1、概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 湖北汽车工业学院 理学系 数学教研室唯一一位出书的老教授 .致敬 !本书相比浙大的概论 ,通俗易懂 ,内容简洁 . 2 概率的古典定义概率加法定理 一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是 0， 1， 2， ， 9 中的任一个数（但第一个数字不能为 0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率 解：基本事件总数为 611011011011011011019 109 CCCCCCC 有利事件总数为 456789 214151617181919 CCCCCCC 设 A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则 0 6 0 5.0109 456789)(
2、 62 AP 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率 解：基本事件总数为 !101010A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为 !777 A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共 818C 种；这三本书的排列顺序数为 !333A ；故有利事件总数为 !3!8!38!7 (亦可理解为 )3388PP 设 A 表示“指定的三本书放在一起”，则 067.0151!10 !3!8)( AP 三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个 队被分在不同组内的概率 解： 20 个队任意分成两组（每组 10 队）的所以排法，
3、构成基本事件总数 1020C ；两个最强的 概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数 91812CC 设 A 表示“最强的两队被分在不同组”，则 526.01910)( 102091812 C CCAP四、某工厂生产的产品共有 100 个，其中有 5 个次品从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于 1 个的概率 解：设 iA 表示“出现的次品为 i 件” )5,4,3,2,1,0( i ， A 表示“取出的产品中次品不多 于 1 个”，则 .10 AAA 因为 VAA 10 ，所以 ).()()( 10 APAPAP 而 0 2 8 1.0979
4、94 2347)( 5010050950 CCAP 1 5 2 9.097994 47255)( 50100 4995151 C CCAP 故 181.01529.00281.0)( AP 五、一批产品共有 200 件 , 其中有 6 件废品求 (1) 任取 3 件产品恰有 1 件是废品的概率 ; (2) 任取 3 件产品没有废品的概率 ; (3) 任取 3 件产品中废品不少于 2 件的概 率 解：设 A 表示“取出的 3 件产品中恰有 1 件废品”； B 表示“取出的 3 件产品中没有废品”； C 表示“取出的 3 件产品中废品不少于 2 件”，则 (1) 0 8 5 5.01 9 81 9
5、 92 0 0 1 9 31 9 418)( 3200219416 C CCAP(2) 9 1 2.01 9 81 9 92 0 0 1 9 21 9 31 9 4)( 32003194 CCBP(3) 0 0 2 2 3.01 9 81 9 92 0 0 1 2 01 9 490)( 3200019436119426 C CCCCCP六、设 41)( ,0 ,31)()()( BCPP ( A C )P ( A B )CPBPAP 求 A, B, C 至少 有一事件发生的 概率 解：因为 0 P (A C )P (A B ) ，所以 VACVAB , ，从而 VCAB )( 可推出概率论习题
6、解答 第一章 随机事件及其概率 0)( ABCP 设 D 表示“ A, B, C 至少有一事件发生”，则 CBAD ，于是有 )()()()()()()()()( A B CPCAPBCPABPCPBPAPCBAPDP 75.04341313131 3 条件概率与概率乘法定理 全概率公式与贝叶斯公式 一、设 ,6.0)|(,4.0)(,5.0)( BAPBPAP 求 )|(,)( BAAPABP 解：因为 BAABBBAA )( ，所以 )()()( BAPABPAP ，即 14.06.0)4.01(5.0)()()()()()( BAPBPAPBAPAPABP 68.074.0 5.036.
7、0)4.01(5.0 5.0)()()( )()( )()|( BAPBPAP APBAP BAAPBAAP 二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设 A 表示“第一次拨通”， B 表示“第二次拨通”， C 表示“拨号不超过两次而拨通” （ 1） 2.0101101)()()( 19111101911011 CCCCCCABPAPCP（ 2） 4.05151)()()( 2511141511 A AAAAABPAPCP三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是 0.03，第二台出现
8、废品的概率是 0.02加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍 （ 1）求任意取出的零件是合格品的概率； 概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 （ 2） 如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率 解：设 iA 表示“第 i 台机床加工的零件” )2,1( i ； B 表示“出现废品”； C 表示“出现合 格品” （ 1） )()()()()()()()( 22112121 ACPAPACPAPCAPCAPCACAPCP 9 7 3.0)02.01(31)03.01(32 （ 2） 25.002.03103.03202.031)()()()()(
9、)()()()(22112222 ABPAPABPAP ABPAPBP BAPBAP 四、猎人在距离 100 米处射击一动物，击中的概率为 0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为 150 米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为 200 米假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率 解：设 iA 表示“第 i 次击中” )3,2,1( i ，则由题设，有 1006.0)(1 kAP ，得 60k ，从 而有 4.015060150)( 2 kAP ， .3.02 0 0602 0 0)( 3 kAP 设 A 表示“三次之内击中”，则
10、321211 AAAAAAA ，故有 )()()()()()()( 321211 APAPAPAPAPAPAP 832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0 （另解）设 B 表示“猎人三次均未击中”，则 168.0)3.01)(4.01)(6.01()( BP 故所求为 8 3 2.0)(1)( BPBP 概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 五、盒中放有 12 个乒乓球，其中有 9 个是新的第一次比赛时从其中任取 3 个来用，比赛后仍放回盒中第二次比赛时再从盒中任取 3 个，求第二次取出的都是新球的概率 解：设 iA 表示“第一次取得 i 个新球” )3,2,1,0(
11、 i ，则 2201)( 312330 CCAP2 2 027)( 31219231 C CCAP220108)( 31229132 C CCAP22084)( 31239033 C CCAP设 B 表示“第二次取出的都是新球”，则 3123631237312383123930 2 2 0842 2 01 0 82 2 0272 2 01)()()( CCCCCCCCABPAPBPi ii 1 4 6.05 3 2 4 0 07 7 6 1 61112 2 0844472 2 01 0 855142 2 02755212 2 01 4 随机事件的独立性独立试验序列 一、一个工人看管三台车床，在
12、一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于 0.9，第二台等于 0.8，第三台等于 0.7求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人 照管的概率 解：设 iA 表示“第 i 台机床不需要照管” )3,2,1( i ，则 9.0)( 1 AP 8.0)( 2 AP 7.0)( 3 AP 再设 B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则 321321321321 AAAAAAAAAAAAB 于是有 )()()()()()()()()()()()()( 321321321321 APAPAPAPAPAPAPAPAPAPAPAPBP )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.
13、08.0)9.01(7.08.09.0 902.0 概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 （另解）设 iB 表示“有 i 台机床需要照管” )1,0( i ， B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则 10 BBB 且 0B 、 1B 互斥，另外有 5 0 4.07.08.09.0)( 0 BP 398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()( 1 BP 故 9 0 2.03 9 8.05 0 4.0)()()()( 1010 BPBPBBPBP 二、电路由电池 a 与两个并联的电池 b 及 c 串联而成设电池 cba , 损坏的概率
14、分别是0.3、 0.2、 0.2，求电路发生间断的概率 解：设 1A 表示“ a 损坏”； 2A 表示“ b 损坏”； 3A 表示“ c 损坏”；则 3.0)( 1 AP 2.0)()( 32 APAP 又设 B 表示“电路发生间断”，则 321 AAAB 于是有 )()()()()( 321321321 AAAPAAPAPAAAPBP )()()()()()( 321321 APAPAPAPAPAP 328.02.02.03.02.02.03.0 三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为 51 、 31 、 41 ，求能将此密码 译出的概率 解：设 A 表示“甲能译出”； B
15、表示“乙能译出”； C 表示“丙能译出”，则 51)( AP 31)( BP 41)( CP 设 D 表示“此密码能被译 出”，则 CBAD ，从而有 )()()()()()()()()( A B CPCAPBCPABPCPBPAPCBAPDP )()()()()()()()()()()()( CPBPAPAPCPCPBPBPAPCPBPAP 概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 6.0413151415141513151413151 （另解） 52)411)(311)(511()()()()()( CPBPAPCBAPDP ，从而有 6.053521)(1)( DPDP 四、甲、乙、丙三
16、人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为 7.0,5.0,4.0 飞机被一 人击中而被击落的概率为 2.0 ，被 两人击中而被击落的概率为 6.0 ，若三人都击中，则 飞机必被击落求飞机被击落的概率 解：设 1A 表示“甲命中”； 2A 表示“乙命中”； 3A 表示“丙命中”；则 4.0)( 1 AP 5.0)( 2 AP 7.0)( 3 AP 设 iB 表示“ i 人击中飞机” )3,2,1,0( i ，则 09.0)7.01)(5.01)(4.01()()()()( 3213210 APAPAPAAAPBP )()( 3213213211 AAAAAAAAAPBP )()()( 3213
17、21321 AAAPAAAPAAAP )()()()()()()()()( 321321321 APAPAPAPAPAPAPAPAP 36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0 )()( 3213213212 AAAAAAAAAPBP )()()( 321321321 AAAPAAAPAAAP )()()()()()()()()( 321321321 APAPAPAPAPAPAPAPAP 41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0 14.07.05.04.0)()()()()( 32
18、13213 APAPAPAAAPBP 设 A 表示“飞机被击落”，则由题设有 0)( 0 BAP 2.0)( 1 BAP 6.0)( 2 BAP 1)( 3 BAP 故有 概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 4 5 8.0114.06.041.02.036.0009.0)()()( 3 0 i ii BAPBPAP 五、某机构有一个 9 人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是 0.7，现在 该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率 解：设 iA 表示“第 i 人贡献正确意见”，则 7.0)( iAP )9,2,1( i 又设
19、 m 为作出正确意见的人数， A 表示“作出正确决策”，则 )9()8()7()6()5()5()( 99999 PPPPPmPAP 277936694559 )3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0( CCC 9991889 )7.0()3.0()7.0( CC 273645 )3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(1 2 6 918 )7.0()3.0()7.0(9 0 4 0 3.01 5 5 6.02 6 6 8.02 6 6 8.01 7 1 5.0 901.0 六、每次试验中事件 A 发生的概率为 p，为了使事件 A 在独立试验序列中至
20、少发生一次的 概率不小于 p，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做 n 次试验，则 npAPAP )1(11 一次都不发生至少发生一次 要 pp n )1(1 ，即要 pp n 1)1( ，从而有 .1)1(lo g )1( pn p 答：至少需要进行一次试验 5 离散随机变量的概率分布超 几何分布二项分布泊松分布 一、 一批零件中有 9 个合格品与 3 个废品安装机器时从这批零件中任取 1概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 个如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布 解：设 X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则 X 的概率分布为 X 0 1 2
21、 3 p 11219CC1111911213CCCC 1101921223CCCC 31233CC即 X 0 1 2 3 p 43 449 2209 2201 亦即 X 0 1 2 3 p 75.0 205.0 041.0 004.0 二、 自动生产线在调整以后出现废品的概率为 p 生产过程中出现废品时立即进行调整求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布 解：设 X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设 pq 1 ，则 的概率分布为 X 0 1 2 n p p pq 2pq npq 三、 已知一批产品共 20 个，其中有个次 品 （）不放回抽样抽取个产品，求样品中次品数的概率分布； （）
22、放回抽样抽取个产品，求样品中次品数的概率分布 概率论习题解答 第一章 随机事件及其概率 解：（ 1）设 X 表示“取出的样本中的次品数”，则 X 服从超几何分布，即 X 的概率函数为 )4,3,2,0()( 620 6164 xCCCxXP xx 从而 X 的概率分布为 X 0 1 2 3 4 p 48451001 48452184 3239196956 3231 即 X 0 1 2 3 4 p 2066.0 4508.0 2817.0 0578.0 0031.0 （ 2）设 X 表示“取出的样本中的次品数”，则 X 服从超几何分布，即 X 的概率函数为 )6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()( 66 xCxXP xxx 从而 X 的概率分布为 即 X0 1 2 3 4 5 6 X0 1 2 3 4 5 6 p5)54( 65546645415635420 6254156546 651
