1、1.7. 有一内外半径分别为 r1 和 r2 的空心介质球，介质的电容率为 ， 使介质内均匀带静止由电荷 求f1 空间各点的电场；2 极化体电荷和极化面电荷分布。解（1） ， （ r2r r1）fsDdV=即： 2314frr ， （ r2r r1）31fEr由 ， （r r2） 32104f fsQd= ， （r r2）3210frErr r1 时， （2） 00 0ePE （ r2r 3 310100 33p f ff fr rr r1） 2pnP考虑外球壳时， r= r2 ， n 从介质 1 指向介质 2 （介质指向真空）， P2n =023 3102110p f frr考虑内球壳时，
2、r= r11300p fr1.11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为 l1 和l2，电容率为 1 和 ， 今在两板接上电动势为 的电池，求（1） 电容器两板上的自由电荷密度 f（2） 介质分界面上的自由电荷密度 f若介质是漏电的，电导率分别为 1 和 2 当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？解：在相同介质中电场是均匀的，并且都有相同指向则 12120(0)n flEDE 介 质 表 面 上故： ，211l122l又根据 ， （ n 从介质 1 指向介质 2）12nf在上极板的交面上，是金属板，故 =0112fD2D2D即： 112f El而 20f，（ 是下极板金属，故 =0
3、）312fD1D 1D 3 112f fEl若是漏电，并有稳定电流时，由 可得jE， 1jE2jE又121,()njljj稳 定 流 动得： ，即1212Ejl121212jEl123fDl上 21219f EDl下21223f El中1.14、内外半径分别 a 和 b 的无限长圆柱形电容器，单位长度电荷为 ，板间f填充电导率为 的非磁性物质。（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。（2）求 随时间的衰减规律。f（3）求与轴相距为 r 的地方的能量功耗功率密度。（4）求长度为 l 的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的能减少率。（1）证明：由电流连续性方程
4、： 0fJt根据高斯定理 fD, 即：0Jt0Jt， ，即传导电流与位移电流严格抵()tt消。（2）解：由高斯定理得： 2fDrdll,2ffrreEe又 ， ,0DJtJ0,tEet02trf rre0tff（3）解： 0()22tf fDJetrr能量耗散功率密度= 1()fJ（5）解：单位体积 2dVlr22()bf falbPlrIna静电能 W=22112bbffaallbDEdVdrIna减少率 2fffllWInItt例 1.一个内径和外径分别为 R2 和 R3 的导体球壳，带电荷 Q，同心地包围着一个半径为 R1 的导体球（R 1 R2）.使这个导体球接地，求空间各点的的电势和
5、这个导体球的感应电荷。解 这个问题有球对称性，电势 不依懒于角度 和 ，因此可以只取中 n=0 项。设导体壳外和壳内的电势为1()(cos)nnbaRP(1) 13,()(2)221dcR边界条件为：（1）因内导体球接地，故有(3)12|0R（2）因整个导体球壳为等势体，故有(4)132|RR（3）球壳带总电荷 Q，因而(5)3221 0RRQdd=把（1） 、 （2）代入这些边界条件中，得12300,4dacRbQ由此解出(6)1100,44Qdb,10cR其中1312RQQ把这些值代入（1） 、 （2）中，得出电势的解11302211,()4.)QR导体球上的感应电荷为1201RdQ例 4
6、 导体尖劈带电势 V，分析它的尖角附近的电场。解 用柱坐标系。取 z 轴沿尖边。设尖劈以外的空间，即电场存在的空间为。因 不依懒于 z，柱坐标下的拉氏方程为02()为 小 角 211()0r（1）用分离变量法解次方程。设 的特解为 则上式分解为两个方程()Rr222,0.dRrr其中 为某些正实数或 0.把 的特解叠加得 得通解00()()()(cosin).ABInrCDArBCD各待定常量和 的可能值都由边界条件确定.在尖劈 面上， =V，与 r 无关，由此000,().ACVB因 有限，得0r时0.B在尖劈 面上，有 与 r 无关，必须2,V0,sin(2)0,D因此 得可能值为,(12
7、.)n考虑这些条件， 可以重写为sin.nVAr为了确定待定常量 ，还必须用某一大曲面包围着电场存在的区域，并给定这nA曲面上的边界条件。因此，本题所给的条件是不完全的，还不足以确定全空间的电场。但是，我们可以对尖角附近的电场作出一定的分析。在尖角附近， ，上式的求和的主要贡献来自 r 最低幂次项，即 n=1 项。0r因此，1sin,VAr电场为11sin,co.rEAr尖劈两面上的电荷密度为00()2nE10.Ar若 很小，有 尖角附近的场强和电荷密度都近似地正比于 由此1,2 12.r可见，尖角附近可能存在很强的电场和电荷面密度。相应的三维针尖问题就是尖端放电现象。2.7 在一很大的电解槽
8、中充满电导率为 的液体，使其中2流着均匀的电流 ，今在液体中置入一个电导率为 小球，0fj 1求稳恒时电流分布。讨论 两种情况下电流分121及布的特点。解：维持电流恒定的电场也是静电场，可令 ，由电流E恒定条件 ，等两种介质都是线性均匀的，根据欧姆0fJ定律半径为 ，令导电液中原电流密度 。问R020f zJe题就有 z 轴对称性。全部定解条件为：（ R ）； （ R ）2100200R=0 时， 有限；1时， R022cosfJRR= 时， ， 即 （ 1）0112R12R由 R=0 和 处的条件，可将两区域电势方程的解写为（ 2）1(cos)naRP（ 3）021n2cosfJbR将（ 2
9、）和（ 3）代入（ 1），解出012cosfJ30012022cosf fJRR由 ，得球面的电荷密度：01eE0120203cosfRJR球内 为原外场与球面电荷分布 产生的均匀场之叠加 ;球外1 的第一项是原外场，第二项是球面电荷产生的偶极场。2电流分布为： 101123()fJJE 300102220532()()fff JR当 时， ，12103fJ0032053()fff JJ当 时， ，2113000253()fffJR2.8 半径为 的导体球外充满均匀绝缘介质 ，导体球接地，0R， ； 离球心为 处 置一点电荷 ，试用分离变数法求空间各点电荷，证明afQ所得结果与镜象法结果相同。
10、【解】以球心为坐标原点，另 位于 ，如图所示。fza于是问题有 轴对称性。球外电势的全部定解条件为z（1）2()/fzQaxe（2）0R， ； 0=R，由 处的条件和 轴对称性，泊松方程（1）的解写为z（3）01(cos)4fnbPr其中是 点电荷 到场点的距离。 可展开成fQ1r（4）02(cos)111cos)nnRParRa()Ra因 ，将（4）的第一式代入（3） ，并由条件 解出0 0，210nfnQbaf（5）210(cos)4nffRPr0()R将（4）代入（5） ，便给出 和 两区域中电势的级数形式，仅在0a即点电荷 所在点级数发散。在 区域， （5）式给出 0Ra， fQa（6）21010(cos)4nfnRaPROfQarz
