1、12009-2017 全国高中数学联赛分类汇编第 07 讲：解三角形1、 （2012一试2）设 的内角 的对边分别为 ，且满足 ，则ABC, ,abc3cos5aBbAc的值是.tanB【答案】42、 （ 2013 一试 3）在 中，已知 ， ,则 的值为.ABCsin10isnABCcos10cosABCtanA【答案】11.【解析】由于 ，所以 ，故sinco10sicoscscssi1cos.tan1A3、 （2014 一试 7）设等边三角形 的内切圆半径为 2，圆心为 .若点 满足 ，则 与ABCIP1IABC的面积之比的最大值为_.PC【答案】 +52【解析】 1IPI由 知 点 在
2、 以 为 圆 心 的 单 位 圆 k上 .0 00,BAKP设 在 圆 上 取 一 点 ， 使 得 取 到 最 大 值 ， 此 时 应 落 在0 ,3IC内 ， 且 是 与 圆 的 切 点 ， 由 于 故 01 sin()sinsisin62 ,1()()()33APBCS 00=.6IAP其 中 ， 1sin,cot5,224APIr由 知 ， 于 是 所 以2ITQPN MCBAABCMNPTII2I1ABCMNPQTI13sin()cosincot3153562= .2012 .APBCS根 据 （ ） 、 （ ） 可 知 ， 当 时 ， 的 最 大 值 为4、 （2009 二试 1）如
3、图， ， 分别为锐角三角形 （ ）的外接圆 上弧 、 的中MNABBC AC 点过点 作 交圆 于 点， 为 的内心，连接 并延长交圆 于 CP PIABPIT求证： ；T在弧 （不含点 ）上任取一点 （ ， ， ） ，记 ， 的内心分别为 ，AB Q TAQB 1I，2I求证 ： ， ， ， 四点共圆Q1I2T【解析】连 ， 由于 ， ， ， ， 共圆，NIMPCN MN于是 ， NPMINI故四边形 为平行四边形因此 （同底，等高） PMTNS 又 ， ， ， 四点共圆，故 ，由三角形面积公式T1801sin2PMSPT sin2PNTT sin2PNMT于是 N因为 ，1111CIACI
4、QCI所以 ，同理 由 得 2MPTNTPN3由所证 ， ，故 MPNC12NTMI又因 ，有 1 2ITQ12IT故 ，从而 2I1 1IQ因此 ， ， ， 四点共圆学/ 科网15、 （2010 二试 1）如图，锐角三角形 ABC 的外心为 O，K 是边 BC 上一点（不是边 BC 的中点） ，D 是线段AK 延长线上一点，直线 BD 与 AC 交于点 N，直线 CD 与 AB 交于点 M求证：若 OK MN，则A，B，D，C 四点共圆同理 ，222QKOrKr所以 ，PQ故 由 题设，OKMN，所以 PQMN，于是AQNM由梅内劳斯（Menelaus）定理，得，1BDEAE QPONMKD
5、 CBA41MCDEAP由，可得 ，所以 ，故DMNDCB，于是 ，所以NBMCDNBCDMNCBBCMN，故 OKBC，即 K 为 BC 的中点 ，矛盾！从而 四点共圆. ,AB注 1：“ P 的幂（关于 O） K 的幂（关于O） ”的证明：延长 PK 至点 F，使得2，KFAE则 P，E，F，A 四点共圆，故，BC从而 E，C，F，K 四点共圆，于是，-，得P 的幂（关于O） K 的幂（关于 O） 2PAE注 2：若点 E 在线段 AD 的延长线上，完全类似6、 （2011 二试 1）如图， 分别是圆内接四边形 的对角线 的中点若 ，证QP, ABCDBDA, DPAB明： CBAQFEQ
6、PONMKD CBA5从而有 ，BQACDBACD )21(21即 QACB又 ，所以ABQACD，所以 DAC延长线段 与圆交于另一点 ，则 ，故 FFCABB又因为 为 的中点，所以 QBDDQ又 ，所以 A7、 （2012 二试 1）如图，在锐角 中， 是 边上不同的两点，使得ABC,MNBC设 和 的外心分别为 ，求证： 三点共线.BAMCNN12O12,A【解析】证明：如图.连接 ,过 点作 的垂线 交 的延长线于点 ,则12AO1AOPBCPAAB M N C6是 的切线.因此 , 因为1O:BPAC,BMCAN所以 AMPP因而 是 的外接圆 的切线, 故 所以 三点共线.N2O
7、2.O12,8、 （2013 二试 1） （本题满分 40 分）如图， 是圆 的一条弦， 为弧 内一点，E 、 F 为线段 上ABPABAB两点，满足 .连接 并延长，与圆 分别相交于点 .求证：AEFBPEF、 CD、CD【证明】连接 AD， BC， CF， DE.由于 AE=EF=FB，从而.sin=2BCEBCPBEAAA点 到 直 线 的 距 离点 到 直 线 的 距 离1同样.sin=2DFPDFBBB点 到 直 线 的 距 离点 到 直 线 的 距 离 2另一方面，由于，CE，APADF故将 ， 两式相乘可得 ，即1 2 4BCA BC DEFP PFEDC BA74BCADB 3
8、由托勒密定理 ACD4故由 ， 得 ,3 4 3B即 .学科&网EFC9、 （2014 二试 2） （本题满分 40 分）如图，在锐角三角形 ABC 中，BAC 60，过点 B,C 分别作三角形ABC 的外接圆的切线 BD,CE,且满足 BD=CE=BC,直线 DE 与 AB，AC 的延长线分别交于点 F,G，设 CF 与BD 交于点 M,CE 与 BG 交于点 N，证明：AM=AN.|,LNCG同 理 ， 由 此 推 出 018-BALAL ALM= B+ L 80=18-CALACLLN .A|BFG再 结 合 以 及 内 角 平 分 线 定 理 得 到 1MBN及 M=.故 由 AL=,
9、 LN,M=得 到 AL与 N全 等 ， 因 而 AN,证 毕 .10、(20 15 二试 3)(本题满分 50 分)如图, 内接于圆 为 上一点,点 在线段 上,使得BC,OP:BCKAP平分 ,过 三点的圆 与边 交于点 ,连结 交圆 于点 ,连结 并延长与边BKACPADE交于点 ,证明:F2BF911、 （2016 一试 9） （本题满分 16 分）在 中，已知 .求 的最ABCCBABAC32sin大值.【解析】由数量积的定义及余弦定理知， .2cosacb同理得， ， .故已知条件化为2bcaBCA 2aCBA)(3)(222 ccb即 .3a等号成 立当且仅当 .因此 的最大值是
10、 .5:63:cbaCsin3712、 （2016 二试 2） （本题满分 40 分）如图所示，在ABC 中，X,Y 是直线 BC 上两点（X,B,C,Y 顺次排列），使得 BXAC=CYAB. 设ACX ，ABY 的外心分别为 ，直线 与 AB,AC 分别交于点12,O1210U、V.证明：AUV 是等腰三角形.【证明】作BAC 的内角平分线交 BC 于点 P,设ACX 和ABY 的外接圆分别为 和 ，由内角平分1w2线的性质知， ,由条件可得 ,从而BPACBXACY.XY即 CPPX=BPPY.故 P 对圆 和 的幂相等，所以 P 在 和 的根轴上.1w21w2于是 AP ，这表明点 U、V 关于直线 AP 对称，从而AUV 是等腰三角形.12O13、 （2017 二试 1） （本题满分 40 分）如图，在 中， ， 为 的内心，以 为圆心，ABCIABCA为半径作圆 ，以 为圆心， 为半径作圆 ，过点 的圆 与 , 分别交于点 （不同ABTII2T、 3T12,PQ于点 ） ，设 与 交于点 .证明： .IPQRR证明：连接 ,.IBCQP
