1、高中数学教学设计与反思一、教学基本信息1课题：全日制普通高级中学教科书数学第二册（下 B） （人教版） ，第十章排列、组合和二项式定理第四节二项式定理中第一课时的内容 10.4 二项式定理(一 ) 2作者及工作单位：高素环 兰州是第二十七中学二、指导思想与理论依据1.课程标准的要求：作为高中数学必修内容的一个部份，本章在整个高中数学中占有重要地位 以计数问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材；作为初中一种多项式乘法
2、公式推广二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强化，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系 教学论的要求：数学教学要遵循以下原则：阶段渐进原则、启发引导原则、过程教学原则、归纳演绎原则、面向全体原则、启动学习原则、动机激发原则。在本教学设计中，为落实以上原则，充分考虑教学各环节中关键问题的设计，注意引导性问题、启发性问题、过渡性问题、思考性问题、探究性问题的设计与呈现方式，帮助学生在问题情境中发展分析能力、思考能力、探究能力。三、教材分析：(1)本小节的内容是二项式定理及其有关概念、二项式系数的性质.(2)本小节的教学要求：理解并掌握二项式定理及二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简
3、单的问题.(3)本小节在教材中的地位：本小节内容在本章中起着承上启下的作用.由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有其内在联系，本小节是为学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计知识作准备；又由于二项式系数是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识.(4)本小节重难点：本小节的重点是二项式定理；本小节的难点是二项式定理及二项式系数的性质的灵活应用.(5)本小节重难点的处理：对于二项式定理的学习要求学生抓住二项展开式的通项公式的特点，并与数列的通项公式相联系；通过对二项展开式进行赋值获得二项式系数的性质；注重函数思想在研究二项式系数性质
4、时的应用.(6)教学中应注意的问题：在二项式定理的推导过程中，从学生熟悉的完全平方和公式入手，并注重归纳思想的应用；注意区分二项式系数与相应的某一项的系数的不同；根据“杨辉三角”这一古代数学成就，对学生进行爱国主义教育.四、学情分析：本节是学生在初中学习了多项式的乘法和排列组合出现的，以建构主义理论为指导，将多项式的乘法和组合知识作为“最邻近发展区”的知识点建立概念框架，最终完成对所学知识的意义建构。五、教学目标：(一)教学知识点1.二项式定理：= an+ an-1b1+ an-rbr+ bn(nN *).b0CnC2.通项公式：Tr+1= an-rbn(r=0,1,n).(二)能力训练要求1
5、.理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式.2.能运用展开式中的通项公式求展开式中的特定项.(三)德育渗透目标1.提高学生的归纳推理能力.2.树立由特殊到一般的归纳意识.六、教学重点：1.二项式定理及结构特征二项式定理(a+b) n= an+ an-1b+ an-rbr+ bn有以下特征：0C1nC(1)展开式共有 n+1 项；(2)字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0；字母 b 按升幂排列，次数由 0 递增到 n；(3)各项的系数 , , , 称为二项式系数.0n122.展开式的通项公式 Tr+1= an-rbr,其中 r=0,1,2,n 表示展开式中第
6、r+1 项.nC3.当 a=1,b=x 时， (1+x)n=1+ x+ x2+ xr+xn.1n七、教学难点：1.展开式中某一项的二项式系数与该项的系数的区别.2.通项公式的灵活应用.八、教学流程示意：问题情境引入实例分析、形成概念问题解决、应用概念变式分析、深化认识练习小结、形成反思九、教学过程：教学环节 教师活动 预设学生活动 设计意图一、问题情境引入：在初中，我们学过两个重要公式，即(a+b)2=a2+2ab+b2;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.问题 1：，将(a+b) 4,以至于(a+b)5,(a+b)6展开后，它的各教师下达学习指令，随后提出问题，用问题引导学生思考；
7、 学生进行 5 分钟的思考；学生思考后进行回答；通过问题，也引导学生关注二项式的普遍形式，这个教学环教学环节 教师活动 预设学生活动 设计意图项是什么呢？问题 2：研究(a+b) 展开式要解n决哪些问题？问题 3：展开式的项数？展开式中含有哪些项？这些项的系数是什么？引出课题：二项式定理二、实例分析，形成概念：师不妨，我们来研究一下这两式的特点，看它们的展开式是否有什么规律可循？不难发现，(a+b)2=a2+2ab+b2= a2+ ab+ b2,0C1(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3= a3+0a2b+ ab2+b3.13即等号右边的展开式的每一项，是从每个括号里任取一个字母的乘积
8、，因而各项的次数相同.这样看来，(a+b) 4 的展开式应有下面形式的各项：a4,a3b,a2b2,ab3,b4.这些项在展开式中出现的次数，也就是展开式中各项的系数是什么呢？复习引入一 二 三 四问题 1：4 个容器中有相同的红、黑玻璃球各一个，从每个容器中取一个球，有多少不同的结果？一 二 三 四4 个红球 0 个黑球 04C教师认真倾听，并做出评价；教师出示材料，提出问题引发学生思考；教师对学生的回答进行评析，并帮助学生将概念严格化调整回答的方向；学生思考讨论问题后，并尝试形成概念；节的设计，体现了课程标准的要求，同时遵循学生的认知规律；通过对具体情境问题的分析与探究，让学生在情境中形成
9、概念，这有利于学生形成科学的统计意识；问题13 可以帮助学生更准确掌握二项式定理及系数、项；知识 只有以我们自主探索的方式获得才显得更为珍贵教学环节 教师活动 预设学生活动 设计意图3 个红球 1 个黑球 14C2 个红球 2 个黑球 21 个红球 3 个黑球 340 个红球 4 个黑球 C生(讨论)(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).在上面 4 个括号中：每个都不取 b 的情况有 1 种，即 种，所以 a4 的系数是 ；04C04C恰有 1 个取 b 的情况有种，所以 a3b 的系数是 ；4 14恰有 2 个取 b 的情况有种，所以 a2b2 的系数是 ;4C24C恰有
10、3 个取 b 的情况有种，所以 ab3 的系数是 ；4 344 个都取 b 的情况有 种，所以 b4 的系数是 .4C师也就是说，(a+b)4= a4+ a3b+ a2b2+014ab3+ b4.4依此类推，对于任意正整数 n，上面的关系也是成立的.(a+b)n= an+ an-0C11b1+ an-rnrbr+ bn(nN *).此公式所表示的定理，我们称为二项式定理.右边的多项式叫做(a+ b)n的二项展开式，它一共板书概念；教师提出问题；教师认真倾听学生的回答，并作出分析与评价；板书关键词：结构一致 学生笔记；学生思考问答；调整修正自己的解答；概念在黑板上的呈现，有利于突出概念，强化学生
11、对概念的记忆；这过程，教师应放手让学生进行探究，此例可以帮助学生认识；这个教学环节也体现了教学活动的多样性，教学活动就以学生为主体；教学环节 教师活动 预设学生活动 设计意图有 n+1 项，其中各项的系数(r=0,1,2,n)叫做二项式系数.C式中的 an-rbr叫做二项展开式的通项，用 Tr+1 表示，即通项为展开式的第 r+1 项：Tr+1= an-rbr.nC另外，在二项式定理中，如果设 a=1,b=x,则得到(1+x)n=1+ x+ x2+ xr+1nnC+xn.三、问题解决、应用概念：下面我们结合几例来熟练此定理.例 1展开(1+ )4.x分析：只需设 a=1,b= ，用1二项式定理
12、展开即可.解：(1+ )4=1+ ( )x1C+ ( )2+ ( )3+ ( )4=1+4C14x.326x例 2展开(2 )6.x1分析：可先将括号内的式子化简，整理，然后再利用二项式定理.解：(2 )x16=( )6x2教师出示例题，并巡回指导，参与学生的探究活动；教师提出问题，引发学生思考；教师引导学生发现解决问题时出现的问题；学生回答，完善定理内容；学生探究；练习问题也是一个变式问题，有利于学生进一步熟悉二项式定理；教学环节 教师活动 预设学生活动 设计意图= (2x-1)631= (2x)6- (2x)1C5+ (2x)4- (2x)3+ (2x)2-26646(2x)+ = (64
13、x6-31632x5+1516x4-208x3+154x2-62x+1)=64x3-192x2+240x-160+.10评述：应注意灵活应用二项式定理.四、变式分析、深化认识：例 3求(x+ a)12 的展开式中的倒数第 4 项.分析：应先确定其项数，然后再利用通项公式求得.解：(x+a) 12 的展开式共有 13 项，所以倒数第 4 项是它的第 10 项，由通项公式得T10=T9+1= x12-912C9a9= x3a9=220x3a9.例 4(1)求(1+2 x)7 的展开式的第 4 项的系数；(2)求(x- )9 的展开式中 x3 的系1数.解：(1)(1+2x) 7 的展开式的第 4
14、项是T3+1= 17-37C3(2x)3= 23x3=358x3=280x3.所以展开式第 4 项的系数是 280.教师巡回指导；教师引导补充；学生尝试解决，并可能产生错误的解答；修正解答；学生练习；帮助学生将知识系统化、条理化；教学环节 教师活动 预设学生活动 设计意图注：(1+2x) 7 的展开式的第 4 项的二项式系数是 =35.3C(2)(x- )9 的展开式的通项是1x9-r(- )r=(-1)r x9-2r.99由题意得 9-2r=3,即 r=3.x 3 的系数是(-1) 3 =-84.9C评述：此类问题一般由通项公式入手分析，要注意系数和二项式系数的概念.区别五、练习小结、形成反
15、思：(自练)课本 P106 练习 16.回顾与反思：谈谈你在本课学习后有哪些收获？这节课我们学到了哪些知识点？使用了什么数学思想方法？六、作业：(一)1.课本 P113 习题 10.4 1、2、3、4、5.(二)1.预习课本 P116P 118.2.预习提纲：二项式系数有哪些性质？问题探究:（1 ）今天是星期四，那么 天后的这一天 是星期几？108(2)若将 除以 9，则得到的余数是多少？学生小结与反思；第二个作业给了学生一个更灵活的问题情境，让学生去研究解决；十、板书设计：10.4.1 二项式定理(一)二项式定理及其推导过程 例题解析 导过程十一、教学反思：2011 年 4 月 14 日上午
16、在兰州市第二十七中高二（9）班上了一节数学展示课，课堂学生的反应和同行专家的点评，都让我受益匪浅，主要体会如下：教材的探求过程将归纳推理与演绎推理有机结合起来，是培养学生数学探究能力的极好载体，教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。二项式定理是指这样一个展开式的 rnrnnn babaabCC)( 21 n公式.它是(a+ b)2=a2+2ab+b2， (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3等等展开式的一般形式，在初等数学中它各章节的联系似乎不太多，而在高等数学中它是许多重要公式的共同基础，根据二项式定理的展开，才求得
17、 y=xn的导数公式 y= nxn1 ，等等。更是广泛深入到高等数学的各个分支中.怎样使二项式定理的教学生动有趣？（因为二项式定理在初等数学中与其他内容联系较少，所以教材上教法就显得呆板，单调）又怎能发挥主体作用？（证明写得很长，上课时的板书几乎占了整个黑板，所以课必然上得累赘，学生必然感到被动.那么多的算式学生看都不及细看，记也感到吃力）怎样才能使得在这节课上学生获得主动？（采用课前预习；自学辅导；还是学生讨论，或读，议、讲，练，或目标教学，还是设置发现情境？看来这些办法遇到真正困难时都会无能为力，因为这些方法都无法改变算式的冗长，证法的呆板，课堂上的新情境与学生的认知结构中的图式不协调的事
18、实.）心理学家皮亚杰一再强调“认识起因于主各体之间的相互作用”只有客体的形式与学生主体认知结构中的图式取得某种一致的时候，才能完成认识的主动建构，也就是学生获得真正的理解，我们可以遵循“兴趣与能力的同步发展规律”和“教，学，研互相促进的规律”在教学中追求简易，重视直观，并巧妙地在应用抽象使问题变得十分有趣，学生学得生动主动，充分发挥其课堂上的主体作用。大胆放手-学生去发现、去探究后的体会“知识 只有以我们自主探索的方式获得才显得更为珍贵”1、学生能机积极配合，情绪高涨. 开头几分钟,学生的积极性还没有完全调动起来,但随着时间的推进,课堂氛围不断进入高潮.特别是最后一道具有挑战性题,需要较高的逆
19、向思维水平,但一名学生在很短的时间内就看出了它的结构特点,作出了完整的回答,使学生和听课老师眼睛一亮. 加上我及时总结的“数感、式感和图感”又让学生耳目一新，增添了课堂色彩.2、数学思想、方法和数学文化得到了较好的体现.我认为对数学课堂来说，就是要体现数学思想、方法和数学文化，让数学课堂有“数学味”. 课堂中，提到的数学的两重性“直觉与逻辑” ，牛顿的“没有大胆的猜想就没有伟大的发现” ，二项式系数的对称美， “特殊出发、发现规律、猜想结论、逻辑证明”的科学方法，二项式指数推广到负整数指数，有没有三项式定理，反例 C62 就不是偶数等等，都带给学生积极的情感体验和无尽的思考.“真诚、深刻、丰富
20、”是课堂永恒的追求.3、基本技巧和基本方法可能没有很好落实. 本节课的教学重点是二项式定理的探求过程,而简单的应用则次之.基于这种想法,我在引导发现定理上花的时间较多,证明过程多媒体详细展示,但最后没有点到“还可以用数学归纳法证明”是一个疏忽.同时对将(p-q) 7 展开这种问题没有书写示范，以致不少学生书写不规范或弄错，板演的学生就有好几处错误,我也没有详细板书订正.我想, 好在还有第二节课的加强,先让学生对此内容有点兴趣,再去强化运算的正确性也不迟.4、课堂上如何放手让学生自主学习.如何放手让学生自主学习,这也是新课程大力倡导的.因为让学生自主学习,必须课前作充分的准备,学生带着问题到课堂上进行汇报和交流,师生共同释疑、纠错.否则,对于有一定难度的数学课,在课堂上先自主、合作、探究，再来答疑、解惑，就没有足够的时间了. 即使可以操作, 自主、合作、探究也是走走过场, 没有实际效果. 语文与数学有不同特点,在数学课堂上如何实施自主学习值得深入研究.
