1、1, , )()(),()20 dtftgtTtftg令 )()(00tytTff )(0tyf。 (3) ， ，(0 0令 gTf，)tyf )()(0tftyf 线 性 时 不 变 系 统 。显 然 其 不 相 等 ， 即 为 非不 失 一 般 性 ， 设可 以 表 示 为为 系 统 运 算 子 ， 则设解 时 不 变 系 统 ？判 断 该 系 统 是 否 为 线 性的 关 系 为与 输 出已 知 某 系 统 输 入 ),()(),()( )()(,)(T:.21 2111 21tyfttfTtytftf tftftffTty 1.3 判断下列方程所表示系统的性 dxftdy0: )()(
2、:22 tfyt（3）： （4）：)()(3)2( fttyt 3)(“ty线性 非线性时不变 线性时不变 线性时变1.4。试证明方程 y(t)+ay(t)=f(t)所描述的系统为线性系统。证明：不失一般性，设输入有两个分量，且 f1(t)y 1(t),f2(t)y 2(t) 则有 y1(t)+ay1(t)=f1（t)，y2(t)+ay2(t)=f2(t) 相加得 y1+ay1(t)+y2(t)+ay2(t)=f1(t)+f2(t) 即 y1(t)+y2(t)+ay1(t)+y2(t)dt=f1(t)+f2(t）可见 f1(t)+f2(t)y 1(t)+y2(t)即满足可加性，齐次性是显然的。
3、故系统为线性的。1.5。证明 1.4 满足时不变性。证明 将方程中的 t 换为 t-t0,t0 为常数。即 y(t-t0)+ay(t-t0)=f(t-t0) 由链导发则，有dty)(0又因 t0 为常数，故 从而 所以有tt)()(00 1)(0dt )()(00tdyt即满足时不变性 f(t-t0)y(t-t 0)()(00tfaydt1.6.试一般性地证明线性时不变系统具有微分特性。证明 设 f(t)y(t),则 f(t-t)y(t-t)又因为 所以tytf)() 0既有 tfyttft (0lim)()0lim0)(tf1.7 若有线性时不变系统的方程为 y(t)+ay(t)=f(t)在
4、非零 f(t)作用下其响应 y(t)=1-e-t,试求方程 y(t)+ay(t)=2f(t)+f(t)的响应。解：因为 f(t)y(t)=1-e -t,又线性关系，则 2f(t)2y(t)=2(1-e -t) 又线性系统的微分特性，有f(t)y(t)=e -t 故响应 2f(t)+f(t)y(t)=2(1-e -t)+e-t=2-e-t2计算： 2.1 设有如下函数 f( t )，试分别画出它们的波形。(a) f( t ) = 2( t 1 ) 2( t 2 )(b) f( t ) = sint( t ) ( t 6 )2-2 试用阶跃函数的组合表示题 2-4 图所示信号。解(a) f( t
5、) = ( t ) 2( t 1 ) + ( t 2 )(b) f( t ) = ( t ) + 2( t T ) + 3( t 2T )2-5 设有题 2-6 图示信号 f( t )，对(a) 写出 f ( t )的表达式，对(b)写出 f ( t )的表达式，并分别画出它们的波形。解 (a)20,1tf ( t ) = ( t 2 )， t = 22( t 4 )， t = 4(b) f ( t ) = 2( t ) 2( t 1 ) 2( t 3 ) + 2( t 4 )2()(3)(3);()sin()();cost aftftbttcetdt .6化 简 下 列 信 号 ：32-7
6、试计算下列结果。(1) t( t 1 ) (2) (3) (4) 0d)(3cos(tt03d)(ett(5) t( t 1 )dt (6) (7) ttd)1(21t2t解 (1) t( t 1 ) = ( t 1 ) (2) 21)(cos)(cs(00 tt(3) (4) d)ee0303 ttdd1(5) t( t 1 )dt= ( t 1 )dt=1 (6)=0 (7)=2t3-1 如图 2-1 所示系统，试以 uC( t )为输出列出其微分方程。解 由图示，有又 故tuCRidLttLi0Sd)(1从而得CS)(1)()(SC tuttut3-3 设有二阶系统方程 在某起始状态下的
7、 0+起始值为04yy试求零输入响应。2)0(,1)(y解 由特征方程 2 + 4 + 4 =0 得 1 = 2 = 2 则零输入响应形式为 teAty21zi )()由于 yzi( 0+ ) = A1 = 1 2A1 + A2 = 2 所以 A2 = 4 故有 0,4()2zi tet3-4 如题 2-7 图一阶系统，对 (a)求冲激响应 i 和 uL，对(b)求冲激响应 uC 和 iC，并画出它们的波形。解 由图(a)有即 当 uS( t ) = ( t )，则冲激响应RituiL)(dS1dtLit则电压冲激响应)(e1ithL )(e)(dL tLRtih4对于图(b)RC 电路，有方
8、程即 当 iS = ( t )时，则RuitCCSdC1u同时，电流)(e1)(tht )(e1dCtRtuCt3-5 设有一阶系统方程 试求其冲激响应 h( t )和阶跃响应 s( t )。)()(3fty解 因方程的特征根 = 3，故有 当 h( t ) = ( t )时，则冲激响应e)(31txt阶跃响应2)()(1ttxhed30 ts 10121210223.6,()(),(),(),3,()(),34(),tttLTI ftythdtddttttt 系 统 的 冲 激 响 应 如 图 a若 输 入 信 号 如 图 （ b所 示 三 角 波 ， 求 零 状 态 响 应 ？本 题 用
9、图 形 扫 描 计 算 卷 积 即 221,84,0tt 2 2223.10()()3()57()()23p23()(57)(H()31(),011tthtyttytftftbyttyftfppft phttebytp算 子 法 求 下 列 系 统 的 冲 激 响 应 。 a解 ： a系 统 的 算 子 方 程 从 而从 而 22 2 )(3H()()2,01 ttfht epp，从 而 【 】（ ） （ ）3-11 试求下列卷积。(a) ( t + 3 ) * ( t 5 ) (b) ( t ) * 2 (c) tet( t ) * ( t )解 (a) 按定义 ( t + 3 ) * (
10、t 5 ) = 考虑到 t 5 时， ( t 5 ) = 0，故 ( t + 3 ) * ( t 5 ) = 2,3ttt(b) 由 ( t )的特点，故 ( t ) * 2 = 2 (c) tet( t ) * ( t ) = tet( t ) = ( et tet )( t )3-12 对图示信号，求 f1( t ) * f2( t )。解 (a)先借用阶跃信号表示 f1( t )和 f2( t )，即 f1( t ) = 2( t ) 2( t 1 )f2( t ) = ( t ) ( t 2 )5故f1( t ) * f2( t ) = 2( t ) 2( t 1 ) * ( t )
11、( t 2 )因为( t ) * ( t ) = = t( t )故有t0df1( t ) * f2( t ) = 2t( t ) 2( t 1 )( t 1 ) 2( t 2 )( t 2 ) + 2( t 3 )( t 3 )(b)根据 ( t )的特点，则 f1( t ) * f2( t ) = f1( t ) * ( t ) + ( t 2 ) + ( t + 2 )= f1( t ) + f1( t 2 ) + f1( t + 2 )3-13 试求下列卷积。(a) )()(e(tt(b) 解(a)因为 ，故)ed)(e3tt t)(e1()()1(1 222 tttt (b)因为 ，
12、故)(tt33 3de()e()()ttt tt3-14 设有二阶系统方程 试求零状态响应)(42ttytty解 因系统的特征方程为 2 + 3 + 2 =0 解得特征根 1 = 1， 2 = 2故特征函数 )(e(e)(21 ttxttt 零状态响应 = )(4)422 txy )(4e8tt3-15 如图系统，已知 试求系统的冲激响应 h( t )。)(,1(21thth解 由图关系，有 1()()()(1)(1)xtfthttt所以冲激响应 )1(2 ttxy 即该系统输出一个方波。3-16 如图系统，已知 R1 = R2 =1，L = 1H ，C = 1F。试求冲激响应 uC( t )
13、。解 由 KCL 和 KVL，可得电路方程为222CC1111()()()()RuuuttLL 代入数据得 t特征根 1,2 = 1 j1 故冲激响应 uC( t )为 )(*)e(1tttt sine)(sin(coetttt cosV3-19 一线性时不变系统，在某起始状态下，已知当输入 f( t ) = ( t )时，全响应 y1( t ) = 63e3t( t )；当输入 f( t ) = ( t )时，全响应 y2( t ) = e3t( t )，试求该系统的冲激响应 h( t )。解 因为零状态响应 ( t ) s( t )， ( t ) s( t )故有 y1( t ) = yz
14、i( t ) + s( t ) = 3e3t( t ) y2( t ) = yzi( t ) s( t ) = e3t( t )从而有 y1( t ) y2( t ) = 2s( t ) = 2e3t( t )即 s( t ) = e3t( t )故冲激响应 h( t ) = s ( t ) = ( t ) 3e3t( t )例 4.7 设有时间信号 ，试求其频谱函数 F(w).解：这里 f (t)为偶函数，且可以fin表示 )(2sin),(2)4(,)(2)( ,) 44 wFgtwgtSawgSa ftFFtftf 即则 ： 考 虑 到4-1 求题 3-1 图所示周期信号的三角形式的傅里
15、叶级数表示式。解 对于周期锯齿波信号，在周期( 0，T )内可表示为系数tAf) 2d1)(100AtTtfaTT nAtnfa 1201n cosdcos)(20sin1TttTttttfb01201n dii co012nAtt所以三角级数为 11sin2)(tAtf4-3 试求下列信号的频谱函数。(1) (2) tf2e)()(sine)(0tfat解 (1) 0j0j2j ddde)()(tfFtt 24j21j(2) 0 jjjj )(1t tttatt0 )j(j)j(j ee21tttat 00j)(j12j 20200)j()j(4-4 求题 3-4 图示信号的傅里叶变换。解
16、(a)因为t,为奇函数，故0f( t ) = 7ttFdsin2j)(0 cossin2j )(Sacos2j(b) f( t )为奇函数，故 tsi)1(j0 )2(sin4j1csj4-8 设 f( t )为调制信号，其频谱 F( )如题图 4-7 所示，cos 0t 为高频载波，则广播发射的调幅信号 x( t )可表示为 x( t ) = A 1 + m f( t ) cos0t 试求 x( t )的频谱，并大致画出其图形。解 因为调幅信号 x( t ) = Acos0t + mA f( t )cos0t故其变换 )()(2)()()( 0000 FX式中，F( )为 f( t )的频谱
17、。x( t )的频谱图如图 p4-7 所示。4-10 试求信号 f( t ) = 1 + 2cost + 3cos3t 的傅里叶变换。解 因为 1 2() 2cost 2( 1) + ( + 1) 3cos3t 3( 3) + ( + 3) 故有 F( ) = 2() + ( 1) + ( + 1) + 3( 3) + ( + 3) 4-11 对于如题 3-6 图所示的三角波信号，试证明其频谱函数为证 因为)2(Sa)(AFtt,10，| t | 则 0dcos)1(2)(ttAF)cos1(2A)2(sin42A)2(Sa4-11 试利用傅里叶变换的性质，求题图所示信号f( t ) =X()
18、F()8f2( t )的频谱函数。解由于 f1( t )的 A = 2， = 2，故其变换根据尺度特性有Sa42(a21 AF再由调制定理得)(8)(1tf )(cos)2(212 Fttftf)2a(a22 Sa4Sa422)sin)(si4-15 如题 4-1 图示 RC 系统，输入为方波 u1( t )，试用卷积定理求响应 u2( t )。解 因为 RC 电路的频率响应为 1j)(H而响应 u2( t ) = u1( t ) * h( t )故由卷积定理，得 U2( ) = U1( ) * H( j )而已知 ，故)e1(j)(j1U反变换得)e(j1j)(j2 )(e)(e1()1(2
19、tttut4-16 设系统的频率特性为 用频域法求系统的冲激响应和阶跃响应。34()jjwH解 冲激响应，故 而阶跃响应频域函数应为231()e()ThtFt4()()jjwSF 314(j2jwe所以阶跃响应32(jjwe 23()e)tstt4.19 设系统频域特性为由对称性，且用 g(w)表示频域门函数，则：.)(,6cos/4in)(,6,0;,)(2 tytttfewHj 求 系 统 响 应若 系 统 输 入 )2(4cos2)(sin)( )4()(2(6)(Y )()(2)( ,cos,4sin 24188 8888 ttty ewgewgwgHFwgttSat jj取 反 变
20、换 ， 有 ， 由 卷 积 定 理 有由 频 域 卷 积 定 理 有4-22 题 4-8 图所示(a)和(b)分别为单边带通信中幅度调制与解调系统。已知输入 f(t)的频谱和频率特性 H1( j )、H 2( j )如图所示，试画出 x(t)和 y(t)的频谱图。9解 由调制定理知而 x(t)的频谱1C1CC()cos()()(2fttFF又因为)1jHX所以)()()(s() CC2C2 Xttxf2jFY它们的频谱变化分别如图 p4-8 所示，设 C 2。4-23 一滤波器的频率特性如图所示，当输入为所示的 f( t )信号时，求相应的输出 y( t )。解 因为输入 f( t )为周期冲
21、激信号，故所以 f( t )的频谱2,1nTTFnn )2)(2)(1当 n = 0，1，2 时，对应 H( j )才有输出，故 Y( ) = F( ) H( j )= 22() + ( 2) + ( + 2)反变换得 y( t ) = 2( 1 + cos2t )4-24 如题 4-9 图所示系统，设输入信号 f(t)的频谱 F( )和系统特性 H1( j )、H 2( j )均给定，试画出 y(t)的频谱。解 设 ，故由调制定理，得ttff50cos)(1从而)(2)(FF )()()(122 FFtf 它仅在| | = ( 30 50 )内有值。再设 则有t30cos3F()F1()F2
22、()X()Y()F()H1(j)H2(j)10即 F3( )是 F2( )的再频移。进而得响应的频谱为)0()3(21)(23 F其结果仅截取20 20 的部分。以上过程的频谱变化如图所2jHY示。4.27 设信号 f(t)的频谱 F( )如图(a)所示，当该信号通过图(b)系统后，证明 y(t)恢复为 f(t)。证明 因为 )2(e)(112j1Ftft故通过高通滤波器后，频谱 F1( )为 )2()j)( 11 H所以输出 )(2()( 1Yty即 y(t)包含了 f(t)的全部信息 F( )，故恢复了 f(t)。4-26 如题图 4-4 所示是一个实际的信号加工系统，试写出系统的频率特性
23、 H( j )。解 由图可知输出 t ttfy00d取上式的傅氏变换，得 )e1(j)(jY故频率特性 )e1(j)(j( 0jtFH2020sin4.29, ?T?()(),(2().20,S(1) ,10,15,./()1ss mmsmstft fwtgtSagwat gfhzfhzsf 设 信 号 其 带 宽 为 多 少 ？ 若 对 其 取 样 ， 最 低 取 样 频 率奈 奎 斯 特 间 隔 解 ： 由 对 称 性 有令 由 频 域 门 函 数 可 得1 21111 24.30()3,(6();()3,(2)6,2,998mmsmtkzftkhzaftbftafftfkhzfkhz设 带 限 信 号 的 最 高 频 率 为 带 限 信 号 最 高 为 ， 试 求下 列 信 号 的 最 小 取 样 频 率 解 因故 故 对 于 由 频 域 卷 积 定 理 ， 其最 高 频 率 变 为 故例 设 求 f ( t )。解 其中Fs 12KsFssF2()F3()Y()F1()F()j21t
