1、如何深入把握函数的概念昌黎汇文二中 贾丽军1映射与函数的教学建议：教学中，由于映射与函数的概念比较抽象，不易把握，故本部分内容宜采用教师引导，师生共同研讨的方式来学习.2函数的定义域问题：确定函数的定义域是研究函数问题的先决条件，因此对于一个函数问题，首先要明确自变量的取值集合.教学中，教师可通过类似下述问题明确求函数定义域的几类常见问题：例 2：求下列函数的定义域：（1） ； （2） ；（3） ；（4） ；解：（1）由 ，得 ，所以 或 ，所以 或.所以，所求函数的定义域为 .（2）由 得， 或 .所以，所求函数的定义域为 .（3）由 得 ，且 ， ，所以，所求函数的定义域为（4）由 得 即
2、 所以 .所以，所求函数定义域为 .例 3：如图，用长为 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形的底边长为 ，求此框架围成的面积 与 的函数关系式，并指出定义域. 解:根据题意, .弧长为 ，所以 . 所以， . 根据问题的实际意. . 解 得 .所以，所求函数定义域为 .上述求函数定义域问题涵盖了确定函数定义域的两种类型问题.（1）给出函数解析式求定义域（如例 2），这类问题就是求使解析式有意义的自变量的取值范围.正确的解不等式或不等式组在解决这类问题中是重要的.中学数学中常见的对变量有限制的运算法则有： 分式中分母不为零； 偶次方根下被开方数非负； 零次幂的底数要求不为零； 对数
3、中的真数大于零，底数大于零且不等于 1； ，则 .（2）在实际问题中求函数的定义域（如例 3）. 在这类问题中除了考虑解析式对自变量的限制 , 还应考虑实际问题对自变量的限制.另外，在处理函数问题时要有一种随时关注定义域的意识，这是极其重要的.比如在研究函数单调性、奇偶性、最值等问题时，首先要考虑的就是函数的定义域.3函数的对应法则问题：确定函数的对应法则（即求函数的解析式）是有关函数概念中的重要问题，教学中教师可以设置如下相关题组，和学生共同解决.例 4：（1）已知 ，求 的解析式；（2）已知 ，求 的值；（3）如果 为二次函数， ，并且当 时， 取得最小值 ，求的解析式；（4）已知函数 与
4、函数 的图象关于直线 对称，求 的解析式.分析：（1）求函数 的解析式，从映射的角度看就是求对应法则，于是，我们一般有下面两种方法解决（1）这样的问题.方法：设 ,则 .则 ，所以 .这样，通过“换元”的方法也可以明确看到法则是什么.（2）用“凑型”的方法， .所以 ，.（3）因为 为二次函数，并且当 时， 取得最小值 ，所以，可设 ，又 ，所以 ，所以 .（4）这个问题相当于已知 的图象满足一定的条件，进而求函数 的解析式. 所以，可以类比解析几何中求轨迹方程的方法求 的解析式.设 的图象上任意一点坐标为 ，则 关于 对称点的坐标为，由已知，点 在函数 的图象上，所以，点 的坐标 满足 的解
5、析式，即 ，所以， .由于已知条件的不同，求函数的解析式的常见方法有像（1）（2）所用到的“凑形”及“换元”的方法；有像（3）所用到的待定系数法；也有像（4）所用到的解析法.值得注意的是（4）中所用的解析法.在求函数解析式或求曲线的轨迹方程时都可以用这种方法，是一种通法.同时也表明函数和它的图象与曲线和它的方程之间有必然的取系.（二）教学中如何突出函数性质的本质？函数的性质主要包括函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性等，侧重点在于理解与函数性质有关的概念，掌握有关判断、证明的基本方法以及简单的应用. 这部分内容常用到数形结合的思想方法.1关于基本概念的理解：（1）设函数 的定义域为 ，如果对于
6、 内的任意一个 ，都有 ，且 ，则这个函数叫做奇函数.设函数 的定义域为 ，如果对于 内任意一个 ，都有 ，且，则这个函数叫做偶函数.由奇函数定义可知，对于奇函数 ，点 与点 都在其图象上.又点 与点 关于原点对称，我们可以得到：奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；通过同样的分析可以得到，偶函数的图象是以 轴为对称轴的轴对称图形.（2）一般地，设函数 的定义域为 ，区间 .如果取区间 中的任意两个值 ， ，改变量 ，则当 时，就称函数 在区间 上是增函数；当 时，就称函数 在区间 上是减函数.如果一个函数在某个区间 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间 上具有单调性，区间
7、 称为单调区间.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.（3）一般地，对于函数 ，如果存在一个不为零的常数 ，使得当 取定义域中的每一个值时， 都成立，那么就把函数 叫做周期函数，不为零的常数 叫做这个函数的周期.4）一般地，对于函数 ，如果存在一个不为零的常数 ，使得当 取定义域中的每一个值时， 都成立，则函数 的图象关于直线 对称.这四个概念都比较抽象，建议讲述相关概念时采用数形结合的手段，不断揭示概念的几何背景，进而完善学生对概念的认识.2关于函数的奇偶性问题：对于函数的奇偶性，要求学生会判断及简单应用.教学中可给出如下题组：例 1：判断下列函数的奇偶性.（1） ； （
8、2） ； （3） ；（4） ； （5） .解：（1）解 ，得到函数的定义域为 或 ，关于原点不对称，所以此函数为非奇非偶函数.（2）函数的定义域为 ，但是，由于 ， ，即 ，且 ，所以此函数为非奇非偶函数.（3）函数的定义域为 ，又 ，所以此函数为偶函数.（4）解 ，得 ，又 ，所以此函数为奇函数.（5）函数的定义域为 ，又 ，所以此函数为奇函数.通过本例及函数奇偶性的定义，进一步可以得到下面几个结论： 一个函数是奇（或偶）函数的必要不充分条件是定义域关于原点对称； 是奇函数，并且 在 时有定义，则必有 ； 既是奇函数又是偶函数的函数，其解析式一定为 ，等.判定函数奇偶性按照其定义可以分为两个
9、步骤： 判断函数的定义域是否关于原点对称； 考察 与 的关系.由此，若以奇偶性为标准可以把函数分为奇函数，偶函数，既奇又偶函数和非奇非偶函数四类.例 2：已知 为奇函数，当 时， ，（1）求 的值；（2）当 时，求 的解析式. 解：（1）因为 为奇函数，所以（2）方法一: 当 时, .所以， .方法二:设 是 在 时图象上一点,则 一定在 在 时的图象上.所以， ， .上述三个例子分别从具体函数、抽象函数、以及奇偶性的应用上加深对概念的理解.3关于函数的单调性问题：例 3：用函数单调性定义证明，函数 在区间 上为增函数. 证明：设 ，因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ， ，所以 ，函数 在区间 上为增函数.例 4：设 是定义域为 的奇函数，且它在区间 上是减函数.（1）试比较 与 的大小；（2）若 ，且 ，求证： .解：（1）因为 是奇函数，所以 ，又 在区间 上是减函数，所以 ，即 .（2）因为 ，所以 异号，不妨设 ，因为 ，所以 ，因为 ， ， 在区间 上是减函数，所以，因为 是奇函数，所以 ，所以 ，即.总之，函数的单调性是我们研究的极为重要的函数性质，其与其它问题的联系、自身的应用都很广泛，在教学中要予以充分注意.
