1、2005 年普通高等学校招生统一考试（浙江卷）数学（理工类）第 I卷（选择题 共 50分）一选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的。(1) 231limnn(A) 2 (B) 1 (C) (D) 0(2) 点 到直线 的距离是,yx(A) (B) (C) (D) 213223(3) 设 则,1,12xxf f(A) (B) (C) (D) 3459412(4) 在复平面内，复数 对应的点位于21ii(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限(5) 在 的展开式中，含 的项的系数是8765 )()(
2、)()1( xx 3x(A) 74 (B) 121 (C) (D) 412(6) 设 、 为两个不同的平面， 、 为两条不同的直线，且 . 有lmml,如下两个命题: 若 则 ； 若 则 那么,/,l.(A) 是真命题 , 是假命题 (B) 是假命题, 是真命题(C) 都是真命题 (D) 都是假命题(7) 设集合 , 则 所表示的平面区是 三 角 形 的 三 边 长yxyxA1,),( A域(不含边界的阴影部分)是(A) (B) (C) (D)oyx0.50.5 oyx0.50.5oyx0.50.5oyx0.50.5(8) 已知 则函数 的最小值是,4k )1(cos2sxky(A) 1 (B
3、) (C) (D) 2k(9) 设 ,)(2)(Nnf,543,P.7,654,3Q记 fP)(nf则 )(QCN)(N(A) (B) (C) (D) 3,02,15,437,621(10) 已知向量 满足:对任意 恒有 则,eaRt.eat(A) (B) (C) (D) )()(ea)()(第卷（非选择题 共 100分）二填空题：本大题共 6小题， 每小题 4分，共 24分，把答案填在题中横线上。(11) 函数 的反函数是 .)2,(2xRxy且(12) 设 、 是直角梯形 两腰的中点, (如图).现将MNABDEEAB于沿岸 折起,使二面角 为ADE,此时点 在平面 内的射影恰为点45C,
4、则 、 的连线与 所成角的大小等于 . B(13) 过双曲线 的左焦点)0,(12babyx且垂直于 轴的直线与双曲线相交于 、 两点,以 为直径的圆恰好过MN双曲线的右顶点,则双曲线的离心率等于 .(14) 从集合 与 中各任取 2个元素排成一排SRQPO,9,876,543,210(字母和数字均不能重复).每排中字母 、 和数字 至多只出现一个的不同OQ0排法种数是 (用数字作答).三、解答题：本大题共 6小题，共 76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。(15) 已知函数 .cosinsi3)(2xxxf(I) 求 的值;625(II) 设 求 的值.,2341)(,0(f si
5、nNM DA BCE(16) 已知函数 和 的图象关于原点对称,且)(xfg .2)(xf(I) 求 的解析式;(II) 解不等式 .1)(xfx(17) 如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 、 在 轴上,长轴 的长为 4,左F2x21A准线 轴的交点为 ,xl与 M.:1A(I) 椭圆的方程;(II) 若直线 , 为 上的动点,使)(:1mlP1l最大的点 记为 ,求点 的坐标(用 表21PFQm示). (18) 如图,在三棱锥 中, , , 点 、 分别是 、ABCkABCODAC的中点, .CO底 面(I) 求证 ;PD底 面(II) 当 时,求直线 与平面 所成角的大小;21kAB(
6、III) 当 取何值时, 在平面 内的射影恰好为 的重CPBC心?(19) 袋子 和 中装有若干个均匀的红球和白球 , 从 中摸出一个红球的概率是 ,ABA31从 中摸出一个红球的为 .p(I) 从 中有放回地摸球 , 每次摸出一个, 有 3 次摸到红球即停止. ( i ) 求恰好摸 5 次停止的概率; ( ii ) 记 5 次之内 (含 5 次) 摸到红球的次数为 , 求随机变量 的分布列及数学期望 .E(II) 若 、 两个袋子中的球数之比为 1 ：2 , 将 、 中的球装在一起后, ABAB从中摸出一个红球的概率是 , 求 的值.5p(20) 设点 和抛物线 ( ), )2,(,)0(1
7、nnxPnnbxayC2: N其中 , 由以下方法得到:14na, 点 在抛物线 上, 点 到 的距 1x),(2x12xy)0,(1xA2PA1 A2 xoyMPF1 F2l1 lBCPDA o离是 到 上点的最短距离, 在抛物线 1AC )2,(,1nnxP点上, 点 到 的距离是是 到 上点的最nnbxay2: )0,(nxA1nAnC短距离.(I) 求 及 的方程;21(II) 证明 是等差数列.nx数学试题（理科）参考答案一选择题：本题考查基本知识和基本运算。每小题 5 分，满分 50 分。（）C （）D （）B （）B （）D （）D （）A（）A （）A （）C二填空题：本题考查
8、基本知识和基本运算。每小题分，满分分。(11) , 且2(1xyR1)x(12) 90(13) 2(14) 8424三解答题(15)本题主要考查三角函数的倍角公式、两角和的公式等基础知识和基本的运算能力。满分分。解: (I) 251253sin,cos,66225()3iincos06f (II) 1cosi.fxxx33()in,2242f16sin4i10解得 35i.8(0,)sin故 135i8(16)本题主要考查函数图象的对称、中点坐标公式、解不等式等基础知识，以及运算和推理能力。满分 14 分。解：（I）设函数 的图象上任一点 关于原点的对称点为 ,()yfx0(,)Qxy()Px
9、y则 .0,2x， 即 .0y点 在函数 的图象上.0(,)Qxy()fx即 故 g(x) .2,2,2x(II)由 可得。()|1|gxfx2|0当 x 1 时，2|此时不等式无解。当 时x210因此，原不等式的解集为-1, .12（17）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆方程，两条直线的夹角、点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 14 分。解：（）设椭圆方程为 （ ） ，半焦距为 c, 则 ,21yxab0a21|aMAc,1|AFac由题意，得= ,2c()2 = 4a.2b解得 2,3,1abc故椭圆方程为24yx（II）设 P( 0,)|1my当 时，02
10、FP当 时, y112M只需求 的最大值即可。2tan设直线 的斜率 ，1PF01yKm直线 的斜率22,011222|tan|y022|ymA当且仅当 = 时， 最大，10|12FP2(,),|.Q(18) 本题主要考查空间线面关系、空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力。满分 14分。解：方法一：（） 、分别为 、 的中点。ACP/ODP又 平面 .AB平面 .(II) ,O又 平面OPABC.取 中点，连结 ,则 平面 .EPE作 于 F,连结 ,则 平面 ,FDFOBC是 与平面 所成的角。BCPDA o EF又 /,ODPA与平面 所成角的大
11、小等于 。BCODF在 中，RtF210sin3与平面 所成的角为 .PABarcsin（III）由 II知， 平面 ，OPC是 在平面 内的射影。F是 的中点，DC若点 是 的重心，A则 、 、 三点共线，B直线 在平面 内的射影为直线 。BBDOP，即 。C1K反之，当 时，三棱锥 为正三棱锥，OPC在平面 内的射影为 的重心。A方法二:平面 ,OPB,B, .AP以 为原点，射线 为非负 轴，建立空间直角坐标系 (如图)，zOxyz设 则 , , .,ABa2(0)2(0)Ba2(,0)Ca设 , 则OPh,(I) D 为 的中点，C ，21(,0)4ah又 ,(,)PA-OD12/ B
12、 CP DA o平面 .OD/PAB(II) , 即12K,7ha=PA2(,0),可求得平面 的法向量BC1(,),7n20cos, .3|PAn设 与平面 所成的角为 ,则BC210sin|co,|3PAn与平面 所成的角为PA210ari3(III) 的重心BC(,),6Gh21(,).63Oah平面.PGB又 2(0,),ah210.63OPA.ha即2,PAh1k反之，当 时，三棱椎 为正三棱锥，1kOPBC在平面 内的射影为 的重心。OBCA（19）本题主要考查相互独立事件同时发生的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力。满分 14 分。 解：（I） (
13、i) 22418().31C(ii) 随机变量 的取值为 0, 1, 2, 3. 由 n 次独立重复试验概率公式 得()(),knknnPCp055132()(),4PC801235()()1),237.48P随机变量 的分布列是0 1 2 3P324804178的数学期望是328017324438E（II） 设袋子 A 有 m 个球，则袋子 B 中有 2m 个球。由13,5p得 .0(20)本题主要考查二次函数的求导、导数的应用、等差数列、数学归纳法等基础知识，以及综合运用所学知识和解决问题的能力。满分 14 分。解：（I）由题意，得 2111(,0):7ACyxb设点 是 上任意一点，P则 21|()xy21(7)xb令 2(),fx
