1、第四章 中值定理与导数的应用本章的内容是微分学的应用，我们将利用导数逐步深入地去揭示函数的一些基本属性为了便于研究，需要先阐明微分学的几个中值定理，它是用导数来研究函数本身性质的重要工具，也是解决实际问题的理论基础4.1 微分中值定理定义 4.1.1 设 在 的某一邻域 内有定义，若对一切 有)(xf0)(0xU)(0xU, f则称 在 取得极小(大)值，称 是 的极小(大)值点，极小值和极大值统称(xf0 0x为极值，极小值点和极大值点统称为极值点定理 4.1.1（费马定理） 若 在 可导，且在 取得极值，则 )(f00x0)(xf证 设 在 取得极大值，则存在 的某邻域 ，使对一切 有)(
2、xf0 x)(UU因此当 时(x)0f；0)(xf而当 时0x；0)(xf由于 在 可导，故按极限的不等式性质可得)(xf00)(lim)()(000 xfxffx及，0)(li)()(000 xfxffx所以 )(0xfox0xybxoa若 在 取得极小值，则类似可证 )(xf0 0)(xf图 41费马定理的几何意义如图 4-1 所示：若曲线 在 取得极大值或极小值，)(fy0且曲线在 有切线，则此切线必平行于 轴0xx习惯上我们称使得 的 为 的驻点定理 4.1.1 表明：可导函数0)(xf)(f在 取得极值的必要条件是 为 的驻点)(xf0 x定理 4.1.2 （罗尔中值定理） 若 在
3、上连续，在 内可导且)(f,ba),(ba，则在 内至少存在一点 ，使得 )(bfa),(ba0证 因为 在 上连续，故在 上必取得最大值 与最小值 若xf,Mm，则 在 上恒为常数，从而 这时在 内任取一点作为 ，Mm)(f, )(xf ),(ba都有 ；若 ，则由 可知，点 和 两者之中至少有一个是0fm)(bafm在 内部一点 取得的由于 在 内可导，故由费马定理推知)(x,bax),(f图 42yx x罗尔中值定理的几何意义如图 4-2 所示：在两端高度相同的一段连续曲线上，若除端点外它在每一点都有不垂直于 轴的切线，则在其中必至少有一条切线平行于x轴x例 1 不用求出函数 的导数，说
4、明 有几个)4(3)2(1)(xf 0)(xf实根，并指出它们所在的位置解 由于 是 内的可导函数，且 ，故)(xf),)4(3)2(1ff在区间 上分别满足罗尔中值定理的条件，从而推出至少存在)(xf 4,32,1，使得 )( )( ,1 )3 ,(0)ifi又因为 是三次代数方程，它最多只有 个实根，因此 有且仅有0xf 0)(xf个实根，它们分别位于区间 内3 )4,3(2),1(例 2 设 ，证明多项式 在0.0naa nxaaxf.)(10内至少有一个零点)1,0(证 令 则 ， ，且由假设知,1.2)(10nxxxF )(xfF，可见 在区间 上满足罗尔中值定理的条件，从而推出至少
5、存在一点)( ,，使得1,00)(fF即说明 是 的一个零点),(xf定理 4.1.3（拉格朗日中值定理） 若 在 上连续，在 内可导，则)(xf,ba),(ba在 内至少存在一点 ，使得),(ba (1.1)abff)()(从这个定理的条件与结论可见，若 在 上满足拉格朗日中值定理的条件，xf,ba则当 时，即得出罗尔中值定理的结论，因此说罗尔中值定理是拉格朗日中)(bfa值定理的一个特殊情形正是基于这个原因，我们想到要利用罗尔中值定理来证明定理 4.1.3.y xoCAB)(xfyxabfy)(b证 作辅助函数，xabfxfF)()(图 4-3容易验证 在 上满足罗尔中值定理的条件，从而推
6、出在 内至少存在一点)(xF,ba ),(ba，使得 ，所以(4.1)式成立0拉格朗日中值定理的几何意义如图 4-3 所示：若曲线 在 内每一点都)(xfy,有不垂直于 轴的切线，则在曲线上至少存在一点 ，使得曲线在 的切线x ,(CC平行于过曲线两端点 ， 的弦这里辅助函数 表示曲线 的纵坐标与直AB)xF)(xfy线 的纵坐标之差，而这直线通过原点且于曲线过 ， 两端点的弦xabfy)( AB平行，因此 满足罗尔中值定理的条件F公式(1.1)也称为拉格朗日公式在使用上常把它写成如下形式 (1.2)()(abfafb它对于 也成立并且在定理 4.1.3 的条件下,(1.2)中的 可以用任意
7、ba,来代替，即有),(,21ax， (1.3)()(2121 xfxff 其中 介于 与 之间 1x2在公式(1.3)中若取 ，则得xx21 ,，fff)()(或，1)(0 )()( xfxfxf它表示 在 为有限时就是增量 的准确表达式因此拉格朗日公式也f)y称有限增量公式例 3 证明：若 在区间 内可导，且 ，则 在 内是一个常)(xfI0)(xf)(xfI数证 在区间 内任取一点 ，对任意 ，在以 与 为端点的区间上应I00,Ix0用拉格朗日中值定理，得到)()(00ffx其中 介于 与 之间由假设知 ，故得 ，即0x 0)(xf这就说明 在区间 内恒为常数 )(ff)(xfI)(0f
8、例 4 证明：若 在 上连续，在 内可导，且 ，则 在,ba,ba)(xf)(xf上严格单增,ba证 任取 ，且 ，对 在区间 上应用拉格朗日中值定,21x21x)(f,21x理，得到21212 ,)()(fff 由假设知 ，且 ，故从上式推出 ，0)(f 0x 0)(2xff即 所以 在 上严格单增12xf )(f,ba类似可证：若 ，则 在 上严格单减)(xf,例 5（导数极限定理） 设 在 连续，在 内可导，且 存在，0)(0xUo )(lim0xf则 在 可导，且 )(xf0 )(lim)(0xfxf证 任取 ，对 在以 与 为端点的区间上应用拉格朗日中值定理，0Uof0得到，)()0
9、fxf其中 在 与 之间，上式中令 ，则 由于 存在，取极限便得0x0x0x)(lim0xfx)(li)(lim)(li 0000 fffxxxx 所以 在 可导，且 )(xf0li)(0ffx例 6 证明不等式 x)1ln(对一切 成立0x证 令 ，对任意 ， 在 上满足拉格朗日中值定理)l()f0x)(f,x的条件，从而推出至少存在一点 ，使得),(xfxf)0(由于 ， ，上式即0)(f 1)(f)ln(x又由 ，可得x0x1因此当 时就有0xxx)ln(对于由参数方程)( ) tty所表示的曲线，它的两端点连线的斜率为)(x若拉格朗日中值定理也适合这种情形，则应有)()(xyxydt
10、与这个几何阐述密切相联的是柯西中值定理，它是拉格朗日定理的推广定理 4.1.4（柯西中值定理） 若 与 在 上连续，在 内可导且)(xfg,ba),(ba，则在 内至少存在一点 ，使得0)(xg),(ba (1.4)()(gfgf证，首先由罗尔定理可知 ，因为如果不然，则存在 ，0ab ),(ba使 ，这与假设条件相矛盾0)(g作辅助函数)()()( xgabfxfF容易验证 在 上满足罗尔定理的条件，从而推出至少存在一点 ，使)(x,ba ),(ba得 ，即0F0)()( gabff由于 ，所以(1.4)式成立0)(g例 7 设 与 都是可导函数当 时， 试证xf)(gax)( xgf当 时
11、，不等式ax)( )( gaf成立证 因为当 时， 即 时，所以 在x0 )()(xf 0)(x)(xg内严格单增(参见例 4)故当 时有 ，即 对),a aag0a和 在 上应用柯西中值定理，得到xfg,xaxagff ,)()(由此推出1)( )( )( )( gffagxfagxf因此当 时有ax)( )( f4.2 洛必达法则柯西中值定理为我们提供了一种求函数极限的方法设 ， 与 在 的某邻域内满足柯西中值定理的条件，从0)(0xgf )(xfg0x而有，)(gfxf其中 介于 与 之间当 时， ，因此若极限000x，Agfx)(lim0则必有，xgf)(li0这里 是 时两个无穷小量
12、之比，通常称之为 型未定式一般说来，这种)(xgf0 0未定式的确定往往是比较困难的，但如果 存在而且容易求出，困难便迎刃而)(lim0xgfx解对于 型未定式，即两个无穷大量之比，也可以采用类似的方法确定我们把这种确定未定式的方法称为洛必达法则定理 4.2.1 ( 洛必达法则 I ) 若(1) ， ；0)lim0xf 0(li0xg(2) 与 在 的某去心邻域内可导，且 ；( 0)(xg(3) 存在， （或为 ） ，则)(lim0xgfx)(lim)(li00xgffxx证 令, ,0)( , ,0)( 00 xgxGxfxF由假设(1)，(2)可知 与 在 的某邻域 内连续，在 内可导，且
13、)(0)(U)(0U任取 ，则 与 在以 与 为端点的区间上满足柯0)(xgG)xU)Fx0x西中值定理的条件，从而有)()(0gfGxF其中 在 与 之间由于 ，且当 时 ，0x 00x ),(xfF)(xgG可得)(gfxf上式中令 ，则 ，根据假设(3) 就有0x0)(lim)(li)(lim000 xgffxgfxx对于 型未定式，也有类似于定理 4.2.1 的法则，其证明省略定理 4.2.2 ( 洛必达法则) 若(1) ， ；li0xf )(li0xg(2) 与 在 的某去心邻域内可导，且 ；)( 0)(xg(3) 存在， （或为 ） ，则)(lim0xgfx)(li)(li00xg
14、ffxx在定理 4.2.1 和 4.2.2 中，若把 换成 ， ， ，00x0x或 时，只需对两定理中的假设(2)作相应的修改，结论仍然成立x例 1 求下列极限：(1) (2) ;sinlim30x ;2coslimxx(3) (4) ;1arct2lixxxln1li解 由洛比达法则可得(1) 6sinlm3colisnlim02030 xxxx(2) 1s2co2xx(3) 1li1li1artnli 22 xxxxxx(4) 21)(lnlim1)(lnlimnli 2211 xxxxxx例 2 求下列极限：(1) ( 为正整数)；xmxli(2) ( 为正整数) ；xeli(3) ；x3tanl5i0(4) xexrct2im解 (1) 由于，0lim1linli 11 xxmx
