时间最少； 第三，希望总利润最大； 最后，要尽可能满足市场需求, 当不能满足时, 市场认为B产品的重要性是A产品的2倍 试建立这个问题的数学模型讨论： 若把总利
4、润最大看作目标，而把产量不能超过市场预测的销售量、工人加班时间最少和要尽可能满足市场需求的目标看作约束，则可建立一个单目标线性规划模型 。,2018/7/16,5,设决策变量 x1，x2 分别为产品A，B的产量 Max Z = 12x1 + 18x2 s.t. 4x1 + 6x2 60
5、; x1 9 x2 8 x1
6、, x2 0 容易求得上述线性规划的最优解为(9,4)T 到 (3,8)T 所在线段上的点, 最优目标值为Z* = 180, 即可选方案有多种. 在实际上, 这个结果并非完全符合决策者的要求, 它只实现了经理的第一、二、三条目标，而没有达到最后的一个目标。进一步分析可知，要实现全体目标是不可能的。,2018/7/16,6,(2) 目标规划模型的基本概念 把例1的4个目标表示为不等式.仍设决策变量 x1，x2 分别为产品A，B的产量. 那么, 第一个目标为: x1 9 ，x2
7、8 ； 第二个目标为: 4x1 + 6x2 60 ； 第三个目标为: 希望总利润最大，要表示成不等式需要找到一个目标上界，这里可以估计为252（=129 + 188），于是有 12x1 + 18x2 252； 第四个目标为: x1 9，x2 8；,2018/7/16,7,下
8、面引入与建立目标规划数学模型有关的概念 （1）正、负偏差变量d +，d - 我们用正偏差变量d + 表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d - 表示决策值不足目标值的部分。因决策值不可能既超过目标值同时又末达到目标值，故恒有 d + d - 0 （2）绝对约束和目标约束 我们把所有等式、不等式约束分为两部分：绝对约束和目标约束。,2018/7/16,8,绝对约束 指必须严格满足的等式约束和不等式约束；如在线性规划问题中考虑的约束条件，不能满足这些约束条件的解称为
9、非可行解，所以它们是硬约束。设例1 中生产A，B产品所需原材料数量有限制，并且无法从其它渠道予以补充，则构成绝对约束。目标约束 目标规划特有的，我们可以把约束右端项看作要努力追求的目标值，但允许发生正式负偏差，用在约束中加入正、负偏差变量来表示，于是称它们是软约束。,2018/7/16,9,对于例1, 我们有如下目标约束 x1 + d1- -d1+ = 9 &nb
10、sp; (1) x2 + d2- -d2+ = 8 (2) 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 (3)12x1+18x2 + d4- -d4+ =252 (4),2018/7/16,10,(3) 优先
11、因子与权系数 对于多目标问题，设有L个目标函数f1,f2,fL, 决策者在要求达到这些目标时，一般有主次之分。为此，我们引入优先因子Pi ，i = 1,2,L.无妨设预期的目标函数优先顺序为f1,f2,fL,我们把要求第一位达到的目标赋于优先因子P1，次位的目标赋于优先因子P2、，并规定 Pi >> Pi+1，i = 1,2,L-1. 即在计算过程中, 首先保证P1级目标的实现，这时可不考虑次级目标；而P2级目标是在实现P1级目标的基础上考虑的，以此类推。当需要区别具有相同优先因子的若干个目标的差别时，可分别赋于它们不同的权系数w
12、j 。优先因子及权系数的值，均由决策者按具体情况来确定,2018/7/16,11,（4）目标规划的目标函效 目标规划的目标函数是通过各目标约束的正、负偏差变量和赋于相应的优先等级来构造的 决策者的要求是尽可能从某个方向缩小偏离目标的数值。于是，目标规划的目标函数应该是求极小：Min f f （d +，d -) 其基本形式有三种：,2018/7/16,12, 要求恰好达到目标值，即使相应目标约束
13、的正、负偏差变量都要尽可能地小。 这时取 Min （d + + d - )； 要求不超过目标值，即使相应目标约束的正偏差变量要尽可能地小。 这时取 Min （d + )； 要求不低于目标值，即使相应目标约束的负偏差变量要尽可能地小。 &nbs
14、p; 这时取 Min （d - )；,2018/7/16,13,对于例 1, 我们根据决策者的考虑知 第一优先级要求 Min（d1+ + d2+ )； 第二优先级要求 Min（d3+ )； 第三优先级要求 Min（d4- )； 第四优先级要求 Min（d1- + 2d2- )， 这里, 当不能满足市场需求时, 市场认为B产品的重要
15、性是A产品的2倍即减少B产品的影响是A产品的2倍，因此我们引入了2:1的权系数。,2018/7/16,14,综合上述分析，可得到下列目标规划模型 Min f = P1（d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4（d1- + 2d2- ) s.t. x1 + d1- -d1+ = 9 &nb
16、sp; x2 + d2- -d2+ = 8 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 &nbs
17、p; 12x1 + 18x2 +d4- -d4+ = 252 x1 , x2 , di- ,di+ 0 , i = 1,2,3,4.,2018/7/16,15,(3) 目标规划模型的一般形式,式中的第二行是L个目标约束，第三行是
18、m个绝对约束，clj 和gl 是目标参数。,2018/7/16,16,例2 甲 乙 有效工时 金工 4 &nbs
19、p; 2 400 装配 2 4 500 收益 100
20、 80 LP： Max Z=100X1 + 80X2 2X1+4X2 500 s.t 4X1+2X2 400
21、; X* =(50,100) X1 , X2 0 Z* =13000,2018/7/16,17,目标：去年总收益9000，增长要求11.1% 即：今年希望总收益不低于
22、10000引入 d+：决策超过目标值部分(正偏差变量) d-：决策不足目标值部分(负偏差变量)目标约束： 100X1+80X2 -d+d- =10000 d+d- =0 d+,d- 0,2018/7/16,18,2018/7/16,19,例3
23、; 资源拥有量 原材料(公斤) 2 1 11 设备(小时) &n
24、bsp; 1 2 10 利润(千元/件) 8 10原材料价格上涨，超计划要高价购买，所以要严格控制市场情况，产品销售量下降，产品的产量不大于产品的产量充分利用设备，不希望加班尽可能达到并超过利润计划指标56千元,2018/7/16
25、,20,建模：设定约束条件。(目标约束、绝对约束)规定目标约束优先级建立模型 设X1 ，X2为产品，产品产量。,2018/7/16,21,d1- : X1产量不足X2 部分d1+ : X1产量超过X2 部分d2- : 设备使用不足10 部分d2+ :设备使用超过10 部分d3- : 利润不足56 部分d3+ :利润超过56 部分,或 Min Z1 = d1+ Min Z2 = d2- +d2+ Min Z3 = d3-,Min Z=p1d1+p2(d2-+d2+
26、)+p3(d3-),2018/7/16,22,例4 电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台电视机需装备时间1小时，每周装配线计划开动40小时，预计每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元，每周21寸彩电销售30台，每台可获利40元。该厂目标：充分利用装配线，避免开工不足。允许装配线加班，但尽量不超过10小时。尽量满足市场需求。,2018/7/16,23,解：设X1 , X2 分别表示25寸，21寸彩电产量,2018/7/16,24,对只具有两个决策变量的目标规划的数学模型，我们可以用图解法来分析求解通过图解示例，可以看到目标规划中优先因子，正、负偏差变量及权系数等
27、的几何意义。 下面用图解法来求解例1 我们先在平面直角坐标系的第一象限内，作出与各约束条件对应的直线，然后在这些直线旁分别标上 G-i ，i = 1，2，3，4。图中x，y分别表示问题的x1和x2；各直线移动使之函数值变大、变小的方向用 +、- 表示 di+ ,di- ,7.2 目标规划的几何意义及图解法,2018/7/16,25,2018/7/16,26,下面我们根据目标函数的优先因子来分析求解首先考虑第一级具有P1优先因子的目标的
28、实现，在目标函数中要求实现Min（d1+ d2+ ),取d1+=d2+ =0.图2 中浅红色阴影部分即表示出该最优解集合的所有点。 我们在第一级目标的最优解集合中找满足第二优先级要求Min（d3+ )的最优解.取d3+= 0 ,可得到图3 中浅绿阴影部分即是满足第一、第二优先级要求的最优解集合。,2018/7/16,27,2018/7/16,28,2018/7/16,29,第三优先级要求 Min（d4-)，根据图示可知，d4- 不可能取0值，我们取使d4- 最小的值72得到图4中两阴影部分的交线(红色粗线)，其表示
29、满足第一、第二及第三优先级要求的最优解集合。 最后，考虑第四优先级要求 Min（d1- + 2d2- ) ，即要在黑色粗线段中找出最优解。由于d1- 的权因子小于d2- ，因此在这里可以考虑取d2- =0。于是解得d1-=5，最优解为A点x = 3，y = 8。,2018/7/16,30,A(3,8),2018/7/16,31,7.3 目标规划的单纯形方法,目标规划的数学模型,特别是约束的结构与线性规划模型没有本质的区别，只是它的目标不止是一个,虽然其利用优先因子和权系数把目标写成一个函数的形式, 但在计算中无法按单目标处理, 所以可用单纯形法进行适当改进
30、后求解。在组织、构造算法时，我们要考虑目标规划的数学模型一些特点，作以下规定： (1) 因为目标规划问题的目标函数都是求最小化，所以检验数的最优准则与线性规划是相同的；,2018/7/16,32,(2) 因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子， Pi >> Pi+1，i = 1,2,L-1. 于是从每个检验数的整体来看： Pi+1（i = 1,2,L-1）优先级第k个检验数的正、负首先决定于 P1 ，P2 ， ，Pi 优先级第k个检验数的正、负。若P1 级第k个检验数为0，则此检验数的正、负取决于P2级第k个
31、检验数；若P2 级第k个检验数仍为0，则此检验数的正、负取决于P3级第k个检验数，依次类推。换一句话说，当某Pi 级第k个检验数为负数时，计算中不必再考察Pj（ j > I ）级第k个检验数的正、负情况；,2018/7/16,33,（3）根据目标规划模型特征，当不含绝对约束时，di- （i=1,2, ,K）构成了一组基本可行解。在寻找单纯形法初始可行点时，这个特点是很有用的。 解目标规划问题的单纯形法的计算步骤 (1)建立初始单纯形表在表中将检验数行按优先因子个数分别列成K行。初始的检验数需根据初始可行解计算
32、出来，方法同基本单纯形法。当不含绝对约束时，di- （i=1,2, ,K）构成了一组基本可行解，这时只需利用相应单位向量把各级目标行中对应di- （i=1,2, ,K）的量消成0即可得到初始单纯形表。置k 1；,2018/7/16,34,(2)检查当前第k行中是否存在小于0，且对应的前k-1行的同列检验数为零的检验数。若有取其中最小者对应的变量为换入变量，转(3)。若无这样的检验数，则转(5)； (3)按单纯形法中的最小比值规则确定换出变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量，转（4）；
33、; (4)按单纯形法进行换基运算，建立新的单纯形表，（注意：要对所有的行进行初等变换运算）返回(2)； (5)当k K 时，计算结束。表中的解即为满意解。否则置k = k+1，返回（2）。,2018/7/16,35,例 1 试用单纯形法来求解例1的目标规划模型 Min f = P1（d1+ + d2+ ) + P2 d3+ + P3 d4- + P4（d1- + 2d2- ) s.t. &nbs
34、p; x1 + d1- -d1+ = 9 x2 + d2- -d2+ = 8
35、; 4x1 + 6x2 + d3- -d3+ = 60 12x1 + 18x2 +d4- -d4+ =252
36、 x1 , x2 , di- ,di+ 0 , i = 1,2,3,4.,2018/7/16,36,解: 首先处理初始基本可行解对应的各级检验数。,2018/7/16,37,（1）k = 1，在初始单纯形表中基变量为 （d1-,d2-,d3-,d4-)T =（9，8 ， 60，252)T ；（2）因为P1与P2优先级的检验数均已经为非负，所以这个单纯形表对P1与P2优
37、先级是最优单纯形表；（3）下面考虑P3优先级，第二列的检验数为-18，此为进基变量，计算相应的比值 bi/aij 写在 列。通过比较，得到d2- 对应的比值最小，于是取a22（标为 * 号）为主元进行矩阵行变换得到新的单纯形表；,2018/7/16,38,（4）下面继续考虑P3优先级，第一列的检验数为 -12，此为进基变量，计算相应的比值 bi/aij ，得到d3- 对应的比值最小，于是取a31（标为 * 号）为转轴元进行矩阵行变换得到新的单纯形表；,2018/7/16,39,（5）当前的单纯形表各优先级的检验数均满足了上述条件, 故为最优单纯形表。我们得到最优解x1=3，x2=8 。,201
38、8/7/16,40,例4、电视机厂装配25寸和21寸两种彩电，每台电视机需装备时间1小时，每周装配线计划开动40小时，预计每周25寸彩电销售24台，每台可获利80元，每周21寸彩电销售30台，每台可获利40元。该厂目标：1、充分利用装配线，避免开工不足。2、允许装配线加班，但尽量不超过10小时。3、尽量满足市场需求。,2018/7/16,41,解：设X1 , X2 分别表示25寸，21寸彩电产量,2018/7/16,42,2018/7/16,43,2018/7/16,44,2018/7/16,45,2018/7/16,46,第七章习题2 选2 、6,2018/7/16,47,2018/7/16,48,2018/7/16,49,2018/7/16,50,
