1、12010-2011 学年第一学期考试试卷(A)课程名称： 数理统计 A （ 卷） 课程所在学院： 理学院 考试班级 学号 姓名 成绩 试卷说明：1. 本次考试为闭卷考试。本试卷共计 四页，共 十二 大部分，请勿漏答；2. 考试时间为 120 分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 答案写在本试卷上；5. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！一。填空题(每空 2 分，共 12 分)1已知三事件 A,B,C 相互独立，概率分别为 0.5, 0.6，0.7，则三者中至少有一个发生的概率为_ 。2若 ，则事件 是否独立 。()0
2、.8,().7,(|)0.8PABPA,AB3袋中有 4 个白球 2 个黑球，若不放回抽取，则第二次取到白球的概率为_。4. 设 , ,且相互独立，则 _。1XN0124PX5. 设 独立，均服从 。 服从分布_。29, )2(N26789()Y6设 为来自参数 泊松分布总体， 为样本均值，则 = _ _。16, 1()DX二。 （5 分）设二项分布随机变量 , ，若 ，求 ()XBp(3,)41P1PY三。 （13 分）已知 X 的概率密度函数为 ，, 01()axf。求（1）常数 的值；（2）求分布函数 ；（3） 。aF(.6.7)PX2四 （5 分）设 ， ， ，求 。1DX4Y0.6X
3、Y21DXY五 （15 分）已知 的联合概率分布，求：(,)XY（1）求 的分布;（2）计算 ；XY()PXY（3）写出 X 与 Y 各自的边缘分布，判断 X 与 Y 的是否相互独立？六 （5 分）某人上班时需搭乘一趟公交车，若每天上班时的候车时间服从0,5区间上的均匀分布(单位：分)，问此人在 300 个工作日中用于上班的候车时间之和大于 12 小时的概率？（用标准正态分布函数表示） 。Y X 1 0 11 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/83七 （5 分）设 独立同分布, 都在区间 上服从均匀分布，求 的矩估计和极大12,nX 0,似然估计。八 （10
4、分）现抽查了 5mm 玻璃总体的 9 个体的厚度，得到如下数据（单位： mm）： 4.8 4.1 4.4 4.4 4.0 4.5 4.1 4.9 4.2 （ ）4.378, 0.153xs设玻璃厚度服从正态分布，在显著性水平 下，0.5（1）能否认为 ？（2）在置信度 0.95 下，计算玻璃平均厚度 的置信区间。4. tt0.50.1(8).36,(8)6九 （5 分）在相同条件下对两种品牌的洗涤剂分别进行去污试验，测得去污率（%）结果如下：甲：79 80 76 82 78 76, ( )21178.5, s.x乙：73 77 79 75 75 , ( )假定两品牌的去污率服从正态分布且方差相
5、同，问两品牌的去污率是否有显著差异？（ ）0.1.(9)325t4十 （5 分）一农场 10 年前在一鱼塘中按比例 20:15:40:25 投放了四种鱼：鲑鱼、鲈鱼、竹夹鱼和鲇鱼的鱼苗，现在在鱼塘里获得一样本如下：试取 0.05，检验各类鱼数量的比例较10 年前是否有显著的改变。 20.5(3)7.81十一 （10 分）下面给出的是用于计算器的四种类型的电路的响应时间为（单位：ms）:列出方差分析表，判断不同类型的电路的响应时间是否有显著差异。（ ）0.5(2,9)4.6F十二.（10 分）一种用于生物和医学研究的物质通过航空运输给用户。1000 管此物质针剂用纸箱包装。 在 5 次运输中，记
6、录了纸箱在途中的转机次数（ X） ， 以及在终点时针剂被打破的数目（Y） 。 估计 Y 对 X 的线性回归方程, , , ,516ix517iy5214ix5214iy516ixy2010-2011 学年第一学期考试试卷(A)种类 鲑鱼 鲈鱼 竹夹鱼 鲇鱼数量（条） 132 100 200 168 60工厂 响应时间 iT2in21ijjyA 9 12 10 8 5 44 387.2 414B 7 5 7 8 27 182.25 187C 8 13 9 30 300 314X 1 0 2 0 3Y 16 9 17 12 225参考答案课程名称： 数理统计 A （ 卷） 课程所在学院： 理学院
7、考试班级 学号 姓名 成绩 一。填空题(每空 2 分，共 12 分)1已知三事件 A,B,C 相互独立，概率分别为 0.5, 0.6，0.7，则三者中至少有一个发生的概率为_0.94 。2若 ，则事件 是否独立 0.8 。()0.8,().7,(|)0.8PABPA,AB3袋中有 4 个白球 2 个黑球，若不放回抽取，则第二次取到白球的概率为_2/3_。4. 设 , ,且相互独立，则1XN0_ _。2(1)(1).55. 设 独立，均服从 。 服从分布_F(6,3)19,X 2,0N2216789()XY_。6设 为来自参数 泊松分布总体， 为样本均值，则 = _1/6_ _。126,X 1(
8、DX二。 （5 分）设二项分布随机变量 , ，若 ，求 (2)Bp(3,)419P1PY解：因为 ， (,)Bp所以 ,2(1) 0,1kkPC20241 2/39Xpp因为 (3,)Yp所以 33,3(1)(1) (0,123)kkkkC因而 =1 =11P0Y003267p三。 （13 分）已知 X 的概率密度函数为 ，, ()axf。求（1）常数 的值；（2）求分布函数 ；（3） 。aF(0.6.)PX解：（1）21100 ()|, 2xafxda6（2） 20, ()(), 011, xxFftdtax（3） 0.6.7(.)(.6)49.360.PXF四 （5 分）设 ， ， ，求
9、。1D4Y0.XY21DXY解： (,) (,)20.61XYCovCov A2221(,)4121.3Cov五 （15 分）已知 的联合概率分布，求：(,)（1）求 的分布;（2）计算 ；XY()PXY（3）写出 X 与 Y 各自的边缘分布，判断 X 与 Y 的是否相互独立？解：(1)（括号了表示 X-Y 的可能取值。 ）所以 的分布为：XYX-Y -2 -1 0 1 2P 1/8 2/8 2/8 2/8 1/8（2） 由 的分布知： 12()(0)(2)()3/8XYPXYPXY（3）X 边缘分布Y X1 0 11 1/8 1/8 1/80 1/8 0 1/81 1/8 1/8 1/8YX
10、1 0 11 1/8(0) 1/8(1) 1/8(-2)0 1/8(1) 0(0) 1/8(-1)1 1/8(2) 1/8(1) 1/8(0)7X -1 0 1P 3/8 2/8 3/8(列之和得 X 边缘概率) Y 边缘分布Y -1 0 1P 3/8 2/8 3/8(行之和得 Y 边缘概率)六 （5 分）某人上班时需搭乘一趟公交车，若每天上班时的候车时间服从0,5区间上的均匀分布(单位：分)，问此人在 300 个工作日中用于上班的候车时间之和大于 12 小时的概率？（用标准正态分布函数表示） 。解：本题属于中心极限定理的问题。设 为第 天上班的候车时间，则kX为 300 个工作日中用于上班的
11、候车时间之和。301kX有题设知 都服从从0,5区间上的均匀分布，所以 250052., /1kkEXDX根据中心极限定理知： 301-kN。.。3。25所以： 1-12121.21.2.PX3025七 （5 分）设 独立同分布, 都在区间 上服从均匀分布，求 的矩估计和极大12,nX ,似然估计。解：（1）由于 ， ，所以的矩法估计量为 ；EEnix12（2） 的分布密度为 ，),0(U)(0/1);(其 它 xxf811()(),0,1,2lnln,i iniLfxxin 似 然 函 数取 对 数求 导 令 它 为 零 ， 得 ， 显 然 方 程 无 解 ，即 用 常 规 方 法 无 法
12、求 的 极 大 似 然 估 计 。1110,0minax()ii iinii iinxL注 意 到 每 个因 而因 此 有 ， 由 于 关 于 单 减 函 数因 此 当 在 其 最 小 值 ， 取 到 最 大 值所以，参数 的极大似然估计为 .,max21n八 （10 分）现抽查了 5mm 玻璃总体的 9 个体的厚度，得到如下数据（单位： mm）： 4.8 4.1 4.4 4.4 4.0 4.5 4.1 4.9 4.2 （ ）4.378, 0.153xs设玻璃厚度服从正态分布，在显著性水平 下，0.5（1）能否认为 ？（2）在置信度 0.95 下，计算玻璃平均厚度 的置信区间。4. tt0.5
13、0.1(8).36,(8)6解：(1) 统计假设 （左边检验） 01:4:4H检验统计两 ，.378.0.2/5/9XTSn20.1()(.6tt20.1.)(8).6t故接受原假设 H0，能认为 。 4.(2) 0.5(1)(836tnt，.1520.29s的置信度为 95%的置信区间为,4.378.,.4.16,4X九 （5 分）在相同条件下对两种品牌的洗涤剂分别进行去污试验，测得去污率（%）结果如下：9甲：79 80 76 82 78 76, ( )21178.5, s.x乙：73 77 79 75 75 , ( )假定两品牌的去污率服从正态分布且方差相同，问两品牌的去污率是否有显著差异
14、？（ ）0.1.(9)325t解： 分别表示甲、乙的平均去污率。1和统计假设 ，01212H:由于方差相同，可以使用 检验两个总体的样本方差分别为 和 ，样本容量t 21s126,5n检验的统计量 12 0.12112.95, |(65)(93.25()()xT Tttsnsn接受 H0，可以两品牌的去污率是差异不显著。十 （5 分）一农场 10 年前在一鱼塘中按比例 20:15:40:25 投放了四种鱼：鲑鱼、鲈鱼、竹夹鱼和鲇鱼的鱼苗，现在在鱼塘里获得一样本如下：试取 0.05，检验各类鱼数量的比例较10 年前是否有显著的改变。 20.5(3)7.81解：属于总体分布的假设检验问题（拟合优度
15、假设检验问题） 。统计假设： :各类鱼数量的比例符合 20:15:40:25（较 10 年前无显著的改变）0H:各类鱼数量的比例不符合 20:15:40:25（较 10 年前有显著的改变）1234 123411233, =30,=168005=62=669451v vvEEE。检验统计量： 222 22 31 4()()()()1.4vvvv+=，所以拒绝 H0，能认为较 10 年前有显著的改变20.5)7.8十一 （10 分）下面给出的是用于计算器的四种类型的电路的响应时间为（单位：ms）:种类 鲑鱼 鲈鱼 竹夹鱼 鲇鱼数量（条） 132 100 200 168 60工厂 响应时间 iT2i
16、n21ijjy10列出方差分析表，判断不同类型的电路的响应时间是否有显著差异。（ ）0.5(2,9)4.6F解：属于单因素方差分析的问题：要按相关公式把 然后在把方差分析表列出。1212,SSMff。变差来源 平方和 自由度 均方和 F 值 显著性（ ）0.5(2,9)4.6组间 SS1 19.36667 2 9.683333 1.913282 组内 SS2 45.55 9 5.061111总和 SS因为 F=1.913282 ,所以不同类型的电路的响应时间差异不显著。0.5(,)4.6F十二.（10 分）一种用于生物和医学研究的物质通过航空运输给用户。1000 管此物质针剂用纸箱包装。 在 5 次运输中，记录了纸箱在途中的转机次数（ X） ， 以及在终点时针剂被打破的数目（Y） 。 估计 Y 对 X 的线性回归方程, , , ,516ix517iy5214ix5214iy516ixy解：属于一元线性回归分析问题。回归方程的系数： 1012,nixybbyxs。103.647,.84b所以经验回归方程： = 10.824+3.647xyA 9 12 10 8 5 44 387.2 414B 7 5 7 8 27 182.25 187C 8 13 9 30 300 314X 1 0 2 0 3Y 16 9 17 12 22
