1、习 题1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r R(costi sin tj)其中 为 常 量 求 ： （ 1） 质 点 的 轨 道 ； (2)速 度 和 速 率 。解：1） 由 r R(costi sin tj) 知x R cos ty R sin t消去 t 可得轨道方程 x 2 y2 R 22） v dr R sin ti Rcostjdtv (R sin t) 2 (R cos t) 21 2 R1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r 4t 2 i (3 2t) j ，式中 r 的单位为 m ， t 的单位为 s .求 ： （ 1） 质 点 的 轨 道 ； （ 2） 从
2、 t 0 到 t 1秒 的 位 移 ； （ 3）t 0 和 t 1秒两时刻的速度。 解：1）由 r 4t 2 i (3 2t) j 可知x 4t 2y 3 2t消去 t 得轨道方程为： x (y 3)2a2 a2t2t2） v dr 8ti 2 jdt1r 1vdt (8ti 2 j)dt 4i 2 j0 03） v (0) 2 j v(1) 8i 2 j1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为 r t 2 i 2tj ，式中 r 的单位为m ， t 的单位为 s .求 ： （ 1） 任 一 时 刻 的 速 度 和 加 速 度 ； （ 2） 任 一 时 刻 的 切 向 加 速 度和法向加速
3、度。解：1） v dr 2ti 2 jdta dv 2i dt1 12） v (2t)2 4 2 2(t 1) 2a dv 2t dt t 2 12an 1-4. 一升降机以加速度 a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升 降机的天花板与底板相距为 d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为y1 v0t 1 at 22（ 1） 图 1-4y h v t 1 gt 2 （2）2 0 2y1 y2 （3）t2 1v 2x y v 21v2 (gt)2 2000解 之 t 1-5. 一质量为 m 的小球在高度 h 处以初速度 v0 水
4、平抛出，求：（1）小球的运动方程；（2）小球在落地之前的轨迹方程；dr dv dv（ 3） 落 地 前 瞬 时 小 球 的 ， ， .dt dt dt解 ： （ 1） x v0 ty h 1 gt 22式（1）式（2）r(t) v0 t i (h - 1 gt 2 ) j2gx 2（ 2） 联 立 式 （ 1） 、 式 （ 2） 得 y h 2v2dr（ 3） v0dt i - gt j 而 落地所用时间 t 所 以 dr v i - dt 0v j dv g jdtdv g 2t g 2 gh dt (v2 2gh) 121-6. 路灯距地面的高度为 h1 ，一身高为 h2 的人在路灯下以匀
5、速 v1 沿直线行 走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度 v2 .2d g a2hg2ghv 2 (gt)20证 明 ： 设 人 从 O 点 开 始 行 走 ， t 时刻人影中足的坐标为 x1 ， 人 影 中 头 的 坐 标为 x2 ，由几何关系可得 图 1-6x2x2 x1 h1 h2 而 x1 v0t所以，人影中头的运动方程为x2 hh1 x1 h h1t vh h 01 2 1 2人 影 中 头 的 速 度 v2 dx2 dt h1 v h1 h21-7. 一 质 点 沿 直 线 运 动 ， 其 运 动 方 程 为 x 2 4t 2t 2 (m)， 在 t 从 0 秒到3 秒的时间
6、间隔内，则质点走过的路程为多少？解： v dx 4 4t dt若 v 0 解的 t 1sx1 x1 x0 (2 4 2) 2 2mx3 x3 x1 (2 4 3 2 32 ) (2 4 2) 8mx x1 x210m1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度h 20cm ， 斜 面 对 水 平 的 倾 角 30o ， 问 它 第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远(假 设 小 球 碰 斜 面 前 后 速 度 数 值 相 等 ， 碰 撞 时 人射角等于反射角)。0图 1-89.8 3.4 10220解：小球落地时速度为 v0 第一次落地点为坐标原点如图一 建立直角坐标系，以小球vx0 v0 co
7、s 60 x v0 cos 60 t 1 g cos 600 t 22（1）vy 0 v0 sin 60 y v0 sin 60 t 1 g sin 600 t 22（2）第 二 次 落 地 时 y 0 t 2v0g所以 x v cos 600 t 1 g cos 600 t 2 2v0 0.8m0 2 g1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球 上而不致离开地球?已知现在赤道上物体的向心加速度约为 3.4cm / s2 ， 设 赤 道 上重力加速度为 9.80m/s2 .解 ： 赤 道 上 的 物 体 仍 能 保 持 在 地 球 必 须 满 足 g R2现在赤
8、道上物体 171-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为 v0 ，并且 v0 与水平面的夹角为 .试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。 解：在顶点处子弹的速度 v v0 cos，顶点处切向加速度为 0。2gh3.4 102R0 00vv 2 (v cos)2 v 2 cos2 因此有： g 0 0 g在落地点速度为 v0 g cos20 v2 0 g cos1-11. 飞机以 v0 100m / s 的 速 度 沿 水 平 直 线 飞 行 ， 在 离 地 面 高 h 98m 时，驾 驶 员 要 把 物 品 投 到 前 方 某 一 地 面 目 标 上 ， 问 ： 投 放 物 品 时 ， 驾
9、驶 员 看 目 标 的 视 线和竖直线应成什么角度?此时目标距飞机下方地点多远 ?解：设此时飞机距目标水平距离为 x 有： x v0t h 1 gt 22联立方程解得： x 447m arctan x 77.50h1-12. 设将两物体 A 和 B 分别以初速 v A 和 vB 抛掷出去v A 与水平面的夹角为 ； vB 与水平面的夹角为 ，试证明在任何时刻物体 B 相对物体 A 的速度是 常矢量。解：两个物体在任意时刻的速度为v A v0 cosi (v0 singt) jvB v0 cos i (v0 sin- gt) jvBA vB - v A (v0 cos v0 cos)i (v0
10、sin v0 sin) j与时间无关，故 B 相对物体 A 的速度是常矢量。1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为v0 49.0m / s ，而气球以速度 v 19.6m / s 匀速上升，问气球中的观察者在第0 v 0 二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少？物 体 在 任 意 时 刻 的 速 度 表 达 式 为 vy v0 gt故气球中的观察者测得物体的速度 v vy v代入时间 t 可以得到第二秒末物体速度 v 9.8 m s第三秒末物体速度 第 四 秒 末 物 体 速 度v 0v 9.8 m s1-14. 质点沿 x 在 轴 向 运 动 ， 加 速 度
11、a kv ， k 为 常 数 设 从 原 点 出 发 时 速 度为 v0 ，求运动方程 x x(t) .解： dv kv dtdx v ektv 1 tv dv 0 kdtx tdx v ekt dtv v ektdt 0 0 0 0x v0 (1 ekt )k1-15. 跳水运动员自10m 跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加 速度 a kv2 ， k 0.4m1 .求运动员速度减为入水速度的 10%时的入水深度。解：取水面为坐标原点，竖直向下为 x 轴跳 水 运 动 员 入 水 速 度 v0 14 m s2 dv dv v0 1 x kv vdt dx 10 dv kdxv v 0
12、0x 1 ln10 5.76m k2ghv 2 v 2 v 2x y za 2 a 2x yx y1-16. 一飞行火箭的运动学方程为： x ut u(1 t) ln(1 bt) ，其中 b 是b与燃料燃烧速率有关的量， u 为 燃 气 相 对 火 箭 的 喷 射 速 度 。 求 ： （ 1） 火 箭 飞 行 速 度 与 时 间 的 关 系 ； （ 2） 火 箭 的 加 速 度 。解 ： （ 1） v dx u ln(1 bt) dt（2） a dvdt ub1 bt1-17. 质点的运动方程为： x R cost, y R sin t, z h t, 式2中 R、h、 为 正 的 常 量 。
13、 求 ： （ 1） 质 点 运 动 的 轨 道 方 程 ； （ 2） 质 点 的 速 度 大 小 ；（3）质点的加速度大小。解 ： （ 1） 轨 道 方 程 为 x2 y 2 R2z h t2这是一条空间螺旋线。在 O xy 平面上的投影为圆心在原点，半径为 R 的圆，螺距为 h（2） vx dx Rsin t dtv h 2R 2 42（3） a R2 cost a R2 sin t az 0a R2思考题1-1. 质点作曲线运动，其瞬时速度为 v ，瞬时速率为 v ，平均速度为 v ，平 均速率为 v ，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的?（1） v v, v v ； （ 2） v v, v v ； （ 3） v v, v v ； （ 4） v v, v v答： （3）
